Aufgabe 1 Gegeben sei die Wertetabelle i 0 1 2 3 xi 0 1 2 4 fi −3 1 2 ...

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Höhere Mathematik IV (für Elektrotechniker und
Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007
Dr. S. Börm , Dr. M. Larin
Polynominterpolation
Aufgabe 1
Gegeben sei die Wertetabelle
i 0 1 2 3
x i 0 1 2 4
f i −3 1 2 7
a) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom
von Lagrange durch die obigen
Wertepaare.
b) Interpolieren Sie die Wertetabelle gemäß
der Newton-Form.
c) Wie lautet das Interpolationspolynom
unter Hinzunahme des Punktes
(x 4 , f 4 ) = (−1, 1)
bzw. der Punkte
(x 4 , f 4 ) = (−1, 1) und (x 5 , f 5 ) = (3, 6)?
.

Polynominterpolation 2
P 4 (x) =
4∑
f(x j ) l j4 (x)
j=0
= (−3) · x − 1
0 − 1 · x − 2
0 − 2 · x − 4
0 − 4 · x + 1
0 + 1
+1 · x − 0
1 − 0 · x − 2
1 − 2 · x − 4
1 − 4 · x + 1
1 + 1
+2 · x − 0
2 − 0 · x − 1
2 − 1 · x − 4
2 − 4 · x + 1
2 + 1
+7 · x − 0
4 − 0 · x − 1
4 − 1 · x − 2
4 − 2 · x + 1
4 + 1
x − 0
+1 ·
−1 − 0 · x − 1
−1 − 1 · x − 2
−1 − 2 ·
= 7 15 x4 − 83
30 x3 + 53
15 x2 + 83
30 x − 3.
x − 4
−1 − 4

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Polynominterpolation: Lagrange-Form
Die Lagrangschen Grundpolynome lauten
n∏ x − x
l jn (x) =
k
, j = 0, . . . , n.
x i − x k
k = 0
k ≠ j
Sie haben die Eigenschaft
l jn (x i ) = δ ji , i, j = 0, . . . , n,
wobei δ ji das Kronecker–Symbol bezeichnet.
In der Lagrange-Darstellung lautet die Interpolationspolynom
n∑
P n (x) = f(x j )l jn (x).
j=0

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Polynominterpolation: Newton-Form
Die Newton-Basis lautet
w 0 (x) = 1, w k (x) =
k−1
∏
(x − x i ),
i=0
mit k = 0, . . . , n. Die dividierten Differenzen
berechnen sich rekursiv nach der Formel
[x 0 , . . . , x n ]f = [x 1,...,x n ]f−[x 0 ,...,x n−1 ]f
x n −x 0
mit [x i ]f = f(x i ). Das Interpolationspolynom
in der Newton–Form lautet
n∑
P n (x) = [x 1 , . . . , x k+1 ]f · w k (x).
k=0

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Polynominterpolation
Aufgabe 2
Sei f(x) = e x und p(x) ∈ P 3 dasjenige
Polynom, das f(x) an den Stellen
x 0 = −1, x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2,
interpoliert.
a) Geben Sie p(x) in der Newton-Form
an.
b) Wie groß kann der Interpolationfehler
im Interval [1, 2] höchstens werden?
c) Wie läßt er sich an der Stelle x = 1 2
abschätzen und wie groß ist er tatsächlich?

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Polynominterpolation: Fehlerabschätzung
Für x i ∈ [a, b] und f ∈ R n+1 [a, b] gilt
f(x) − P n (x) = f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
wobei ξ ∈ [a, b] und
· ω n+1 (x),
ω n+1 (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) . . . (x − x n ).
Die Fehlerabschätzung auf [a, b]:
f (n+1) (ξ)
|f(x) − p n (x)| =
· ω
∣ (n + 1)! n+1 (x)
∣
f (n+1) (x)
≤ max
x∈[a,b] ∣ (n + 1)! ∣ · max |ω n+1(x)|
x∈[a,b]

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Aufgabe 3
Die Funktion
Polynominterpolation
f(x) := 2 sin(3πx)
soll durch Polynome an den Stützstellen
interpoliert werden.
x 1 = 0, x 2 = 1 12 , x 3 = 1 6 , x 4 = 1 3
a) Werten Sie das Interpolationspolynom P (f|x 1 , x 2 , x 4 )(x)
an der Stelle x = 1 10
mit dem Aitken-Neville-Schema
aus.
b) Bestimmen Sie die Lagrange- und die Newton-Darstellung
des Polynoms P (f|x 1 , x 2 , x 3 )(x).
c) Werten Sie die Newton-Darstellung aus Teilaufgabe b)
mit dem Horner-Schema an den Stellen y 1 = 1 10 und
y 2 = 1 8 aus.
d) Schätzen Sie den Interpolationsfehler |P (f|x 1 , x 2 , x 3 )(x) − f(x)|
im Intervall [0, 1 6 ] ab.
e) Ermitteln Sie das Interpolationspolynom P (f|x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )(x).
Welche Darstellung wählen Sie?

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Polynominterpolation: Horner-Schema
Zur Berechnung des Wertes des Polynom
n∑
P n (a) = c k w k (a) = c 0 + (a − x 0 )(c 1
k=0
+ . . . (c n−1 + (a − x n−1 )c n ) . . .)).
mit c k = [x 1 , . . . , x k+1 ]f an der Stelle x = a
benutzt man eine effiziente Methode
Setze p := c n .
Für k = n − 1, . . . , 0 berechne
s = c k + (a − x k )p

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Polynominterpolation: Neville-Aitken-Schema
Lemma 8.6.
P i,k = x−x i−k
x i −x i−k
P i,k−1 +
x i−x
x i −x i−k
P i−1,k−1
= P i,k−1 + u i−u
u i −u i−k
(P i−1,k−1 − P i,k−1 )
für 0 ≤ k ≤ i ≤ n.

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Aufgabe 4
Die Funktion
Polynominterpolation
f(x) =
∫ x
0
sin 2 (t) dt
soll im Intervall I = [0, π 2 ] äquidistant
so tabelliert werden, daß bei linearer Interpolation
der Interpolationsfehler für
jedes x ∈ I kleiner als 0.25 · 10 −4 ist.
Wie groß darf der Stützstellenabstand h
dann höchstens sein und wieviele Funktionswerte
müssen in die Tabelle aufgenommen
werden?

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Polynominterpolation
Aufgabe 5
□ Gegeben seien die reellen Stützstellen
x 0 , x 1 , . . . , x n ∈ R mit
x 0 < x 1 < · · · < x n
und eine stetige Funktion f : R → R.
Das Interpolationspolynom P (f|x 0 , . . . , x n )
ist eindeutig bestimmt.
□ Gegeben seien die reellen Stützstellen
x 0 , x 1 , . . . , x n ∈ R mit
x 0 < x 1 < · · · < x n
und eine stetige Funktion f : R → R.
Sei τ ∈ S {0,1,...,n} eine Permutation
der Punkte 0 bis n. Dann gilt
P (f|x 0 , x 1 , . . . , x n ) =
P (f|x τ(0) , x τ(1) , . . . , x τ(n) ).

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Aufgabe 5
Polynominterpolation
□ Seien [a, b] ⊂ R ein kompaktes Intervall
und f : [a, b] → R (n + 1)-mal
stetig differenzierbar. Dann läßt sich
der Approximationsfehler abschätzen
durch
max |f−P n| ≤ max |ω n|· max
x∈[a,b] x∈[a,b] x∈[a,b]
|f (n) (x)|
(n + 1)! .
□ Es sei l i,n (x) die Lagrange–Grundpolynome
zu den Stützstellen x 0 , . . . , x n , n ≥ 1,
dann gilt
n∑
(x + 1) n = l i,n (x)(x i + 1)
i=0
für alle x ∈ [x 0 , x n ].