Vorlesungsskript (pdf): Analysis II

WARNUNGEN:
i) Der Konvergenzradius von T a (f) kann durchaus 0 sein.
ii) Falls die Taylorreihe von f konvergiert, so konvergiert sie nicht notwendig
gegen f.
Beispiel 1.28 Betrachte die Funktion ϕ : R → R,
{
e −1/x , x > 0,
ϕ(x) :=
0, x ≤ 0.
Man kann zeigen, daß ϕ unendlich oft differenzierbar ist, auch in der 0, so dass
insbesondere ϕ (k) (0) = 0 für alle k ∈ N. Die Taylorreihe von ϕ in a = 0 stellt somit
die triviale Funktion f = 0 dar, welche offenkundig verschieden von ϕ ist (Übung)!
1.7 Das uneigentliche Riemannsche Integral
Sei I ein halboffenes Intervall der Form I = [a, b[ mit −∞ < a < b ≤ ∞, und sei
f : I → C eine Funktion auf I.
Ist β ∈ [a, b[, und ist die Einschränkung f| [a,β] von f auf [a, β] integrierbar, so sagen
wir, daß f auf [a, β] integrierbar ist und schreiben schreiben
∫ β
a
f(x) dx :=
∫ β
a
f| [a,β] (x) dx .
Definition. Die Funktion f : I → C heiße auf I im uneigentlichen Sinne integrierbar
oder uneigentlich integrierbar, falls f auf jedem kompakten Teilintervall
[a, β] mit β ∈ [a, b[ integrierbar ist und der Grenzwert
∫ β
lim f(x) dx
β→b
a
existiert. Dieser Grenzwert heißt das uneigentliche Riemannsche Integral von
f über das Intervall [a, b[ und wird mit
∫ b
a
f(x) dx
bezeichnet. Eine analoge Definition gilt für links-halboffene Intervalle ]a, b] mit
−∞ ≤ a < b < ∞. Ist −∞ ≤ a < b ≤ +∞, so heißt f :]a, b[→ C uneigentlich
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