Thesis - Tumb1.biblio.tu-muenchen.de - Technische Universität ...

haltbaren Annahmen basiert, sollte es somit ebenfalls nicht für quantitative
Permeationsberechnung herangezogen werden.
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Numerische Modelle
Jamieson und Windle [92] bedampften Polyethylenterephthalat-Folie mit Aluminium
und analysierten die Muster mit Elektronen- und konventioneller Lichtmikroskopie
bezüglich ihrer Mikrostruktur und der auftretenden Defekte. Zur Modellierung der
Permeation durch das metallisierte PET stellten sie den zu untersuchenden Defekt als ein
kreisrundes Loch auf einem Polymerzylinder dar. Sie folgten mit diesem Ansatz
offenbar Prins und Hermans. Anders als diese nutzen Jamieson und Windle zur Lösung
der aufgestellten stationären Diffusionsgleichung ein Finite-Elemente Modell und lösten
das Problem auf numerischem Weg. Dabei wurde das dreidimensionale
zylindersymmetrische Problem des runden Defekts in einer undurchlässigen
Metallschicht auf dem Polymerzylinder in ein zweidimensionales Netz von
Gitterpunkten transformiert und dieses iterativ gelöst bis die Konvergenz erreicht ist.
Die Berechnung der Konzentrationen betrachteten Gitterpunkt innerhalb des
Polymerzylinders erfolgte nach:
c0
=
+ + + w1w2w3w4
( + + + ) c0
am
c1, ..., stellen die Konzentrationen der nächsten Nachbarn um den berechneten Punkt
dar und w1, ...., sind die Faktoren, die die Transformation von der drei- auf die
zweidimensionale Darstellung des Problems berücksichtigen. Um eine möglichst
schnelle Konvergenz zu erreichen, gingen die Autoren nicht von einem "leeren"
Polymer aus, sondern setzten ein ihrer Meinung nach geschicktes Konzentrationsprofil
auf dem Gitter an. Als Startwert wurde so zunächst ein konstanter Konzentrationsabfall
von c = 1 nach c = 0 für c(0,z), das heißt entlang der zentralen Schichtdickenachse des
Polymers, gewählt. Das wahre Konzentrationsprofil an der Metall/Polymergrenzschicht
wurde durch einen logarithmischen Abfall der Konzentration mit zunehmendem
Radius r vom Rand des Defekts bei
c4 w1c1w2c2w3c3w4c4
auf einen bestimmten Wert am Rand des
betrachteten Zylinders abgebildet. Dieser Wert am Zylinderrand sollte eine mögliche
w4
Wechselwirkung der Defekte untereinander beschreiben. Alle anderen Konzentrationen
wurden ausgehend von der Konzentration an der Metall/Polymergrenze über einen
linearen Konzentrationsabfall durch das Polymer hindurch zur Unterseite (c = 0)
berechnet und entsprechend als Startwerte eingesetzt.
r0
⋅
(2-41)
Mit Hilfe der beschriebenen Finite-Elemente Methode wurden von den Autoren auch
Durchlässigkeiten metallisierter Polymerverbunde aus mehreren Lagen Polymerfilm
berechnet. In der Originalarbeit von Jamieson sind hierzu eine Reihe von verschiedenen
Beispielen gerechnet und dargestellt [93].