Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

KAPITEL 2. DAS THERMODYNAMISCHE PFADINTEGRAL 12
Der in Gleichung (2.29) auftauchende algebraische Ausdruck
X
P 2S N
N Y
i=1
(A( +1;)) i;P i
(2.30)
ist ein in der multilinearen Algebra wohlbekanntes Objekt und wird als Permanente
der Matrix A( +1;) (abgekürzt: perA( +1;)) bezeichnet.
Die entsprechende PDPI-Darstellung von für ein N–Fermionen–System ergibt
sich nach analoger Rechnung. Dabei zeigt sich, daß in Gleichung (2.29) unter
der Summe über alle Permutationen noch ein zusätzlicher Faktor (1) P auftaucht,
so daß im diskretisierten fermionischen Pfadintegral an Stelle der Permanente von
A( +1;) die Determinante von A( +1;) steht.
Bei der Dichtematrix (2.5) und dem abstrakten Feynmanschen Pfadintegral
(2.7) genügt eine einzige Permutation der Teilchenendpositionen ~r 1 00 ;::: ;~r N ,um
eine vollständige Symmetrisierung zu erreichen. Auch beim diskretisierten Pfadintegrals
M (2.29) sollte es ausreichend sein, wenn nur einmal zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Zeitscheiben eine Permutation von Teilchenindizes erfolgt.
Wie gleich gezeigt wird, läßt sich dies mathematisch durch Substitution der Integrationsvariablen
begründen.
Der Integrand des Pfadintegrals (2.29) enthält die Permutationen in Form eines
Produktes über die Permanenten der Matrizen A( +1;). Dieses Produkt ergibt
ausmultipliziert
MY
=1
per A( +1;)=
X
X
X
:::
P12S N P22S N P M 2S N
NY
MY
i=1 =1
Mit M , 2 Koordinatentransformationen vom Typ
(A( +1;)) i;P(i)
(2.31)
(x 1 ();::: ;x N ()) ,! (x P,1(1)();::: ;x P,1(N)())
(2.32)
für = 2;::: ;M, deren Jacobideterminanten den Betrag 1 haben, können die
Doppelsummen über die N–Teilchenpermutationen P ,1 ;P durch N ! mal den
Einfachsummen über alle Permutationen ersetzt werden:
X
X
,!
P ,12S N P 2S N
X
mit P 0 = P ,1 P ,1 : (2.33)
P2S 0 N