C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quanten mechanics 1 & 2

Lokalisierte Zustände, d. h. solche mit räumlich konzentrierter Ausdeh
nung,
localized Lokalisierte erhalten
states are Zustände, wir durch
obtained d. Superposition
by h. superposition:
solche mit räumlich (Überlagerung) konzentrierter ebener Ausdehnung,
erhalten ∫wir durch Superposition (Überlagerung) ebener Wellen 1 :
Wellen 1 :
∫
d 3 { )}
p
d 3 { i
ψ(x,t)=
)}
p
i
(p
ψ(x,t)= (2π)
(p
(2π) 3 ϕ(p)exp 3 ϕ(p)exp . x − p2
. x − p2
2m t 2m t . (2.5)
. (2.5)
} {{ }
}
(Dreidimensionales
{{
Wellenpaket)
}
(Dreidimensionales Wellenpaket)
Besonders
Besonders
especially simple einfach
einfach
for
werden
a werden one-dimensional die Verhältnisse
die Verhältnisse
Gaussian
für
wave für
ein
packet ein eindimensionales Gauß
eindimensionales Gauß-
sches Wellenpaket, d. d. h. h.
ϕ(p) =A exp{−(p − p 0 ) 2 d 2 / 2 } . (2.6)
ϕ(p) =A exp{−(p − p 0 ) 2 d 2 / 2 } . (2.6)
(Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist trivial, weil das dreidimen
sionale Gaußsche Wellenpaket exp{−(p − p 0 ) 2 d 2 / 2 } in drei eindimensionale
Gauß-Funktionen faktorisiert.) Zur Berechnung von (2.5) führen wir vorüber
gehend die Abkürzungen
(Die 18 Verallgemeinerung 2. Wellenfunktionauf und drei Schrödinger-Gleichung
Dimensionen ist trivial, weil das dreidimensionale
(the three-dimensional Gaußsche Wellenpaket Gaussian wave exp{−(p packet is product − p 0 ) 2 of d 2 the / 2 one-dimensional } in drei eindimensionale
ones)
Gauß-Funktionen A = 4√ 8πd 2 . faktorisiert.) Zur Berechnung von (2.5) führen wir vorübergehend
(2.13)
We obtain
die
for
Abkürzungen
the probability density (exercise ???)
Damit erhalten wir insgesamt
d2
2 +i t
2m , b = d2 p 0
2 +i x 2 , c = d2 p 2 0
2 (2.7)
a = d2
2 +i t
2m , b = d2 p 0 {
2 +i x 2 , c = d2 p 2 0
|ψ(x, t)| 2 1
=
ein, mittels derer d(2.5) √ 2π(1 und + ∆(2.6)
2 ) exp −
(x − }
vt)2
2d 2 (1 + ∆ 2 . (2.14)
)
ψ(x, t) =
A ∫ { (
dp exp −a p − b ) 2 }
group
also auch
velocity
im
v
Ortsraum
= p + b2
2π
a a − c ψ(x, t) =
A
0 ∫ eine Gauß-Verteilung. { ( ) 2
Das Maximum } des Wellenpaketes
bewegt sichm mit , der ∆ = t
√ dp
Gruppengeschwindigkeit 2md
{ exp
2
2
−a}
+ b2 v
a − = c p 0 /m = ∂E/∂p| p0 wie
ein klassisches Teilchen, während die einzelnen superponierten ebenen Wel-
ein, mittels derer (2.5) und (2.6)
2π
p − b a
2 (2.7)