Die Permanente im thermodynamischen Viel-Bosonen-Pfadintegral ...

KAPITEL 3. MÖGLICHE BERECHNUNGSVERFAHREN ... 21
aufweisen (Toeplitz–Matrizen, Zirkulanten) oder nur Komponenten aus einem sehr
eingeschränkten Wertebereich haben (0–1–Matrizen).
Als Beispiel sei die Permanente einer Hessenberg–Matrix angegeben, auf die
noch in Abschnitt 3.3 zurückgegriffen wird.
Eine Hessenberg–Matrix H ist eine n n Matrix, die die Bedingung
(H) ij =0 falls j , i 2 (3.8)
erfüllt, d.h. alle Matrixelemente über der oberen Nebendiagonale müssen Null sein.
Wird nun aus H die Matrix ~ H erzeugt mittels
( H) ~ ,(H)ij falls j , i 2
ij =
(H) ij sonst
; (3.9)
so folgt [?]
perH = det ~ H: (3.10)
3.2 Allgemeine Berechnungsverfahren
Das Problem, die Determinante einer beliebigen n n Matrix zu berechnen, ist
äquivalent zu dem Problem, diese Matrix auf Dreiecksgestalt zu bringen. Für letzteres
gibt es eine Reihe von effizienten Verfahren (Gauss-Verfahren, LU-Zerlegung
usw.), deren Berechnungsaufwand in der Größenordnung von O(n 3 ) liegt. Mit dem
Begriff Berechnungsaufwand (oder Rechenaufwand) eines Berechnungsverfahrens
wird in der numerischen Mathematik üblicherweise die Anzahl der in dem Verfahren
vorkommenden Multiplikationen bezeichnet, da diese sehr viel rechenintensiver
als die Additionsoperationen sind.
Für die Permanente ist es dagegen bis jetzt noch nicht gelungen, ein allgemeines
Berechnungsverfahren anzugeben, dessen Rechenaufwand polynomial und
nicht exponentiell in der Matrixgrösse n ist. Erstaunlicherweise ist es noch nicht
einmal gelungen [?, ?] ein allgemeines Näherungsverfahren zu finden, daß polynomial
in n ist !
Im folgenden werde ich einen kurzen Überblick über die wichtigsten bis jetzt
bekannten allgemeinen Berechnungsverfahren geben.
3.2.1 Die Definition und die Laplace–Entwicklung
Der naivste Versuch, die Permanente einer Matrix A zu berechnen, besteht sicherlich
darin, auf die Definitionsgleichung (3.2) zurückzugreifen. Bei einer näheren
Betrachtung der definierenden Gleichung läßt sich sofort feststellen, daß der Rechenaufwand
in der Größenordnung von O((n,1)n!) ist: Die symmetrische Permutationsgruppe
S n hat n! Elemente, es gibt also ebensoviele Summanden, und in
jedem Summanden tauchen n , 1 Multiplikationen auf.