Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

KAPITEL 3. MÖGLICHE BERECHNUNGSVERFAHREN ... 27
Rahmen der Graphentheorie gezeigt, daß für sogenannte dichte Graphen (engl.:dense
graphs) prinzipiell eine Berechnung der perfekten Matchings mit einem polynomialen
Aufwand in n möglich ist und es gibt Hinweise darauf, daß Algorithmen
von der hier vorgestellten Art dieses Kriterium erfüllen [?].
3.2.4 Das KKLLL-Näherungsverfahren
Bei dem KKLLL–Verfahren, das nach seinen Erfindern KARMARKAR, KARP,
LIPTON, LOVÁSZ und LUBY benannt ist, handelt es sich um einen Monte–Carlo–
Algorithmus zur näherungsweisen Berechnung der Permanente einer nichtnegativen
Matrix [?]. Dieses Verfahren ist auch für die Berechnung der Permanente im
Pfadintegral interessant, da diese — wie später noch näher erläutert wird — ebenfalls
nichtnegativ ist.
Das Besondere an diesem Algorithmus ist es, daß er für eine n n Matrix A
mit nichtnegativen Komponenten und zwei vorgegebenen positiven Parametern
und einen Schätzwert Y für perA ermittelt, der die Bedingung
Pr [(1 , )perA Y (1 + )perA] 1 , (3.30)
erfüllt 4 und eine Laufzeit von der Ordnung
O 2 n=2 1 1
2 log poly(n)
(3.31)
hat. Damit ist die Laufzeit dieses Algorithmus für nichtnegative Matrizen im wesentlichen
die Wurzel aus der Laufzeit für das Ryser–Verfahren (Abschnitt 3.2.2).
Das KKLLL-Verfahren läßt sich am besten verstehen, wenn zunächst ein einfacheres
Verfahren nach GODSIL/GUTMAN betrachtet wird, das von der Ähnlichkeit
zwischen Determinanten und Permanenten Gebrauch macht.
Sei A eine n n Matrix mit nichtnegativen Komponenten a ij und sei S
S n die Menge aller Permutationen von f1;::: ;ng so daß a i(i) 6= 0 für alle
i = 1;::: ;n. Es gibt also eine 1–1–Abbildung von Termen, die zur Permanente
beitragen und Permutationen in S.
Weiter sei für alle 2 S die Größe
sgn () =(,1) t (3.32)
definiert, wobei t die Anzahl der Elementarpermutationen bezeichne aus denen
besteht. Damit folgt
det A =
perA =
X
2S
X
sgn()
nY
2S i=1
nY
i=1
a i(i) (3.33)
a i(i) ; (3.34)
4 Mit Pr[] ist hier die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses gemeint.