Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

KAPITEL 2. DAS THERMODYNAMISCHE PFADINTEGRAL 11
der Integrale ergibt sich für die Matrixelemente
1
Q( +1;) =
(N !) 2 exp , M V (~r 1();::: ;~r N ())
X Y
N m M 3=2
2~ 2
P;P 0 2S N i=1
exp , m M ,
2
~rP
2~
0 (i)( +1), ~r P (i) ()
= 1 N ! exp , M V (~r 1();::: ;~r N ())
X
P;2S N
N Y
i=1
(2.26)
(A( +1;)) i;P i ; (2.27)
wobei die Matrizen A( +1;) definiert sind als
3 m M 2
(A( +1;)) i;j =
exp
, m M
2~ 2
2~ (~r i( +1), ~r j ()) 2 :
(2.28)
Auch hier haben wir im letzen Schritt wieder verwendet, daß die zweifache Summe
über alle Permutationen gleich N ! mal der einfachen Summe über alle Permutationen
ist.
Für die Matrixelemente des diskretisierten Dichteoperator ^ M aus Gleichung
(2.15) erhalten wir mit dem Ausdruck (2.27) also die primitive diskretisierte Pfadintegraldarstellung
M der Dichtematrix
M ( R ~ 00 ; R ~ 0 1
NY Z
) =
d~r j ()
N !
MY
M MY
=2
X
j=1
Y
N
=1 P 2S N i=1
exp
0
@ ,
M
(A( +1;)) i;P i
MX
=1
1
V (~r 1 ();::: ;~r N ()) A (2.29)
für ein N-Bosonen-System.
Die lateinischen Indizes dienen hierbei zur Numerierung der Teilchen. Die
griechischen Indizes entsprechen M diskreten Punkten im Temperaturintervall
[0;]^=[1;T], also in der schon in Abschnitt 2.1 angesprochenen imaginären ”
Zeit“,
sie werden in der Literatur auch als Zeitscheiben bezeichnet. Für einen festen Teilchenindex
i bezeichnen also die (~r 1 (); =1;::: ;M) genau die M Punkte auf
dem Pfad dieses Teilchens von ~r i 0 nach ~r i 00 .