Dehnung [%] ε S p a n n u n g [N /m m ²] σ

Spannung [N/mm²]
Übungen zum Spannungs-Dehnungs-Verhalten
Aufgabe 1:
Lösungsvorschläge
Ergebnisse eines Zugversuchs an Reinaluminium
200
150
100
50
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Dehnung [%]
10 20 30 40
Die Rundzugproben hatten vor dem Versuch eine Messlänge von 150 mm und einen
Durchmesser von 5 mm.
Nach dem Versuch war die Messlänge 198 mm, der kleinste Durchmesser im Einschnürbereich
3,6 mm.
(i) Ermitteln Sie alle technisch wichtigen Festigkeitskennwerte und Verformungskennwerte
E-Modul: E = (/) el E = 75 N/mm²/0,001 = 75 000 N/mm²
Streckgrenze R p0,2 = 115 N/mm²
Zugfestigkeit R m = 175 N/mm²
Bruchdehnung A: A = (L – L 0 )/L 0 = (198mm – 150 mm)/150mm = 0,32 = 32%

Brucheinschnürung Z: Z = (S 0 – S)/S 0
S = (d² )/4 S 0 = 19,6 mm² S = 10,2 mm²
Z = (19,6 mm² - 10,2 mm²)/ 19,6 mm² = 0,48 = 48%
(ii) Beschreiben Sie die technische Bedeutung dieser Kennwerte
Streckgrenze R p0,2 : Spannung, die im Werkstoff ein (technisch vernachlässigbare)
plastische Verformung von 0,2% erzeugt. Die Streckgrenze
kennzeichnet den Übergang vom rein elastischen in das elastisch -
plastische Verformungsverhalten des Werkstoffs
Im Gebrauch dürfen Produkte und Konstruktionen in der Regel
nur rein elastisch verformt werden.
Die Streckgrenze ist daher die Auslegungskenngröße zur
Berechnung einer Konstruktion bei vorgegebener Belastungsfähigkeit.
(Für das Umformen müssen dagegen Spannungen einwirken, die
größer als die Streckgrenze sind)
Zugfestigkeit R m :
Maximal ertragbare Spannung eines Werkstoffes: bei Erreichen
wird der Bruch eingeleitet. Die Zugfestigkeit bietet eine
Sicherheitsreserve bei (unvorhergesehenem) Überschreiten der
Streckgrenze
E-Modul:
Der E-Modul ist eine wichtige Kenngröße, die (neben der Gestalt) die Steifigkeit
(Fähigkeit bei Krafteinwirkung nur gering zu verformen) bestimmt.
Eine wichtige Bedeutung hat er bei Umformprozessen, denn jede plastische Verformung
wird von einer elastischen begleitet. Bei Rücknahme der Umformkraft bildet sich
also ein Teil der Verformung zurück. Dies muss bei der Auslegung des
Umformprozesses berücksichtigt werden. Die Verformung während des Umformens
muss also immer ein klein wenig größer gewählt als die gewünschte Formänderung.
Bruchdehnung A und Brucheinschnürung Z:
Die beiden Kenngrößen dienen der qualitativen Abschätzung des plastischen Verformungsvermögens
z.B. bei der Planung von Umformvorgängen oder bei der
Einschätzung des Risikos von spröden Brüchen im Anwendungsfall. Im Gegensatz zu
den Festigkeitskennwerten können sie nicht zur exakten Vorausberechnung des
Verhaltens eines Produktes verwendet werden, da sie bedingt durch das Phänomen der
Einschnürung nicht gänzlich unabhängig von der Probengeometrie sind.

Übungen zum Spannungs-Dehnungs-Verhalten
Aufgabe 2:
Bei der Verpackung großer Haushaltsgeräte in Großkartons werden zur Sicherung
Stahlbänder mit einem rechteckigen Querschnitt aus dem Stahl C10 mit einer Breite von
20 mm eingesetzt.
Die maximale Zugkraft, die beim Verpacken der Güter auftreten kann, wird maschinell
auf 600 N begrenzt. Die maximal zulässige Dehnung der Bänder beim
Verpackungsvorgang wird von der Qualitätssicherung auf 0,6% festgelegt.
400
Spannungs- Dehnungs-Verhalten des Stahles C10
350
300
2
Spannung [N/mm ]
250
200
150
100
50
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
10 20 30 40
Dehnung [%]
(i) Welche Mindestdicke müssen die Bänder haben?
aus Diagramm: zulässige Maximalspannung zul = 300 N/mm²
= F/S S = F/ S = 600N/(300 N/mm²) = 2,0 mm²
S = b d d = S/b = 2,0 mm²/20 mm = 0,1 mm
(ii) Versehentlich wurde die Zugkraftbegrenzung der Verpackungsmaschine ausgeschaltet.
Plötzlich reißt das Band beim Verpackungsvorgang. Welche Zugkraft hat
eingewirkt?
aus Diagramm:
R m = 380 N/mm² F Zug = R m S = 380 N/mm² 2,0 mm² = 760 N

Abstand zur Decke = ?
Übungen zum Spannungs-Dehnungs-Verhalten
Aufgabe 3:
Sie möchten am Vordach Ihres Hauses eine gusseiserne
Blumenampel aufhängen. In Ihrem wenig sortierten
Werkzeugkasten finden sich hierfür zwei kurze Stücke
Stahldraht (C10) unterschiedlicher Durchmesser, die Sie
kurz entschlossen miteinander verknoten.
Der eine Stahldraht hat einen Durchmesser 0,41 mm, der
andere einen Durchmesser von 0,60 mm Beide Stahldrähte
tragen (unbelastet!) je 0,5 m zur Gesamtlänge der
Drahtanordnung von 1,0 m bei. Die leere Blumenampel hat
eine Gewichtskraft von 40 N.
Draht 1
d = 0,41 mm
1
Draht 2
d = 0,60 mm
2
40 N
400
350
300
2
Spannung [N/mm ]
250
200
150
100
50
zu (i)
zu (ii)
zu (i)
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
10 20 30 40
Dehnung [%]
(i) Wie tief hängt die Blumenampel (gemessen bis zum Bügel) unterhalb der Decke?
S = d²/4
S 1 = 0,132 mm² S 2 = 0,283 mm²
1 = F/S 1 = 40 N / 0,132 mm² = 303 N/mm² = 303 N/mm²
aus Diagramm: 1 = 0,62% l 1 = 1 l 0 = 0,0062 500 mm = 3,1 mm
2 = F/S 2 = 40 N / 0,283 mm² = 141 N/mmm² = 141 N/mm²
aus Diagramm: 2 = 0,07%
l 2 = 2 l 0 = 0,0007 500 mm = 0,35 mm
Abstand zur Decke: 500 mm + 500 mm + 3,1 mm + 0,35 mm = 1003,45 mm

(ii) Welche Länge haben die Drähte nach Abhängen der Ampel?
Draht 1: pl
1
= 0,48% l pl 1 = 0,0048 500 mm = 2,4 mm
l 1 = 502,4 mm
Draht 2: Belastung erfolgte nur im elastischen Bereich
l 2 = 500 mm (unverändert)
(iii) Sie füllen in die hängende Blumenampel Erde ein, pflanzen die Blumen und Gießen.
Plötzlich reißt die Drahtanordnung. Welche Gewichtskraft haben Erde, Blumen und
Gießwasser zusammen ausgemacht?
Die Zugfestigkeit wird zuerst im dünneren Draht 1 erreicht!
R m = F gesamt / S 1
F gesamt = R m S 1 = 380 N/mm² 0,132 mm² = 50,2 N
F gesamt = F Blumenampel, leer + F E+B+G (E = Erde, B = Blumen, G = Gießwasser)
F E+B+G = F gesamt - F Blumenampel, leer = 50,2 N – 40 N = 10,2 N

Spannung [N/mm²]
Übungen zum Spannungs-Dehnungs-Verhalten
Aufgabe 4:
Eine Blumenampel aus Gusseisen wird an einem Stahldraht
und einem Aluminiumdraht gleicher Durchmesser (d = 0,35 mm)
wie nebenstehend skizziert aufgehängt. Die Ausgangslänge
beider Drähte betrug je 0,5m. Bei anhängender Ampel sind die
Drähte um 0,5 mm verlängert.
Spannungs-Dehnungsverhalten des Stahldrahtes
400
zu (ii)
Aluminiumdraht
Stahldraht
350
300
2
Spannung [N/mm ]
250
200
150
100
zu (i)
50
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
5 10 15 20
Dehnung [%]
Spannungs- Dehnungsverhalten des Aluminiumdrahtes
200
150
100
zu (ii)
50
zu (i)
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Dehnung [%]
10 20 30 40
(i) Ermitteln Sie die Gewichtskraft der Blumenampel.
S = d²/4
S = 0,096 mm² 0,1 mm²
= l/l 0 = 0,5 mm/500mm = 0,001 = 0,1 %
Stahldraht:
ST = 200 N/mm² F St = St S = 200 N/mm² 0,1 mm² = 20,0 N

Aluminiumdraht:
Al = 70 N/mm² F Al = Al S Al = 70 N/mm² 0,1 mm² = 7,0 N
Gewichtskraft der Blumenampel = 20 N + 7 N = 27,0 N
(ii) Die Ampel wird mit Erde befüllt und mit Blumen bepflanzt und gegossen. Plötzlich
reißt die Drahtanordnung. Welches Gewicht haben Blumen, Erde und Gießwasser
zusammen ausgemacht?
Bruch wird eingeleitet durch Erreichen der Zugfestigkeit des Stahldrahtes bei einer
Dehnung von = 15 %!
Berechnung der max. Bruchkraft:
Stahldraht
R m = 380 N/mm² F St = R m S = 380 N/mm² 0,1 mm² = 38,0 N
Aluminiumdraht
bei = 15 % und damit im Moment der Brucheinleitung liegt im Al-Draht eine
Spannung Al = 170 N/mm² vor
Al = 170 N/mm² F Al = Al S = 172N/mm² 0,1 mm² = 17,2 N
Bruch wird bei einer Gesamtlast von 38,0 N + 17,2 N = 55,2 N ausgelöst.
Die Zuladung hat daher 55,2 N – 27,0 N (Gewicht der Blumenampel) = 28,2 N betragen

Spannung [N/mm²]
Übungen zum Spannungs-Dehnungs-Verhalten
Aufgabe 5:
Am Vordach eines Hauses wird eine gusseiserne
Blumenampel (30 N) mit zwei Drähten in nebenstehender
Anordnung aufgehängt. Es stehen zwei Stahldrähte und
zwei Aluminiumdrähte mit jeweils der gleichen Länge (1m)
zur Verfügung.
Stahldrähte:
Stahldraht 1
Stahldraht 2
Aluminiumdrähte:
Aludraht 1
Aludraht 2
: d St1 = 0,250 mm
: d St2 = 0,275 mm
: d Al1 = 0,375 mm
: d Al2 = 1,000 mm
Spannungs-Dehnungsverhalten der Stahldrähte
400
350
300
St1
2
Spannung [N/mm ]
250
St2
200
150
100
50
Spannungs- Dehnungsverhalten der Aluminiumdrähte
200
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Dehnung [%]
5 10 150 15 20
Al1
100
50
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Welche beiden Drähte würden Sie zur Aufhängung auswählen? Bitte substantiell
begründen!
Al2
Dehnung [%]
10 20 30 40
S = d²/4
S St1 = 0,049 mm², S St2 = 0,059 mm² , S Al1 = 0,11 mm², S Al2 = 0,79 mm²

St1: = 15N/0,049 mm² = 306 N/mm² aus Diagramm = 0,55 %
St2: = 15N/0,059 mm² = 254 N/mm² aus Diagramm = 0,22 %
Al1: = 15N/0,11 mm² = 136 N/mm² aus Diagramm = 0,55 %
Al2: = 15N/0,79 mm² = 19 N/mm² aus Diagramm = 0,03 %
Empfohlene Drähte: Stahldraht 1 und Aluminiumdraht 1
Begründung: beide Drähte haben unter Last die gleiche Dehnung von 0,55 %. D.h. die
Blumenampel hängt gerade. Jede andere Kombination würde zu einer schräg
hängenden Blumenampel führen

Spannung [N/mm²]
Übungen zum Spannungs-Dehnungs-Verhalten
Aufgabe 6:
Ein Verpackungsfolie aus LDPE mit den Abmessungen Breite 40 cm und Dicke 40 m
wird während des Abrollens beim
Verpackungsvorgang mit folgenden
Zugkräften belastet:
Produkt
(i) F = 50 N
(ii) F = 230 N
(iii) F = 330 N
Beschreiben Sie, wie sich die Folie
bei Lasteinwirkung und nach
Entlastung verhält.
F
Spannungs-Dehnungsverhalten der Folie
24
20
LDPE, RT
16
12
ca. 1000%
8
4
0
0
20 40 60 80 100 120
Dehnung [%]
S = 400mm 40 10 -3 mm = 16 mm²
(i) =50N/16 mm² = 3,1 N/mm²
linearelastische Dehnung, bildet sich bei Entlastung sofort und vollständig zurück
(ii) =230N/16mm² = 14,3 N/mm²
lineare + nichtlineare elastische Dehnung, erstere bildet sich bei Entlastung
sofort, der nichtlineare Beitrag nur zeitverzögert zurück
(iii) =330N/16mm² = 20,6 N/mm²
Fließbeginn, die Folie wird sich solange die Kraft einwirkt plastische verformen
(Verstrecken), nach Entlastung bildet sich ein Teil des elastischen Dehnungsbeitrages
sofort, ein weiterer zeitverzögert zurück