Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...

zu beachten, dass im Bereich von großen Krümmungen oder großen zu erwartenden
Konzentrationsgradienten eine möglichst feine Gitterauflösung erreicht wird. Die
folgende Linearisierung der zu lösenden partiellen Differentialgleichungen (Ficksche
Gesetze) führt sonst zu großen Näherungsfehlern. In Abb. 6-1 ist eine solche
Diskretisierung exemplarisch für ein zweidimensionales Gebiet dargestellt.
Simulation und Modellierung 100_________________________________________________6 Seite
Abb. 6-1:
Diskrete Approximation eines kontinuierlichen zweidimensionalen Gebiets; Gitterpunkte
Gitterabstände h=sy,j∆y bzw. k=sx,i∆x; Verfeinerungsfaktoren
an und liegen zwischen 0 und 1 (siehe Randbereiche)
sy,j sx,i Pi,j
und und geben
Durch dieses Vorgehen muss daher nicht mehr eine Lösung auf dem gesamten
kontinuierlichen Gebiet errechnet werden, sondern nur noch für die einzelnen
Gitterpunkte Pi,j. Weitere Zwischenwerte können bei Bedarf aus der diskreten Lösung
mittels Interpolationstechniken bestimmt werden.
Die Diskretisierung der Ableitungen der partiellen Differentialgleichungen sowie der
vom System vorgegebenen Randbedingungen erfolgt durch Taylorentwicklung. Dabei
wird je nach auftretender Ordnung n der Ableitung die Entwicklung nach dieser Zahl an
Entwicklungsgliedern abgebrochen. Der resultierende Fehler zur exakten Lösung
entspricht dann dem Rest der Taylorsumme o( ) . ∆xn1
6.1.1 Allgemeine mathematische Darstellung
+
Im Fall der partiellen Differentialgleichungen, die den Stofftransport durch ein Polymer
beschreiben, treten sowohl Ableitungen erster als auch zweiter Ordnung auf. Diese gilt
es nun durch Taylorentwicklung zu linearisieren. Für einen isotropen und
konzentrationsunabhängigen Diffusionskoeffizienten lässt sich dies wie folgt
durchführen.
Ausgangspunkt sind die Fickschen Gesetze, wie sie bereits bei der Permeation durch
Polymere beschrieben wurden:
∂N
1. Ficksches Gesetz: j ------
1
⋅ --- – D∇c
D -----
∂c
∂c
(6-1)
∂t A
∂ x -----
∂c
= = = – ⎛ , , ---- ⎞
⎝ ∂y ∂z⎠