Vorlesungsskript (pdf): Analysis II

Beweis. Sei F eine Stammfunktion von f auf I. Dann ist F ◦ ϕ ∈ C 1 ([a, b]), und es
ist nach der Kettenregel
Somit ist nach Satz 1.16
∫ b
a
(F ◦ ϕ) ′ (t) = F ′ (ϕ(t))ϕ ′ (t) = f(ϕ(t))ϕ ′ (t).
f(ϕ(t))ϕ ′ (t) dt = F ◦ ϕ(t) ∣ b = F(ϕ(b)) − F(ϕ(a)).
a
Beispiele. a) Berechne ∫ π/2
0
e − sin x cosxdx.
Q.E.D.
Die Substitution y = sin x =: ϕ(x) liefert wegen ϕ ′ (x) = cos x (was man gerne auch
in der suggestiven Kurzform
cosxdx = dy
schreibt)
∫ π/2
0
e − sinx cosxdx =
∫ sin(π/2)
sin(0)
e −y dy
∣
= −e −y ∣∣
1
= 1 − e −1 .
0
b) Bestimme ∫ x
√
0 1 − t2 dt, 0 ≤ x < 1.
Die Substitution t = sin y, 0 < t < π/2, mit dt = cosy dy, liefert
∫ x
0
√
1 − t2 dt =
∫
arcsinx
0
√
1 − sin 2 y cosy dy =
∫
arcsin x
0
cos 2 y dy.
Ferner erhält man mittels partieller Integration
∫ s
0
woraus
cos 2 y dy
∫ s
= sin y cos y∣ s +
0
∫ s
= 1 ∫ s
2 sin(2s) + s − cos 2 y dy,
0
0
0
sin 2 y dy = sin s coss +
∫ s
cos 2 y dy = 1 2 (1 2 sin(2s) + s) = 1 (sin s cos+s)
2
0
(1 − cos 2 y) dy
folgt. Für s := arcsin x mit 0 ≤ x < 1 ist aber 0 ≤ s < π/2, also coss > 0, so daß
sin s = x, cos s =
√
1 − sin 2 s = √ 1 − x 2 .
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