Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

KAPITEL 4. VERGLEICH DER BERECHNUNGSVERFAHREN... 39
Energie
1.6
1.4
1.2
1.0
exakt
E kin
Ryser
E pot
Ryser
E kin
KKLLL (l=10)
E pot
KKLLL (l=10)
0.0 0.5 1.0
T / k B
Abbildung 4.2: Energien beim eindimensionalen bosonischen harmonischen Oszillator
für n = 4 mit verschiedenen Verfahren zur Berechnung der Permanente.
Es wurde ~ = m i = 1 gesetzt und M= = 4 gewählt. Für jeden Punkt wurden
200 000 Iterationen durchgeführt.
den analytisch berechneten Erwartungswerten [?]
E kin = E pot =
n=4
X
i=1
i i
4 coth 2T
, 3 2
(4.2)
überein.
Für eine Temperatur T=k B = 1 haben wir Berechnungsversuche mit dem
KKLLL–Verfahren für verschiedene l unternommen. Bei der sehr niedrigen Wahl
von l =10ist der relative Fehler in den Energien erwartungsgemäß groß, er liegt
bei 6% für E kin und bei 11% für E pot .
Die Rechenzeit, die für die Berechnung dieser beiden Erwartungswerte benötigt
wurde, lag auf einer IBM–AIX P70 Workstation mit 64 MB Hauptspeicher schon
bei 26:5 CPU–Stunden ! Weitere Berechnungsversuche mit l = 20 und l = 30
wurden wegen der schon bei so geringen Teilchenzahlen unvertretbar hohen Laufzeiten
abgebrochen.
Die theoretische Betrachtung des Rechenaufwands und die praktischen Versuche
zum Laufzeitverhalten legen nahe, daß auch das KKLLL–Verfahren keine
Alternative zur effizienten Berechnung im Pfadintegral bietet.
Als weitere Möglichkeit zur Berechnung der Permanente bleibt noch der physikalisch
motivierte Ansatz, nicht die Permanente der Matrix A( +1;) zu nähern,
sondern zuerst eine geeignete Näherung für die Matrix selbst durchzuführen, von
der die Permanente dann exakt berechnet werden kann.
Von den beiden in Kapitel 3.3.3 dazu entwickelten Ideen erscheint uns die Verwendung
des graphentheoretischen Ansatzes, bei dem genügend viele der kleinsten