C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quanten mechanics 1 & 2

Wir gehen von der Schrödinger-Gleichung 2.6 Das Ehrenfestsche Sinn und dies der der Theorem dazu Fall konjugiert ist. komplexen
Ehrenfest Gleichung Theorem aus:
Wir gehen von der Schrödinger-Gle
Die klassische Newtonsche Mechanik muß als Grenzfall in der Qua
plexen Gleichung aus:
nik enthalten sein. Wir wollen in diesem Abschnitt untersuchen,
classical
i ∂ Sinn dies der Fall ist.
∂t ψ Newtonian = Hψ mechanics = limiting case of QM
Wir gehen von der Schrödinger-Gleichung i ∂ und der dazu konj
plexen Gleichung aus: ∂t ψ = Hψ (2.52a)
but how?
−i ∂ ∂t ψ∗ = Hψ ∗ .
Consider Schrödinger eqn.:
i ∂ ∂t ψ = Hψ
−i ∂ ∂t ψ∗ = Hψ ∗ .
(2.52b)
Für einen linearen Operator A ist
−i ∂ der Mittelwert (= Erwartungswert) im
conj. complex:
Zustand ψ definiert durch ∂t ψ∗ = Hψ ∗ .
∫
average 〈A〉 = valued 3 of x aψ ∗ linear (x,t)Aψ(x,t) operator A in . state ψ:
(2.53)
Für einen linearen Operator A ist de
Zustand ψ definiert durch
∫
Für einen linearen Operator A ist der Mittelwert (= Erwartun
Zustand ψ definiert durch
〈A〉 = d 3 x ψ ∗ (x,t)Aψ(x,t) .
∫
〈A〉 = d 3 x ψ ∗ (x,t)Aψ(x,t) .
temporal change:
Dieser ändert sich mit der Zeit wie folg
Dieser ändert sich mit der Zeit wie∫
folgt: (
d
dt A = d 3 x ˙ψ ∗ A ψ + ψ ∗ Ȧ ψ ∫+ ψ ∗ A(
˙ψ
∫ (
d
d
dt 〈A〉 = d 3 x ˙ψ ∗ Aψ + ψ ∗ ∂A )
dt 〈A〉 = d 3 x ˙ψ ∗ Aψ + ψ ∗ ∂A
∂t ψ + ψ∗ A ˙ψ . ∂t ψ +
dt 〈A〉 =
d 3 x
˙ψ ∗ Aψ + ψ ∗ ∂A )
i ∂t ψ + ψ∗
= d 3 x
Hψ∗ Aψ − i A ˙ψ .
ψ∗ AHψ + ∂A
Mit den ∂t Gleichungen (2.52a,b) ergibt s
Mit den Gleichungen (2.52a,b) ergibt sich daraus
d
dt 〈A〉 = i d
〈 〉 ∂A
〈[H, A]〉 + .
dt 〈A〉 ∂t
= i 〈 〉
〉
∂A
〈[H, A]〉 + .
∂t
Dieser ändert sich mit der Zeit wie folgt:
Mit den Gleichungen (2.52a,b) ergibt sich daraus
d
dt 〈A〉 = i 〈 ∂A
〈[H, A]〉 + ∂t
. Ehrenfest Theorem (2.54)
Bemerkungen:
Bemerkungen: