Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

KAPITEL 3. MÖGLICHE BERECHNUNGSVERFAHREN ... 31
wobei die Matrix B definiert ist durch
(B) ij = exp (+2 ~x i ~y j ) i; j =1;::: ;N: (3.54)
Es ist also ”
nur noch“ die Permanente der Matrix B zu bestimmen. Formal–
mathematisch gesehen ist dies sehr einfach:
perB =
=
X
Y
N
exp (2 ~x i ~y Pi ) (3.55)
P 2S N i=1
!
X NX
exp 2 ~x i ~y Pi : (3.56)
P 2S N i=1
Für praktische Anwendungen ist der Ausdruck (3.56) jedoch unbrauchbar, da
zur Berechnung der Permutationssumme die Exponentialfunktion N ! mal numerisch
ausgewertet werden müßte, was schon für kleine N zu illusorischen Berechnungszeiten
führen würde.
Andererseits zeigt Gleichung (3.56) auch, daß es nicht möglich sein wird, einen
exakten Ausdruck für perB — und damit für perA — zu bestimmen, der nicht die
Summe über alle Permutationen enthält.
Dies liegt ganz einfach daran, daß es für jede der N ! verschiedenen Permutationen
einen eindeutigen Exponenten
NX
i=1
2 ~x i ~y Pi (3.57)
gibt, der sich von allen anderen (N !,1) möglichen Exponenten unterscheidet. Das
N !–fache Auswerten der Exponentialfunktion pro Berechnung der Permanente ist
also nicht zu vermeiden !
3.3.2 Mathematisch motivierter Näherungsversuch
Da es nicht möglich ist, einen exakten Ausdruck für die Permanente der Matrix A
(bzw. der Matrix B) herzuleiten, der eine effiziente Berechnung ermöglicht, ist es
wünschenswert, zumindestens einen Näherungsausdruck für perA (bzw. per B)
zu erhalten.
Eine solche Näherung per ~ A soll zum einen natürlich die Struktur des exakten
mathematischen Ausdrucks perA soweit vereinfachen, daß eine effiziente Berechnung
der Näherung per ~ A möglich ist. Des weiteren ist zu beachten, daß durch die
physikalische oder mathematisch motivierte Näherung nicht zu viel von der physikalischen
Information verlorengeht, die in dem ursprünglichen, exakten Ausdruck
enthalten war.
Ein erster, mathematisch motivierter Näherungsansatz besteht darin, die Exponentialfunktion
in den einzelnen Komponenten der Matrix B in Potenzreihen zu