Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

Kapitel 2
Das thermodynamische
Pfadintegral
In Kapitel 1 wurde die Fragestellung für den ersten Teil dieser Arbeit notwendigerweise
nur angedeutet. Um zu einer präziseren Formulierung zu gelangen, müssen
zuerst die dafür nötigen Grundlagen des thermodynamischen Pfadintegralformalismus
zur Verfügung gestellt werden.
Zunächst wird erläutert, wie sich nach FEYNMAN die statistische Dichtematrix
eines quantenmechanischen Vielteilchensystems durch ein thermodynamisches Pfadintegral
beschreiben läßt.
Für dieses abstrakte Pfadintegral wird dann eine diskretisierte Darstellung hergeleitet
und es wird gezeigt, wie diese Darstellung prinzipiell eine numerische Berechnung
von thermodynamischen Observablen über Monte–Carlo–Simulationen
ermöglicht.
Weiter wird aufgezeigt, daß in Viel–Bosonen–Systemen die vollständige Symmetrisierung
der Dichtematrix Teilchenpermutationen erzwingt, die in den numerischen
Simulationen den größten Rechenaufwand erfordern und es werden die beiden
prinzipiell möglichen Strategien zur Berechnung dieser Permutationen vorgestellt,
nämlich (a) durch Berechnung der Permanente und (b) durch das sogenannte
Importance Sampling of Permutations“.
”
Schließlich wird noch einmal auf die Fragestellung dieses Teils der Arbeit eingegangen.
2.1 Die physikalische Ausgangssituation
Betrachten wir ein System aus N spinpolarisierten Teilchen (Bosonen oder Fermionen),
das durch einen Hamiltonoperator der Form
^H(^p 1 ;::: ; ^p N ; ^r 1 ;::: ; ^r N )=
NX
i=1
^p 2 i
2m i
+ V (^r 1 ;::: ;^r N ) (2.1)
5