ketes bewegt sichlen mitdie derPhasengeschwindigkeiten Gruppengeschwindigkeitv ph = = p 0 E/m p /p wächst mit der Zeit t; das bedeutet, daß die Funktion |ψ| 2 = ∂E/∂p| p/2m p0 besitzen. wie Die G 2.3 Superposition von ebenen Wellen 17 ein klassisches Teilchen, wächst mit während der Zeit diet; einzelnen das bedeutet, superponierten daß die Funktion imebenen Laufe|ψ| Wellen flacher die Phasengeschwindigkeiten wird, daß sie auseinanderfließt“, der 2 imZeit Laufe d also auch im Ortsraum ihre Lokalisation eine Gauß-Verteilung. also abnimmt. Das Maximum Lokalisierte Zustände, flacher |ψ| d. ” h. wird, 2 solche getsdaß flatter. mit ketes vsie ph räumlich bewegt = auseinanderfließt“, E p /p konzentrierter = p/2m besitzen. Die Größe ∆ wächst Ferner mit interessieren der Zeit t; dasuns bedeutet, Mittelwert ” sich mit Gruppengeschwindigkeit Ausdehnung, erhalten wir durchFerner Superposition interessieren ein ihre Lokalisation v also = p daß die und Funktion Schwankungsquadrat |ψ| 2 0 abnim /m = (Überlagerung) klassisches uns Teilchen, Mittelwert ebener Wellen während 1 und : imdie Schwankungsquadrat Laufe einzelnen der des Zeit superponierten Ortes de flacher für die wird, vorliegende ∫ daß d 3 für sie Wahrscheinlichkeitsdichte { )} p dieauseinanderfließt“, vorliegende Wahrscheinlichkeitsdichte ihre Lokalisation (2.14). Deralso Mittelwert (2.14). abnimmt. Der des Mittelwert Ortes de berechnet sich zu ” i ψ(x,t)= Ferner interessieren (2π) berechnet 3 ϕ(p)exp len (p . x − p2 Phasengeschwindigkeiten unssich Mittelwert zu 2m t v ph = E p /p = p/2m besitzen. wächst mit . (2.5) und der Schwankungsquadrat Zeit t; das bedeutet, daß des die Funktion Ortes |ψ| 2 im L } für die vorliegende ∫ ∞ {{ Wahrscheinlichkeitsdichte ∫ ∞ flacher wird, } daß (Dreidimensionales Wellenpaket) (2.14). sie auseinanderfließt“, Der Mittelwert ihre des Ortes Lokalisation also ” berechnet 〈x〉 = sich |ψ(x, zu t)| 〈x〉 2 Ferner x= dx |ψ(x, t)| 2 interessieren uns Mittelwert und Schwankungsquad x dx ∆ increases in time =⇒ wave function spreads out, localisation is reduced. closer look on the average and root-mean-square deviation of position for the present PDF. Besonders einfach ∫ −∞ ∞ werden die Verhältnisse für ein eindimensionales Gaußsches Wellenpaket, d. h. 〈x〉 = ∫+∞ |ψ(x, t)| 2 −∞ berechnet sich zu x dx ∫+∞ ∫+∞ +∞ ϕ(p) =A exp{−(p − p 0 ) 2 d 2 / 2 ∫ } . ∞ ∫ (2.6) −∞ = dx|ψ(x, t)| = 2 〈x〉 = (x −dx|ψ(x, vt)+ t)| 2 |ψ(x, t)| (x − vt)+ 2 x dx (Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist trivial, weil das dreidimensionale Gaußsche Wellenpaket exp{−(p ∫+∞ ∫+∞ −∞ −∞ = dx|ψ(x, t)| 2 −∞ − p 0 ) 2 d 2 −∞ / 2 } in drei eindimensionale (x − vt)+ dx|ψ(x, t)| 2 −∞ Gauß-Funktionen faktorisiert.) Zur Berechnung von ∫+∞ (2.5) führenvt wir= vorübergehend die Abkürzungen = 0, odd function in (x-vt) = vt . −∞ −∞ ist. Für das Schwankungsquadrat erhält man a = d2 2 +i t 2m , b = d2 p 0 2 +i x 2 , c = d2 −∞ p 2 0 2 (2.7) dx|ψ(x, t)| 2 vt dx|ψ(x, = vt . t)| 2 vt = vt . Das erste Integral Das verschwindet, erste Integral da verschwindet, dx|ψ(x, |ψ(x, t)| 2 eine da t)| |ψ(x, 2 − gerade t)| vt)+ 2 Funktion einedx|ψ(x, geradet)| in (x−vt) Funktion 2 = vt . in ist. Für das Schwankungsquadrat erhält man −∞ Das erste Integral verschwindet, da |ψ(x, t)| 2 eine gerade Funktion in (x−vt) (∆x) 2 (∆x) = 〈(x −〈x〉) 2 〉 2 = 〈(x −〈x〉) 2 〉 ist. ein, mittels Für das derer Schwankungsquadrat (2.5) und (2.6) ∫ ist. erhält man +∞ Für +∞ (∆x) 2 = 〈(x−∞ −〈x〉) = dx|ψ(x, 2 〉 t)|2 −∞ = (x − dx|ψ(x, das Schwankungsquadrat erhält man vt) 2 t)|2 (x − vt) 2 ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ dx|ψ(x, = d 2 (1 + ∆ 2 +∞ ) . −∞ = dx|ψ(x, t)|2 − t)|2 vt) −∞ 2 dx|ψ(x, = d 2 (1 + ∆ 2 ) . ψ(x, t) = A ∫ { ( dp exp −a p − b ) 2 } (∆x) 2 + b2 2π a a − c = 〈(x −〈x〉) 2 〉 ∫ +∞ t)|2 Hier ∫ +∞ benützten Hier benützten wir −∞(2.9) dx|ψ(x, wir (2.9) und d 2 (1 deren + ∆ 2 = A √ { } −∞ π b 2 = dx|ψ(x, t)|2 (x − vt) 2 ∫ ) Ableitung . nach α: 2π a exp a − und c +∞ t)|2 −∞ deren Ableitung nach dx|ψ(x, = d 2 (1 + ∆ 2 ) . (2.8) α: t)|2 Derivative ergeben, wobei wir das bekannte Hier benützten ∫ ∞ wir (2.9) ∫ ∞ Gauß-Integral Hier benützten with respect und deren Ableitung nach α: ∫ dx x 2 e −αx2 = √ dx x 2 e −αx2 = √ wir (2.9) tound α: deren Ableitung nach α: ∫ ∞ √ ∫ ∞ π/2α 3/2 π . ∞ dx e −αx2 = π/2α 3/2 . dx x 2 α −∞ e −αx2 = √ dx x 2 e −αx2 = √ π/2α 3/2 (2.9) . −∞ π/2α 3/2 . −∞ root-mean-square deviation This follows from −∞ für die vorliegende Wahrscheinlichkeitsdichte (2.14). Der Mittelw ∫ +∞ Das erste Integral verschwindet, da |ψ(x, t)| 2 eine gerade Funkt
with α = Thus we have: 1 2d 2 (1 + ∆ 2 ) =⇒ (∆x) 2 = d 2 (1 + ∆ 2 ) position expectation value: position uncertainty: x = vt ∆x = d √ 1+∆ 2 examples: i) macroscopic particle mass m = Nm p ≈ 10 23 × 10 −24 g = 10 −1 g ∆= t 2md 2 ≈ 10−26 t d 2 ii) α − particle ∆ = (10 −27 /2 · 4 · 1.6 · 10 −24 ) t d 2 ≈ 10−4 t d 2 ∆x = d = 10 −11 cm at t =0 =⇒ ∆=1att ≈ 10 −18
Change language