Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

KAPITEL 3. MÖGLICHE BERECHNUNGSVERFAHREN ... 25
Jede Permutation 2 S n ist nichts anderes als eine 1-zu-1-Abbildung der
ersten n natürlichen Zahlen auf sich selbst:
1 ,! (1)
2 ,! (2)
.
. (3.24)
n ,! (n) :
Wird jeder Permutation 2 S n eine ”
grafische Abbildung“ wie in (3.24) zugeordnet,
so läßt sich die Überlagerung aller dieser Abbildungen als bipartiter Graph
interpretieren. Jede Permutation ist dann nichts anderes als perfektes Matching
dieses bipartiten Graphen. Mit geeigneten graphentheoretischen Algorithmen, die
weiter unten vorgestellt werden, lassen sich alle perfekten Matchings eines Graphen
und damit in diesem Spezialfall alle Permutationen 2 S n berechnen.
Im allgemeinen Fall bietet diese graphentheoretische Formulierung keinen Vorteil,
da diese nur eine andere Möglichkeit bietet, alle n! Permutationen der Zahlen
1;::: ;nzu berechnen.
Falls nun aber einige der Matrixelemente a ij gleich null sind, so fallen in Gleichung
(3.23) viele der Produkte unter der Permutationssumme weg, d.h. es muß
nur über die Permutationen summiert werden, bei denen keine Zeilen- oder Spaltenindizes
auftauchen, die Nullelemente der Matrix indizieren.
Alle diese zulässigen Permutationen lassen sich wie folgt graphentheoretisch
bestimmen: Sei B =(V = X[Y;E) ein bipartiter Graph, mit X = fx 1 ;::: ;x n g,
Y = fy 1 ;::: ;y n g und (x i ;y i ) 2 E genau dann, wenn a ij 6=0.Dannistfür jede
Permutation 2 S n die Aussage
äquivalent zu der Aussage, daß
nY
i=1
a i(i) 6=0 (3.25)
M = f(x i ;y (i) ji =1;::: ;ng\E (3.26)
ein perfektes Matching ist. Der Wert der Permanente ergibt sich schließlich durch
Summation über alle Permutationen 2 S n , die einem perfekten Matching entsprechen.
Diese abstrakt formulierte Idee läßt sich an einem Beispiel verdeutlichen: Sei
A die 3 3 Matrix
0 1
@ a 11 a 12 0
0 a 22 a 23
0 a 32 a 33
Dann nimmt der Graph G =(X [ Y;E) die Gestalt
A : (3.27)