C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quanten mechanics 1 & 2

Anmerkung: ∂t ψ(x,t)=Dψ(x,t)+q,
Würde in der Gleichung eine Inhomogenität q auftreten, also z. B.
so hätte man
Schrödinger so hätte ∂ Zman
Equation Z for Free Particles
∂t d
ψ(x,t)=Dψ(x,t)+q,
Z
Z
d 3 x |ψ(x,t)| 2 = d 3 x ( ˙ψψ ∗ + ψ ˙ψ ∗ )
so hätte dt man
Z
Z Z Z
Z Z
d
An equation d 3 x of |ψ(x,t)| motion 2 = for = ψ(x, d=
3 x d( 3 t) x
dt
˙ψψd ((Dψ)ψ ∗ should 3 x + ((Dψ)ψ ψ ˙ψ ∗ ) satisfy + ψ(Dψ) ∗ + the ψ(Dψ) ∗ following )+
∗ d)+
3 x basic (qψd ∗ demands:
3 + x ψq (qψ ∗ ) ∗ . + ψq ∗ ) .
Z
Z
Falls
1.
D
It should
der Differentialoperator
be a first
=
order
d 3 x ((Dψ)ψ
differential
der Schrödinger-Gleichung ∗ + ψ(Dψ)
equation ∗ )+
ind 3 time
x (qψist, so ∗ + ergibt
that
ψq ∗ )
ψ(x,
. sich
t)
nach
willbedetermined
by the initial
dem
(j,
condition
Stromdichte;
ψ(x,0).
Gaußschen lntegralsatz (j, Stromdichte; siehe siehe Gleichungen Gleichungen (2.58)–(2.60)) (2.58)–(2.60))
Falls D der Differentialoperator der Schrödinger-Gleichung ist, ergibt sich nach dem
2. It should Z Z
GaußschenZ
be linear
lntegralsatz (j, Z
in ψ in order for the principle of superposition.
Stromdichte; siehe Gleichungen (2.58)–(2.60))
Z df .
3. j + Z d 3 x 2Re{qψ ∗ } .
= It −should df be. homogenous, j + d 3 x 2Re{qψ so that ∗ } .
= −
O df . j + d 3 x 2Re{qψ ∗ } .
O
O
Der ersted Term 3 x|ψ(x, istt)| 0, 2 wenn =1(normalization)
ψ rasch genug abfällt, z. B.: ψ ∈ L 2 , jedoch ist der zweite
Summand Der erste Term i. a. ist ungleich 0, wennNull.
ψ rasch genug abfällt, z. B.: ψ ∈ L 2 , jedoch ist der zweite
Summand holdsi. for a. i. a. all ungleich times, Null. since Null. the probability to find the particle somewhere in space
iv) is 1. Schließlich sollen die ebenen Wellen
iv) Schließlich sollen die ebenen Wellen
4. iv) plane Schließlich waves { sollen die ebenen )
{
) / } / Wellen }
ψ(x,t)=C exp i
(p .
ψ(x,t)=C exp i
(p {. x − p2
x − p2
2m
2m t t
}
(p . x − p2
most dt simplest d 3 x |ψ(x,t)| case: 2 free = dparticle, 3 x ( ˙ψψ ∗ + no ψ ˙ψ ∗ forces )
Falls D der Differentialoperator der Schrödinger-Gleichung ist, ergibt sich nach dem
Der erste Term ist 0, wenn ψ rasch genug abfällt, z. B.: ψ ∈ L 2 , jedoch ist der zweite
ψ(x,t)=C exp
i
2m t ) /
Lösungen should der be Gleichung solution of sein. sein. theFür equation. Für ebene ebene ForWellen plane gilt: waves, gilt: we have:
Lösungen der Gleichung p 2 sein. Für 2 ebene Wellen gilt:
∂
i p 2
2m i 2
2m ∇2 ψ(x,t) .
∂t ψ(x,t)=− i 2m ψ(x,t)= i 2m ∇2 ψ(x,t) .
∂
∂t ψ(x,t)=− i 2m ψ(x,t)= i 2m ∇2 ψ(x,t) .
p 2
Aus den Postulaten (i) (i) bis bis (iv) (iv) erhalten erhalten wir also wir also
The unique
i 2
ψ(x,t)=−
∂t 2m ∇2 ψ(x,t) . (2.4)
i ∂ partial differential equation, which fullfills postulates 1) - 4), is:
2
Aus denψ(x,t)=− Postulaten (i)
∂t 2m ∇2 bis ψ(x,t) (iv). erhalten wir also
(2.4)
Dies ist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen.
Dies ist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen.
i ∂ 2
ψ(x,t)=−
∂t 2m ∇2 ψ(x,t) . (2.4)
2.3 Superposition von ebenen Wellen
Dies ist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen.
2.3 Superposition von ebenen Wellen
2
time dependent Schrödinger equation for free particles