C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quanten mechanics 1 & 2

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∫ ∫ d∫ 3 p (2π) 3 . ∫ψ(x,t)= x/ dann bekommt man damit dann ∫ bekommt (2π) man 3 ϕ(p,t)eip , damit d =⇒ 3 = d 3 d 3 ∫ } p i x x |ψ(x,t)| 2 d 3 x |ψ(x,t)| (2π) 2 6 d 3 p exp{ ′ (p − p′ ) . x ϕ(p,t)ϕ ∗ (p ′ ,t) dann bekommt d 3 x man |ψ(x,t)| damit ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 = d 3 d 3 ∫ } = p i d x (2π) 6 d 3 p exp{ 3 x d 3 d 3 ∫ } = |ψ(x,t)| x d p ∫ ∫ ′ (p − p′ ) . x ∗ (p ′ = d 3 d 3 ∫ } (2π) 2 p x ∫ (2π) = d 3 d 3 p ′ 6 d 3 p exp{ 6 d 3 p exp{ 3 d 3 p ′ p i ′ ′ (p − i p′ ) . x ϕ(p,t)ϕ ∗ (p ′ ,t) (p − p′ ) . x ϕ(p,t)ϕ ∗ (p ′ ,t) wegen ∫ ∫ ∫ ∫ } p ∫ i = d x (2π) 3 δ(3) (p − p ′ )ϕ(p,t)ϕ ∗ (p ′ , (2.18) = d(2π) 3 p 6 d 3 p d ′ 3 p exp{ 3 d 3 p ′ ′ wegen (2π) 3 δ(3) (p − p ′ )ϕ(p,t)ϕ − p′ ) . x ϕ(p,t)ϕ ∗ (p ′ ,t) ∫ p } ∗ (p ′ ,t) , (2.18) ∫ ∫ i d 3 x exp{ = wegen ∫ 3 d 3 p ′ p (p − (2π) } ∫ i d 3 x exp{ i (p − p′ ) . } x =(2π) 3 δ (3) (p − p ′ ) . d 3 x exp{ 3 δ(3) (p p′ ) . x =(2π) 3 δ (3) (p − p ′ ) . − p ′ )ϕ(p,t)ϕ ∗ (p ′ ,t) , (2.18) ∫ } wegen due to i Folglich d 3 x exp{ ergibt (p − p′ ) . x =(2π) 3 δ (3) (p − p ′ ) . ∫ (p sich − dFolglich 3 x exp{ p′ aus ) . x(2.18) =(2π) 3 δ (3) (p − p ′ ) . } ∫ergibt i sich aus (2.18) Folglich ∫ (p − ∫ sich p′ ) . x =(2π) 3 δ (3) (p − p ′ ) . (Exercise ???) d 3 x |ψ(x,t)| aus (2.18) 2 = ∫ d 3 1 p ∫ ∫ d 3 x |ψ(x,t)| ∫ 2 = ∫ (2π) d 3 1 3 |ϕ(p,t)|2 p (2π) 3 |ϕ(p,t)|2 . (2.19) Folglich ergibt} sich } daus 3 x |ψ(x,t)| (2.18) {{ 2 = {{ d 3 1 =⇒ d 3 x |ψ(x,t)| 2 = d 3 p1 } (2π) 3 |ϕ(p,t)|2 } . (2.19) (Parsevalsches ∫ Theoremp (Parsevalsches } ∫ der Theorem der {{(2π) Fourier-Transformation) Fourier-Transformation) } (Parsevalsches d 3 x |ψ(x,t)| 2 Theorem = d 3 1 3 |ϕ(p,t)|2 } {{ p } der Fourier-Transformation) (2π) Das legt für die Wahrscheinlichkeitsdichte 3 |ϕ(p,t)|2 . (2.19) (Parsevalsches } Theorem {{ der Fourier-Transformation) im } Impulsraum folgende Definition nahe: Motivation (Parsevalsches nahe: Das legtfor fürprobability die Theorem Wahrscheinlichkeitsdichte der density Fourier-Transformation) momentum im Impulsraum space folgende Definition nahe: 1 Das legt W für (p,t)= W die Wahrscheinlichkeitsdichte (2π) 1 3 |ϕ(p,t)|2 . im Impulsraum folgende Definition (2.20) nahe: W (p,t)= (2π) 3 |ϕ(p,t)|2 . (2.20) 1 W (p,t)= Dies ist auch 1 im Einklang damit, daß für eine ebene Welle mit Impuls p 0 die W (p,t)= Fourier-Transformierte Dies ist auch im Einklang ϕ(p,t) damit, nurdaß für für p = eine p 0 verschieden ebene Wellevon mit Null Impuls ist. p 0 die Fourier-Transformierte (2π) 3 |ϕ(p,t)|2 . (2.20) Kehren wir nun zumϕ(p,t) Gaußschen nur für Wellenpaket p = p 0 verschieden in einer von Dimension Null ist. ((2.5), Dies istspezialisiert auch Kehren im Einklang wir auf nun eine damit, zum Dimension, Gaußschen daß für und eine (2.6)) Wellenpaket ebene zurück. Welle inFür einer mit diesen Impuls Dimension speziellen p ((2.5), 0 die Fall dann bekommt man damit wegen Folglich ergibt sich aus (2.18) (2π) 3 δ(3) (p − p ′ )ϕ(p,t)ϕ ∗ (p ′ ,t) , (2.18) (2π) 3 δ(3) (p − p ′ )ϕ(p,t)ϕ ∗ (p ′ ,t) , (2.18) . (2.19) . Parseval identity (2.19) Das legt für die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum folgende Definition Das legt für die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum folgende Definition nahe: (2π) 3 |ϕ(p,t)|2 . (2.20) (2π) 3 |ϕ(p,t)|2 . (2.20) Dies ist auch im Einklang damit, daß für eine ebene Welle mit Impuls p 0 die Fourier-Transformierte ϕ(p,t) nur für p = p Dies ist auch im Einklang damit, daß für eine ebene 0 verschieden von Null ist. Welle mit Impuls p 0 die Kehren wir nun zum Gaußschen Wellenpaket in einer Dimension ((2.5),
(2π) 0 Fourier-Transformierte ϕ(p,t) nur für p = p 0 verschieden von Null ist. Dies Kehren ist auch wirimnun Einklang zum Gaußschen damit, daß Wellenpaket für eine ebene in einer Welle Dimension mit Impuls ((2.5), p 0 die spezialisiert Gaussian Fourier-Transformierte wave auf packet eine Dimension, (in one ϕ(p,t) dimension) nur und für (2.6)) p = zurück. p 0 verschieden Für diesen von speziellen Null ist. Fall erhält Kehren man die wirWahrscheinlichkeitsdichte nun zum Gaußschen Wellenpaket in einer Dimension ((2.5), spezialisiert auf eine Dimension, W (p, t) = 1 √ und (2.6)) zurück. Für diesen speziellen Fall erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichte 2 d 2π |ϕ(p)|2 = π exp{−2(p − p 0) 2 d 2 / 2 } . (2.21) DieseW ist (p, zeitunabhängig, t) = 1 √ 2 d 2π |ϕ(p)|2 da= wir π freie exp{−2(p Teilchen − betrachten. p 0) 2 d 2 / 2 Mit } . (2.21) kann (2.21) note that W (p, t) =W (p) istimeindependent(freeparticle) der mittlere Impuls zu Diese ist∫zeitunabhängig, ∫da wir freie Teilchen betrachten. ∫ Mit (2.21) kann average der〈p〉 mittlere = momentum dpImpuls W (p, t)p zu = dp W (p, t)(p − p 0 )+ dp W (p, t)p 0 = p 0 ∫ ∫ ∫ berechnet 〈p〉 = werden, dp W und (p, t)p das = zugehörige dp W (p, Schwankungsquadrat t)(p − p 0 )+ dp W (p, lautet t)p 0 = p 0 2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Impulsmessung 21 berechnet werden, und das ∫ zugehörige Schwankungsquadrat ( ) lautet 2 (∆p) 2 = 〈(p − p 0 ) 2 〉 = dp W (p, t)(p − p 0 ) 2 = . 2d Also: =⇒ p = p 0 , ∆p = 2d =⇒ ∆x∆p = 1+∆2 ≥ 2 2 Impulsmittelwert: 〈p〉 = p 0 (2.22) Impulsunschärfe: ∆p = /2d . special case of uncertainty relation (2.23) Zusammen mit (2.16) führt dies zu
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