Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

KAPITEL 2. DAS THERMODYNAMISCHE PFADINTEGRAL 9
Die Normierung der Ortsbasiszustände ergibt sich aus den Orthonormierungsbedingungen
S h~r 1 ;::: ;~r N j ~r 1 0 ;::: ;~r N 0 i S
=
1
N ! 2 X
X
P;P 0 2S N
h~r P 0 (1);::: ;~r P 0 (N) j ~r P (1) ;::: ;~r P (N) i (2.11)
= 1 h~r 1 ;::: ;~r N j ~r
N P (1) ;::: ;~r P (N) i (2.12)
!
P 2S N
= 1 N !
X
P 2S N
N Y
i=1
(~r i , ~r P (i) ); (2.13)
die eine logische Verallgemeinerung der Orthonormierungsbedingungen für die
kontinuierlichen Ein–Teilchen–Ortszustände darstellen. Im zweiten Schritt der Gleichungskette
wurde benutzt, daß in diesem Fall die zweifache Summe über alle
Permutationen gleich N ! mal der einfachen Summe über alle Permutationen ist.
Als abkürzende Schreibweise für das N-Tupel (~r 1 ;::: ;~r N ) soll im folgenden
gelegentlich der 3N-komponentige Ortsvektor ~ R verwendet werden.
Für die Matrixelemente von ^ M ergibt sich also
M ( ~ R 00 ; ~ R 0 )= S h ~ R 00 j
e (, M ^T ) e (, M ^V ) M
j ~ R 0 i S : (2.14)
Durch Einschieben von M , 1 vollständigen Sätzen von total symmetrischen
Ortsbasiszuständen in das Operatorprodukt erhalten wir
M =
MY Z
=2
d ~ R()
MY
=1
S h ~ R( +1)j e (, M ^T ) e (, M ^V ) j ~ R()i S ;
(2.15)
wobei ~ R(M +1)= ~ R 00 und ~ R(1) = ~ R 00 gelten soll.
Führen wir für die noch zu berechnenden Matrixelemente
S h ~ R( +1)j e (, M ^T ) e (, M ^V ) j ~ R()i S (2.16)
die Abkürzung Q( +1;) ein und bezeichnen wir wieder mit ~ P das N-Tupel
(~p 1 ;::: ;~p N ) von Impulsvektoren, so lassen sich die Q(+1;) durch Einschieben
eines vollständigen Satzes von Impulsbasiszuständen berechnen:
Q( +1;) =
Z
d ~ P
(2~) 3N S h ~ R( +1)j e (, M ^T ) j ~ P i S
h ~ P j S e (, M ^V ) j ~ R()i S (2.17)
= e , M V ( ~ R())
Z
d P ~ exp
(2~) 3N ,
M
NX
i=1
~p i
2
2m
S h ~ R( +1)j ~ P i SS h ~ P j ~ R()i S : (2.18)
!