Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

KAPITEL 2. DAS THERMODYNAMISCHE PFADINTEGRAL 15
hang A.2.1).
Ausgehend von einer beliebigen Startkonfiguration wird im Metropolis–Algorithmus
der i-te Schritt des ”
random walk“ wie folgt realisiert:
1. Zufällige Erzeugung einer neuen Teilchenkonfiguration C 0 im 3NM-dimensionalen
Konfigurationsraum.
2. Diese Konfiguration wird die neue Konfiguration C i , falls für eine Zufallszahl
2 [0; 1] die Bedingung
W (C 0 )
> (2.40)
W (C i )
erfüllt ist, d.h. der Quotient in Gleichung (2.40) muß größer als eine Zufallszahl
zwischen 0 und 1 werden.
Der Erwartungswert einer beliebigen Observablen ^O ergibt sich dann durch
Summation über alle n Metropolis–Schritte:
h ^Oi =
nX
i=1
W (C i ): (2.41)
Bei der konkreten Umsetzung dieses Algorithmus sind allerdings viele technische
Details zu beachten. 4 Bewährt hat sich folgendes Vorgehen: Ein Schritt der
Monte–Carlo–Simulation wird in mehrere sogenannte mikroskopische und makroskopische
Schritte zerlegt.
Bei einem mikroskopischen Schritt wird nur eine Teilchenkoordinate i zu einer
bestimmten Zeitscheibe um einen zufälligen Betrag ~r 1 verschoben:
~r i () ,! ~r i () +~r 1 : (2.42)
Bei einem makroskopischen Schritt werden dagegen alle zu einem Teilchenindex
i gehörenden Koordinaten verschoben:
~r i () ,! ~r i () +~r 2 f. a. =1;::: ;M: (2.43)
In einem Simulationsschritt wird nun für jede der NM Koordinaten ~r i () ein
mikroskopischer Schritt und für jeden der N Pfade (~r i (); = 1;::: ;M) ein
makroskopischer Schritt ausgeführt. In jedem dieser Teilschritte muß dabei die
Akzeptanzbedingung (2.40) erfüllt werden.
Die Zufallsvektoren ~r 1 und ~r 2 werden aus zwei Schrittweitenparametern
w 1 und w 2 erzeugt, die wiederum so bestimmt werden, daß das Verhältnis von
abgelehnten zu angenommenen Schritten in einem vorgegebenem Bereich bleibt.
Zu beachten ist außerdem [?], daß in der Gewichtsfunktion (2.39) der Anteil
der potentiellen Energie proportional zu =M eingeht, während der durch die
4 siehe z.B. FRANKE [?], Kapitel 4.2: ”
Die Kunst der Konfigurationserzeugung“.