Finanzmathe (Zins, Zinseszins, Renten, Tilgung) - Bkonzepte.de

Inhaltsverzeichnis
Finanzmathematik.................................................................................... 1
Wichtige Vorbemerkungen......................................................................................... 1
Begriffswelt zur Dauer einer Zinsperiode ................................................................. 1
Natürliche Zahlen für Zeitangaben .......................................................................... 1
Formelzeichen...................................................................................................... 2
Zinsrechnung........................................................................................................... 3
Zinseszinsrechnung................................................................................................... 5
Barwert bei Zins- und Zinseszinsrechnung................................................................ 6
Barwert bei einfacher Verzinsung........................................................................ 6
Barwert bei Zinseszins:...................................................................................... 6
Zusammenfassende (Haus)aufgaben........................................................................... 7
Abschreibungen........................................................................................................ 8
Lineare Abschreibung............................................................................................ 8
Degressive Abschreibung....................................................................................... 8
Zusammenfassende (Haus)aufgaben: ..................................................................... 9
Rentenrechnung...................................................................................................... 10
Jährliche Rentenzahlungen................................................................................... 10
Nachschüssige jährliche Rentenzahlungen........................................................... 10
Vorschüssige jährliche Rentenzahlungen............................................................. 11
Aufgaben....................................................................................................... 11
Unterjährige Rentenzahlungen.............................................................................. 12
Vorschüssige unterjährige Zahlungen................................................................. 12
Nachschüssige unterjährige Zahlungen............................................................... 13
Unterjährige Zahlungen über mehrere Jahre........................................................... 14
Rentenbarwert.................................................................................................... 15
Hausaufgaben..................................................................................................... 16
Tilgungsrechnung.................................................................................................... 17
Ratentilgung....................................................................................................... 17
Annuitätentilgung................................................................................................ 18
Formelsammlung zur Annuitätentilgung.............................................................. 22
(Haus)Aufgaben.............................................................................................. 23
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I. Böhm Seite 1 14.12.2005

Finanzmathematik
Wichtige Vorbemerkungen
Begriffswelt zur Dauer einer Zinsperiode
Zinsen werden für ein bestimmtes Guthaben am Ende einer vereinbarten Zinsperiode gut
geschrieben. Die Dauer einer Zinsperiode beträgt meist ein Jahr. Immer öfter werden
jedoch auch kürzere Zeiträume für Zinsgutschriften verwendet. Man spricht dann von
unterjähriger Verzinsung.
Es kann durchaus vorkommen, dass in anderer Literatur, oder auch hier, traditionell der Begriff
„Jahr“ für einen Anlagezeitraum Verwendung findet, weil eben der Zeitraum, in dem Zinsen gut
geschrieben werden, üblicher Weise ein Jahr ist. Weil von dieser Regel aber auch abgewichen
werden kann, muss der Zeitraum, in dem die erneute Zinsgutschrift erfolgt, korrekterweise als
„Zinsperiode“ bezeichnet werden.
Ein Beispiel soll dies verdeutlichen:
Eine Sparkasse bietet 4,00% Zinsen p.a (per anno = pro Jahr). Ein Guthaben von 1000,--€
würde also am Jahresende mit 40,--€ verzinst. Das neue Guthaben kann man kurz mit der
Zinseszinsformel berechnen: K 1 =K 0 · 1 p
100 n =1000 €·1,04 1 =1040 €
Eine Bank bietet 1,00% Zinsen mit vierteljährlicher Zinsgutschrift. Das Guthaben nach einem
Jahr berechnet sich dann wie folgt: K 1 =K 0· 1 p
100 n =1000 €·1,01 4 =1040,60 €
Die Hochzahl n in der Zinseszinsformel wird meist als Anzahl der Jahre umschrieben. Richtig
muss es aber heißen: n ... Anzahl der Zinsperioden
Natürliche Zahlen für Zeitangaben
Die Zinsen wachsen nicht kontinuierlich an, sondern werden erst nach einer vollen
Zinsperiode gutgeschrieben. Innerhalb einer Zinsperiode wachsen die Zinsen linear von
0 auf den vollen Zinsbetrag zum Ende der Zinsperiode. Es ist daher fehlerhaft, in der
Zinseszinsformel (Exponentialgleichung) für die Zeiträume gebrochene Zahlen zu
verwenden.
In den hier vorgestellten Formeln der Finanzmathematik dürfen für Zeiträume nur
natürliche Zahlen (also ganze Tage, Monate, Zinsperioden, Jahre) verwendet werden.
Eine Ausnahme dazu bildet die kontinuierliche Verzinsung, die meines Wissens, für die
Finanzmathematik jedoch nur einen theoretischen Wert besitzt.
Dagegen laufen in der Natur und Technik die Prozesse meist kontinuierlich ab.
Viele Gedankengänge der Finanzmathematik können jedoch auf naturwissenschaftlichtechnische
Anwendungen übertragen werden, wenn die Einschränkung fallen gelassen wird,
dass Zeiträume immer ganzzahlig sein müssen.
Wir werden die kontinuierliche Verzinsung mit ihren Möglichkeiten am Ende des
Themengebietes betrachten.
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I. Böhm Seite 1 14.12.2005

Finanzmathematik: Wichtige Vorbemerkungen
Formelzeichen
Die verwendeten Formelzeichen werden in den einzelnen Kapiteln gelegentlich nochmals
erklärt oder ergeben sich mit dem langsam erworbenen Wissen aus dem Kontext.
Sollten dennoch Unklarheiten entstehen:
n ... Anzahl von Zinsperioden;
t ... Tage;
T ... Dauer einer Zinsperiode in Tagen;
K ... Kapital;
K 0 ... Startkapital;
K t ... Kapital nach t Tagen;
K n ... Kapital nach n Zinsperioden;
Z ... Zinsen;
Z t ... Zinsen nach t Tagen;
Z n ... Zinsen nach n Zinsperioden;
p ... Zinssatz;
q ... Aufzinsungsfaktor;
m ... Anzahl gleicher Zeiträume in einer Zinsperiode;
B ... Barwert
r ...
R ...
R n ...
R e ...
k ...
S ...
S 0 ...
S k ...
A ...
T ...
T k ...
Höhe von periodischen Renten- oder Ratenzahlungen
Rentenendwert
Rentenendwert nach n Jahren
Rentenersatzwert
Periode vor Ablauf der letzten Zahlung
Schulden
Anfangsschuld
Schuld zum Zeitpunkt k
Annuität
Tilgung
Tilgung zum Zeitpunkt k
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I. Böhm Seite 2 14.12.2005

Finanzmathematik: Zinsrechnung
Zinsrechnung
1. Wie hoch sind die Zinsen für ein Guthaben von 5000,--€, dass mit 4,5% p.a. verzinst
wird?
p
Lösungsformel: Z=K 0·
100
Die Lösung der Aufgabe: 225,--€
2. Wie hoch ist das Guthaben nach einem Jahr, wenn ein Anfangsguthaben von 5000,--€
mit 4,5% verzinst wird?
Entweder man schlägt die berechneten Zinsen aus Aufgabe 1 auf die 5000€ auf
oder verwendet die Formel
→ Lösungsformel: K 1 =K 0· 1 p
100
Erste Probleme entstehen vielleicht, wenn gefragt wird, welche Zinsen (welches Guthaben)
nach kürzeren Zeiträumen gezahlt werden (zur Verfügung steht).
3. Wie hoch sind die Zinsen (das Guthaben) einer Anlage von 5000,--€, welches zu 4,5%
p.a. verzinst wird
a) nach einem halben Jahr,
b) nach fünf Monaten,
c) nach fünf Tagen,
d) nach zwei Monaten und fünfzehn Tagen,
e) wenn das Guthaben am 15. Februar eines Jahres angelegt und am 18.Okt. des selben
Jahres entnommen wird,
f) wenn das Guthaben am 15. Februar eines Jahres und am 31. Okt. des nächsten
Jahres entnommen wird?
Die Lösungsgedanken:
• Nach einem halben Jahr erhält man die Hälfte der Zinsen, die nach einem Jahr anfallen.
• Nach fünf Monaten erhält man 5/12 der Zinsen, die nach einem Jahr anfallen.
• Nach fünf Tagen erhält man 5/360 jener Zinsen, die nach einem Jahr anfallen.
In der kaufmännischen Zinsrechnung werden ein Jahr mit 360 Tagen und ein Monat mit
30 Tagen gerechnet. (Wenn die Berechnung über den Februar hinausgeht, wird der
Februar mit 30 Tagen gerechnet, sonst mit 28 Tagen.)
Lösungsformel:
Lösungsformel:
Z K
t
= 0·p· t
100%·360 , und K t=K 0 Z t wenn die Zinsperiode ein Jahr
beträgt.
Z K
t
= 0·p ·t
100%· T
umfasst.
. wenn die Zinsperiode einen Zeitraum von T Tagen
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I. Böhm Seite 3 14.12.2005

Finanzmathematik: Zinsrechnung
Die Zinsen betragen für 2 Monate und 15 Tager 75/360 von den Jahreszinsen.
Z= 5000⋅4,5⋅2⋅3015 =46,88
36000
Vom 15. Februar eines Jahres bis 18.Okt des selben Jahres haben wir
15 + 7·30 + 18 = 243 Zinstage. Z= 5000⋅4,5⋅243 =151,88
36000
Bei Aufgabenteil f) ändert sich die Lösung ein wenig, je nach der genau
vereinbarten Zinsschreibung.
A) Wenn die Zinsen am Jahresende gut geschrieben werden:
5000 €· 4,5%·315
5196 ,88· 4,5%·288
Z 1 = =196, 88 € Z
36000
2 = =187 ,09 €
36000
K t
=5000 €196,88 €187, 09 €=5383,97 €=K t
B) Wenn die Zinsen nach einer Laufzeit von einem Jahr gutgeschrieben werden:
5000 €· 4,5%·360
5225· 4,5%· 243
Z 1 = =225 ,00 € Z
36000
2 = =158, 71 €
36000
K t
=5000 €225 €158,71 €=5383,71 €=K t
4. Am 05.01.1996 wurde ein Guthaben von 5000,--€ mit einer Verzinsung von 3,25% p.a.
angelegt.
Am 04.05.1998 wurde der Zinssatz auf 2,90% für die Folgezeit abgesenkt. Die
Zinsgutschrift erfolgt immer am Jahresende.
a) Wie hoch war der Kontostand des Guthabens am Tag der Zinssenkung?
b) Wie hoch ist das Guthaben am heutigen Tag, wenn der Zinssatz unverändert blieb
und keine Transaktionen auf diesem Konto vorgenommen wurden?
Ungereimtheiten entstehen oft dadurch, dass nicht ganz klar ist, wann die Zinsgutschrift
erfolgt.
Je nach Anlageprodukt und Finanzinstitut werden Zinsen üblicherweise
- nach einer Laufzeit von einem Jahr oder
- am Ende eines Kalenderjahres
gut geschrieben.
5. Ein Sparguthaben von 5.000 € wird mit 4,0% p.a verzinst.
a) Wie hoch sind die Zinsen für eine Anlagedauer vom 01.02.2005 bis 10.12.2006, wenn
die Zinsgutschrift immer am Ende eines Kalenderjahres erfolgt?
b) Wie hoch sind die Zinsen für eine Anlagedauer vom 01.02.2005 bis 10.12.2006, wenn
die Zinsgutschrift immer nach einem Jahr, seit Anlagebeginn erfolgt?
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I. Böhm Seite 4 14.12.2005

Zinseszinsrechnung
Zinseszins entsteht, wenn fällige Zinsen nicht ausbezahlt, sondern dem Kapital
hinzugefügt (kapitalisiert) und mit diesem zusammen wieder verzinst werden. Das
Kapital nach Jahren (Zinsperioden) ergibt sich entsprechend der Zinseszinsrechnung aus
der Formel:
K n
=K 0·q n ;q=1
p
100
⋅
K n =K 1 p
0
100n
Dabei ist K 0 das Anfangskapital, q der Verzinsungsfaktor (Aufzinsungsfaktor) p der Zinssatz
(Zinsfuß) und n die Anzahl der Zinsperioden.
6. Ein Kapital von 5491,61 € wird über 6 Jahre konstant mit 2,90% p.a. verzinst. Wie hoch
ist das Guthaben nach diesen 6 Jahren?
7. Ein Kapital von 5491,61 € wird über 6 Jahre konstant mit 2,90% p.a. verzinst. Die
Zinsgutschrift erfolgt vierteljährlich mit einem Viertel der Jahreszinsen. Wie hoch ist das
Guthaben nach 6 Jahren?
8. Ein Aktienpaket steigerte innerhalb von 10 Jahren seinen Wert von 5000,--€ auf das
Doppelte. Welcher durchschnittlichen jährlichen Verzinsung entspricht dies?
9. Ein Anleger versucht aus gewonnenen Erkenntnissen seinen Vorteil zu ziehen. Er legt ein
Kapital von 10.000, --€ zum ersten eines Monats zu 3,6% p.a. an, hebt den Betrag zum
letzten des Monats ab und erwirkt damit eine Zinsgutschrift. Das so vermehrte Kapital
legt er zum ersten des Folgemonats wieder zu 3,6% p.a. an. So verfährt er ein Jahr lang.
Um wie viel höher sind seine Zinsen, gegenüber einem Anleger, der das Geld
konventionell auf dem Guthaben belies?
10. Wie viel Jahre benötigt ein Guthaben, um von 1478,91 USD auf 2526,37 USD bei einer
Verzinsung von 3,2% p.a. anzuwachsen?
11. In welchem Zeitraum (taggenau) ist das Guthaben von 1478,91 USD auf 3000,-- USD
angewachsen, bei einer Verzinsung von 3,4%?
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I. Böhm Seite 5 14.12.2005

Barwert bei Zins- und Zinseszinsrechnung
Werden Zahlungen erst in der Zukunft fällig, stellt sich die Frage, welchen Wert diese
künftigen Zahlungen zum aktuellen Zeitpunkt haben.
Erklärung:
Kann ein Schuldner seine Zahlung auf später verschieben, kann er den verbleibenden Zeitraum
zur Geldmehrung nutzen. Er kann einen geringeren Betrag (den Barwert) zinsbringend
anlegen, und hat zum Zahlungstermin den Zahlbetrag zur Verfügung.
Der Gläubiger, der erst zu einem späteren Zeitpunkt sein Geld erhalten wird, kann den Betrag
bis dahin nicht zur Geldmehrung einsetzen. Eventuell muss er sogar einen Kredit aufnehmen,
um eigenen Verpflichtungen nachzukommen.
Auf jeden Fall besitzt auch für ihn die Zahlung zu einem späteren Zeitpunkt einen geringeren
Wert als wenn er den gleichen Betrag sofort erhielte.
Barwert ist der aktuelle Wert zukünftiger Zahlungen unter Beachtung eines bestimmten
Zinssatzes.
Bei der Zins- und Zinseszinsrechnung entspricht das Anfangskapital dem Barwert.
Barwert bei einfacher Verzinsung
Barwert B bei einfacher Verzinsung:
K t
B=K 0
=
1
p
100 · t
T
12. Beim Kauf eines Gebrauchtwagens macht der Verkäufer zwei Angebote. Beim ersten
Angebot werden 9000,--€ in 30 Tagen verlangt. Beim zweiten Angebot werden 9085,--€
nach 90 Tagen verlangt.
a) Welches Angebot ist günstiger bei 3% Zinsen?
b) Welches Angebot ist günstiger bei 6% Zinsen?
c) Bei welchem Zinssatz sind beide Angebote gleich günstig?
Barwert bei Zinseszins:
Barwert B bei Zinseszins: K n
=B·q n → B=K 0
= K n
q n ; q=1 p
100
13. Der Kunde eines Werkzeugmaschinenherstellers möchte zwei Maschinen zu je 55.000,--€
erwerben. Er bietet an, eine Maschine sofort, die andere, zum selben Preis, in drei Jahren
zu bezahlen.
a) Welchem Barwert entspricht diese Zahlungsweise, wenn man einen Zinssatz von 5%
p.a zugrunde legt?
b) Wie hoch wäre der Rabatt auf die Gesamtrechnung?
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I. Böhm Seite 6 14.12.2005

Finanzmathematik: Zusammenfassende (Haus)aufgaben
Zusammenfassende (Haus)aufgaben
Lb. S. 128 alle Aufgaben
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I. Böhm Seite 7 14.12.2005

Finanzmathematik: Abschreibungen
Abschreibungen
Lineare Abschreibung
14. Eine Jeans kostet 120,-- €. Die Tragedauer wird mit einem Jahr festgelegt. Danach ist die
Jeans wertlos. Geben Sie den Restwert der Jeans für jedes Monatsende an, wenn der
rechnerische Wertverlust in jedem Monat konstant ist!
a) Grafen darstellen!
b) Rekursionsformel aufstellen!
c) Absolute Formel aufstellen!
Lineare Abschreibung ist eine Abschreibungsmethode, bei der jährlich immer der
gleiche Prozentsatz vom Anschaffungswert für die Nutzungsdauer abgeschrieben
wird.
15. Computer werden beim Finanzamt über fünf Jahre linear abgeschrieben.
Ein PC, der exklusiv beruflich genutzt wird, kostete 4000,--€.
a) Welcher Betrag kann jährlich von der Steuer abgesetzt werden?
b) Stellen Sie die Formel für die rekursive Bildungsvorschrift der Folge auf!
c) Nach wie viel Jahren hat der Computer einen Restwert von 1600,--€?
d) Geben Sie die absolute Formel der Folge an!
p
K n
=K 0
−K 0·
100
·n=K 0·1−
p
100 ·n
Degressive Abschreibung
Autoabschreibung: Die Realität zeigt, dass lineare Abschreibungen die Wirklichkeit nicht
immer gut abbilden. Autos beispielsweise, verlieren in den ersten Monaten beträchtlich an
Wert.
Degressive Abschreibung ist eine Abschreibungsmethode, bei der jährlich immer der
gleiche Prozentsatz vom Restwert abgeschrieben wird.
Die Formel der degressiven Abschreibung ist weitgehend identisch zur Zinseszinsformel.
K n
=K 0·q n ;q=1−
p
100
⋅
K n =K 1− p
0
100n
Zu beachten ist lediglich, dass bei der Berechnung des Aufzinsungsfaktors q der der
hundertste Teil des Prozentsatzes p von 1 abzuziehen ist und damit q kleiner 1 wird.
16. Ein Auto kostet 30.000,--€. In den Folgejahren verliert es jeweils 25% vom Restwert.
a) Welchen Buchwert hat des Auto nach einem Jahr, nach zwei Jahren?
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Finanzmathematik: Abschreibungen
b) Geben Sie die rekursive und absolute Bildungsvorschrift der Folge für die Buchwerte
an!
c) Welchen Buchwert hat das Auto nach 7 Jahren?
d) Nach wie viel Jahren hat das Auto noch einen Restwert von 2000,--€?
e) Stellen Sie die Folge grafisch dar!
Zusammenfassende (Haus)aufgaben:
Lb. S. 148 Nr. 1; 2; 3; 6; 8
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I. Böhm Seite 9 14.12.2005

Finanzmathematik: Rentenrechnung
Rentenrechnung
Mit Rente ist nicht unbedingt eine Altersrente oder Rente aus Lebensversicherungen gemeint.
In der Finanzmathematik werden periodisch wiederkehrende Ein- oder Auszahlungen als
Rente bezeichnet. Diese Renten unterliegen im Zeitablauf der Verzinsung.
Jährliche Rentenzahlungen
Nachschüssige jährliche Rentenzahlungen
Jemand zahlt Ende eines jeden Jahres 1000,--€ auf ein Sparkonto ein. Das Guthaben wird mit
4% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben unmittelbar nach der 6. Einzahlung?
7.000,00 DM
6.000,00 DM
5.000,00 DM
4.000,00 DM
3.000,00 DM
2.000,00 DM
1.000,00 DM
+1000
+1000*1,04
+1000*1,04*1,04
+1000*1,04*1,04*1,04
+1000*1,04*1,04*1,04*1,04
+1000*1,04*1,04*1,04*1,04*1,04
- DM
1 2 3 4 5 6
R(6) ist eine endliche geometrische Reihe mit f(1) = 6, q = 1,04 und n = 6.
Diese Reihe kann nach der Summenformel für geometrische Folgen berechnet werden:
sn =f 1⋅ qn −1
q−1
⇒ Rn=r⋅ qn −1
q−1
mit q=1 p 100
R6=1000DM⋅ 1,046 −1
=6632,98 DM=R 6
0,04
Erfolgen die Zahlungen, wie im Beispiel, am Ende der Zinsperiode, nennt man die
Renten „nachschüssige Renten“.
Sowohl die Einzahlungen als auch die Berechnungen des Endbetrages erfolgen am Ende
der Zinsperiode.
Endwertformel
für nachschüssige Renten:
R n nach =r · q n −1
q−1
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I. Böhm Seite 10 14.12.2005

Finanzmathematik: Rentenrechnung
Vorschüssige jährliche Rentenzahlungen
Eine kleine Änderung der vorangegangenen Aufgabenstellung ändert die notwendige
Berechnung.
17. Jemand zahlt Anfang eines jeden Jahres 1000,--€ auf ein Sparkonto ein. Das Guthaben
wird mit 4% p.a. verzinst.
Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 6. Jahres?
Im Unterschied zur vorherigen Aufgabe wird hier jede Einzahlung ein Jahr länger verzinst.
Erfolgen die Zahlungen zu Beginn der Zinsperiode, wird aber der Rentenendwert erst am
Ende des Jahres berechnet, nennt man die Renten „vorschüssige Renten“.
Die Einzahlungen erfolgen am Anfang der Zinsperiode, die Endsumme mit den
Zinszahlungen wird aber erst am Ende der Periode ermittelt. Dadurch ergibt sich,
gegenüber der nachschüssigen Rente, eine längere Verzinsung der jeweiligen Raten um
eine Zinsperiode.
Daraus ergibt sich für vorschüssige Renten die Endwertformel:
⇒ R6=1000 DM⋅ 1,046 −1
⋅1,04=6898,29 DM=R 6
0,04
R n vor =r⋅ qn −1
q−1 ⋅q
Aufgaben
18. Ein Sparer zahlt regelmäßig, zu Jahresbeginn, 2000,--€, die ihm seine Bank mit 6,00%
p.a. verzinst. Über welche Summe kann der Sparer am Ende des zehnten Jahres
verfügen?
19. Seit dem 1. Geburtstag ihres Kindes zahlen die Eltern zu jedem Geburtstag 1000,--€ auf
ein Konto, das mit 5% verzinst wird. Welcher Betrag steht dem Kind zum 18. Geburtstag
zur Verfügung?
Wie hoch hätte die jährliche Einzahlung ausfallen müssen, wenn das Sparziel für den 20.
Geburtstag ein Betrag von 35.000,--€ gewesen wäre?
20. Eine Hausfrau möchte wissen, wie lange sie sparen muss, um sich einen Wagen der
Mittelklasse für 25.000,--€ kaufen zu können. Dabei geht sie davon aus, dass sie durch
Einsparungen am Haushaltgeld am Ende jeden Jahres 1500,-- € zurücklegen kann. Des
Weiteren bietet ein guter Bekannter bei der Bank 7,5% Zinsen jährlich.
21. Eine junge Frau freut sich, dass auf Grund elterlicher Sparpläne ihr neues Auto ein
Neuwagen ist, den sie bar zahlen konnte und für den daher 12% Barzahlungsrabatt
gewährt wurden. Dennoch waren 13200,--€ zu zahlen. Sie überlegt nun, wie hoch der
Sparbetrag am Ende eines jeden weiteren Jahres sein muss, damit sie in 7 Jahren erneut
den gleichen Betrag für einen Autokauf zur Verfügung hat. Sie geht dabei von einem
Zinssatz von 4,0% aus.
Wie hoch ist der Sparbetrag, wenn sie mit der Einzahlung nicht erst nach einem Jahr,
sondern sofort beginnt und trotzdem nur 7 Raten zahlt?
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I. Böhm Seite 11 14.12.2005

Finanzmathematik: Rentenrechnung
Unterjährige Rentenzahlungen
Vorschüssige unterjährige Zahlungen
22. Ein Sparer zahlt zu Beginn eines jeden Monats 200,--€ auf ein Konto ein, dass mit
3,25% p.a verzinst wird. Die Zinsen werden nach dem zwölften Monat gut geschrieben.
Wie hoch ist das Guthaben am Jahresende (nach 12 Monaten).
23. Für die erste Einzahlung erhält der Sparer Zinsen für ein Jahr,
für die Einzahlung im zweiten Monat erhält er noch Zinsen für 11 Monate (11/12),
für die Einzahlung im dritten Monat erhält er noch 10/12 der Jahreszinsen usw.
Z=200⋅ 3,25
100 ⋅12 12 200⋅3,25 100 ⋅11 12 200⋅3,25 100 ⋅10 12 200⋅3,25 100 ⋅ 9 12 ...200⋅3,25 100 ⋅ 1 12
Z=200⋅ 3,25
100 ⋅ 12
12 11
12 10 12 12
... 1
12
12 11
12 10 12 ... 1 12
ist eine arithmetische Reihe, deren Summe sich berechnet
aus: sn= n 12
⋅f 1f ns12=
2 2 ⋅ 12
12 12 1 =6,5
→ Z=200⋅ 3,2
100 ⋅6,5
Die Zinsen sind dem eingezahlten Kapital hinzuzurechnen.
R12=200⋅12Z=200⋅12200⋅ 3,25
100 ⋅6,5=200⋅ 123,25 100 ⋅6,5 =2442,25
Der Rentenendwert monatlicher, vorschüssiger Zahlungen innerhalb eines
Zinsjahres berechnet sich nach der Formel:
R =r⋅ vor 12 p
100 ·6,5
Bei weniger Zahlungen innerhalb einer Zinsperiode ist die allgemeinere Formel zu
verwenden:
R =r⋅ vor m p
100 · m1
2
r ...
m ...
p ...
Wert der einzelnen Raten
Anzahl der Zahlungen
Zinssatz für die Zinsperiode
24. Berechnen Sie, welchen Wert vorschüssige, monatliche Einzahlungen von 300,--€ am
Jahresende haben, wenn die Zahlungen mit 4% verzinst werden!
25. Berechnen Sie, welchen Wert vorschüssige, quartalsweise Einzahlungen von 300,--€ am
Jahresende haben, wenn die Zahlungen mit 4% verzinst werden!
26. Vorschüssige, monatliche Einzahlungen von 300,--€ werden mit 4% p.a verinst. Die
Zinsen werden zu jedem Quartalsende gut geschrieben.
a) Berechnen Sie, welchen Wert die im Quartal geleisteten Zahlungen am Quaertalsende
haben!
b) Berechnen Sie das Guthaben nach einem Jahr monatlich erfolgter Ratenzahlungen!
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I. Böhm Seite 12 14.12.2005

Finanzmathematik: Rentenrechnung
Nachschüssige unterjährige Zahlungen
27. Ein Sparer zahlt am Ende eines jeden Monats 200,--€ auf ein Konto ein, dass mit
3,25% p.a verzinst wird. Die Zinsen werden nach dem zwölften Monat gut geschrieben.
Wie hoch ist das Guthaben am Jahresende (nach 12 Monaten).
28. Für die erste Einzahlung erhält der Sparer Zinsen für 11/12 eines Jahres,
für die Einzahlung im zweiten Monat erhält er noch Zinsen für 11 Monate (10/12),
für die Einzahlung im dritten Monat erhält er noch 9/12 der Jahreszinsen usw.
Z=200⋅ 3,25
100 ⋅11 12 200⋅3,25 100 ⋅10 12 200⋅3,25 100 ⋅ 9 12 200⋅3,25 100 ⋅ 8 12 ...200⋅3,25 100 ⋅ 0 12
Z=200⋅ 3,25
100 ⋅ 11
12 10
12 9 12 12
... 0
11
12 10
12 10 9 ... 0 12
ist eine arithmetische Reihe, deren Summe sich berechnet
aus: sn= n 12
⋅f 1f ns12=
2 2 ⋅ 11
12 12 0 =5,5
→ Z=200⋅ 3,2
100 ⋅5,5
Die Zinsen sind dem eingezahlten Kapital hinzuzurechnen.
R12=200⋅12Z=200⋅12200⋅ 3,25
100 ⋅5,5=200⋅ 3,25
12
100 ⋅5,5 =2435,75
Der Rentenendwert monatlicher, vorschüssiger Zahlungen innerhalb eines
Zinsjahres berechnet sich nach der Formel:
R =r⋅ nach 12 p
100 · 5,5
Bei weniger Zahlungen innerhalb einer Zinsperiode ist die allgemeinere Formel zu
verwenden:
R =r⋅ nach m p
100 · m−1
2
r ...
m ...
p ...
Wert der einzelnen Raten
Anzahl der Zahlungen
Zinssatz für die Zinsperiode
29. Berechnen Sie, welchen Wert nachschüssige, monatliche Einzahlungen von 300,--€ am
Jahresende haben, wenn die Zahlungen mit 4% verzinst werden!
30. Berechnen Sie, welchen Wert Nachschüssige, quartalsweise Einzahlungen von 300,--€
am Jahresende haben, wenn die Zahlungen mit 4% verzinst werden!
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I. Böhm Seite 13 14.12.2005

Finanzmathematik: Rentenrechnung
Unterjährige Zahlungen über mehrere Jahre
31. Ein Sparer zahlt monatlich, vorschüssig (nachschüssig) einen Betrag von 100,--€ auf ein
Sparbuch, das mit 4% p.a. verzinst wird.
Welcher Betrag steht ihm nach 30 Jahren (360 Monaten) zur Verfügung, wenn die
Zinsgutschriften am Ende jeden Jahres erfolgen?
32. Ein Sparer zahlt monatlich, vorschüssig (nachschüssig) einen Betrag von 200,--€ auf ein
Sparbuch, das mit 4% p.a. verzinst wird.
Welcher Betrag steht ihm nach 20 Jahren (360 Monaten) zur Verfügung, wenn die
Zinsgutschriften am Ende jeden Jahres erfolgen?
33. Nachschüssige, monatliche Einzahlungen von 300,--€ werden mit 4% p.a verzinst. Die
Zinsen werden zu jedem Quartalsende gut geschrieben.
a) Berechnen Sie, welchen Wert die im Quartal geleisteten Zahlungen am Quartalsende
haben!
b) Berechnen Sie das Guthaben nach einem Jahr monatlich erfolgter Ratenzahlungen!
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I. Böhm Seite 14 14.12.2005

Finanzmathematik: Rentenrechnung
Rentenbarwert
34. Irgendjemand hat aus irgendeinem Grund 7 Jahre lang am Jahresende 2000 € zu zahlen.
Er möchte diese Zahlungen jedoch sofort (zu Beginn des ersten Jahres) begleichen.
Wie hoch ist die Sofortzahlung, wenn man 5% Zinsen zugrunde legt?
Die nachschüssigen Zahlungen hätten nach 7 Jahren einen Wert von
R7=r · qn −1
q−1 =2000· 1,057 −1
0,05 =16.284,02
Der Zahler hat nun keineswegs diese Summe sofort aufzubringen, sondern erst in 7
Jahren. Bei einer Sofortzahlung muss nur jenen Betrag liefern, der in 7 Jahren, mit
Zinseszins, den gleichen Wert erbringt, wie die 7 Raten.
K 7=B· q n =16.284,02=B· 1,05 7 B= 16.284,02
1,05 7 =11572,74
35. Ein Computernetzwerk kostet bei Barzahlung 150.000 €. Die Vertragspartner einigen sich
auf 8 nachschüssige (vorschüssige) Jahreszahlungen. Wie hoch sind die jährlichen Raten,
wenn man eine Verzinsung von 5% p.a zugrunde legt?
In 8 Jahren wäre das Kapital auf 150.000 € · 1,05 8 = 221.618,32 € angewachsen.
Wir suchen nun jene Rate, die bei 8 Zahlungen den gleichen Wert erbringt.
R nach =r · qn −1
q−1
r = 23208,27 €
221.618,32=r · 1,058 −1
0,05
r=221.618,32 ·
0,05
1,05 8 −1
Der Rentenbarwert B ist der momentane Wert zukünftiger Rentenzahlungen.
Unter kaufmännischen Gesichtspunkten ist eine
Einmalzahlung, die durch Verzinsung in n Jahren einen bestimmten Wert erreicht,
gleichwertig mit
Ratenzahlungen, die im selben Zeitraum den gleichen Wert erreichen.
Barwert bei mehrjährigen Rentenzahlungen:
nachschüssig:
B⋅q n =r · qn −1
q−1
B= r q n · qn −1
q−1
vorschüssig:
B⋅q n =r · qn −1
q−1
·q B=
r
q · qn −1
n−1 q−1
Bei unterjährigen Rentenzahlungen:
nachschüssig:
vorschüssig:
B·q=r · m p
100 · m−1
2
B·q=r · m p
100 · m1
2
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I. Böhm Seite 15 14.12.2005

Finanzmathematik: Rentenrechnung
36. Ein Fernseher kann mit 12 monatlichen Raten zu 99,95 € gekauft werden.
Die erste Rate wird sofort, bei Kauf, fällig. Wie hoch ist der Barpreis des Fernsehers,
wenn man einen jährlichen Zinssatz von 4% zugrunde legt?
37. Ein Auto kostet bei Barzahlung 26.000 €. Auf Nachfrage sind Ratenzahlungen möglich.
Der Händler geht von einem jährlichen Zinssatz von 5% aus.
a) Wie hoch sind die Ratenzahlungen bei 12 monatlichen Raten, wenn
- die erste Rate sofort fällig wird,
- die erste Rate erst nach einem Monat fällig wird?
b) Wie hoch sind die monatlichen Raten bei einer Finanzierung über 36 Monate, wenn die
erste Rate sofort fällig wird?
c) Wie hoch sind die monatlichen Raten, wenn sofort bei Kauf 10.000 € gezahlt werden
und der Rest in monatlichen Raten über 48 Monate gezahlt wird?
38. Ein Unternehmer hat sich das Recht auf eine 15-jährige vorschüssige (nachschüssige)
Rente in Höhe von jährlich 5000,--€ erworben.
a) Wie hoch wären die monatlichen Rentenzahlungen am Monatsanfang (am
Monatsende)? (Zinssatz: 3,5%)
b) Der Rentner möchte sich den Betrag sofort auszahlen lassen. Wie hoch wäre der
Auszahlungsbetrag (Zinssatz: 3,5%)
39. Ein Autokauf wird auf folgende Weise abgewickelt: 3000,--€ sind sofort fällig. Danach
über eine Dauer von 3 Jahren monatliche Raten von je 220,--€ zu zahlen.
Wie hoch ist der Barpreis des Autos, wenn man einen Zinssatz von 4% zugrunde legt?
40. Ein Angestellter hat ein Guthaben von 60.000,--€ gespart, welches mit 3,8% verzinst
wird.
a) Wie viel kann er diesem Guthaben monatlich, mit sofortigem Beginn, entnehmen,
wenn das Guthaben nach 10 Jahren restlos aufgebraucht sein soll?
b) Wie viel Jahre kann der Angestellte nachschüssig einen monatlichen Betrag von
486,06 € entnehmen? 13 Jahre
c) Wie viel Jahre kann der Angestellte vorschüssig einen monatlichen Betrag von
486,06 € entnehmen?
Hausaufgaben
Lb. S. 133 ff
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I. Böhm Seite 16 14.12.2005

Tilgungsrechnung
Bei Krediten können unterschiedlichste Rückzahlungsmodalitäten vereinbart werden. Die
gebräuchlichsten und damit bekanntesten sind
- die Ratentilgung und
- die Annuitätentilgung.
Ratentilgung
Die Tilgung erfolgt in gleich bleibenden Raten.
Mit dem Abbau der Schulden werden auch die Zinszahlungen immer kleiner.
⇒ Die Zahlbeträge werden bei der Ratentilgung, mit fortschreitender Rückzahlung,
geringer.
41. Beispiel: Ein Darlehen über 20.000 € soll innerhalb von 5 Jahren bei einer vereinbarten
Verzinsung von 6% mittels Ratentilgung zurück gezahlt werden.
Wie lauten die in den einzelnen Jahren zu zahlenden Beträge?
Es gelten folgende Annahmen:
- Der Schuldner leistet die Zahlbeträge jeweils zum Jahresende.
- Die Zinsen werden nachschüssig verrechnet.
- Zins- und Tilgungstermin stimmen überein.
Die Tilgung berechnet sich durch: T= 20000 € =4000 €
5
Die Zinsen in den einzelnen Jahren betragen:
Z 1 =1200: Z 2 =960; Z 3 =720; Z 4 =480; Z 5 =240 [€]
Daraus ergeben sich folgende Ratenzahlungen:
A 1 =5200 €: A 2 =4960 €; A 3 =4720 €; A 4 =4480 €; A 5 =4240 €
Tilgungsplan:
Jahr
Restschuld
Anfang des Jahres Zinsen Tilgung Zahlung
Restschuld
Ende des Jahres Zinssatz
1 20.000,00 € 1.200,00 € 4.000,00 € 5.200,00 € 16.000,00 € 6,00%
2 16.000,00 € 960,00 € 4.000,00 € 4.960,00 € 12.000,00 €
3 12.000,00 € 720,00 € 4.000,00 € 4.720,00 € 8.000,00 €
4 8.000,00 € 480,00 € 4.000,00 € 4.480,00 € 4.000,00 €
5 4.000,00 € 240,00 € 4.000,00 € 4.240,00 € 0,00 €
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I. Böhm Seite 17 14.12.2005

Finanzmathematik: Tilgungsrechnung
Zusammenfassung:
Die Tilgung T errechnet sich aus Schuld S 0 durch Ratenanzahl n. T= S 0
n
Der Zinsbetrag zu den unterschiedlichen Zeitpunkten k berechnet sich durch:
Z k
=S 0·
k−1 p
1−
n ·
100
Die Rate R zum jeweiligen Zeitpunkt k berechnet sich durch:
R k
=TZ k
Die Restschuld S nach den einzelnen Zahlungen errechnet sich mit:
S k
=S 0
−T ·k=S 0
−S 0· k
n =S 0· 1− k n
42. Es wird ein Kredit über 300.000 € zu 7% Zins gewährt.
Er wird über 12 Jahre in gleich bleibenden Tilgungsraten getilgt.
a) Wie hoch ist der Zahlungsbetrag im ersten Jahr?
b) Wie hoch ist der Zahlungsbetrag im fünften Jahr?
c) Wie hoch sind die Zinszahlungen und der Zahlungsbetrag im letzen Jahr?
d) Die jährlichen Zahlungen sollen durch monatliche Zahlungen ersetzt werden.
Wie hoch sind die monatlichen Zahlungen im ersten, im zweiten, im letzten Jahr?
Annuitätentilgung
Meist wird für die Rückzahlung eines Darlehens eine gleich hohe jährliche Rate
vereinbart, in die Zinsen und Tilgung eingeschlossen sind.
Die Rate heißt Annuität, die Darlehensrückzahlung Annuitätentilgung.
Durch die Tilgungsanteil verringert sich die Restschuld.
Die Zinsen im Folgejahr sind geringer. Dafür wird der Tilgungsbetrag erhöht.
Die zu zahlende Rate aus Zinsen + Tilgung bleibt gleich.
43. Sie erhalten für die Instandsetzung eines Hauses von der Bank ein Darlehen von
150.000 €, welches mit 9% verzinst wird.
a) Berechnen Sie die Zinsen, die im ersten Jahr anfallen! (Zinsen = 13.500,--€)
b) Berechnen Sie die Tilgung und die Restschuld, wenn im ersten Jahr 15.000,--€
gezahlt werden!
(Tilgung =1.500,--€ ; Restschuld = 148.500,--€)
c) Berechnen Sie die Zinsen die Tilgung und die Restschuld für die nächsten fünf Jahre!
Erstellen Sie einen Tilgungsplan!
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I. Böhm Seite 18 14.12.2005

Finanzmathematik: Tilgungsrechnung
Tilgungsplan:
Jahr
Restschuld
Anfang des Jahres Zinsen Tilgung Zahlung
Restschuld
Ende des Jahres Zinssatz
1 150.000,00 € 13.500,00 € 1.500,00 € 15.000,00 € 148.500,00 € 9,00%
2 148.500,00 € 13.365,00 € 1.635,00 € 15.000,00 € 146.865,00 €
3 146.865,00 € 13.217,85 € 1.782,15 € 15.000,00 € 145.082,85 €
4 145.082,85 € 13.057,46 € 1.942,54 € 15.000,00 € 143.140,31 €
5 143.140,31 € 12.882,63 € 2.117,37 € 15.000,00 € 141.022,93 €
6 141.022,93 € 12.692,06 € 2.307,94 € 15.000,00 € 138.715,00 €
7 138.715,00 € 12.484,35 € 2.515,65 € 15.000,00 € 136.199,35 €
8 136.199,35 € 12.257,94 € 2.742,06 € 15.000,00 € 133.457,29 €
9 133.457,29 € 12.011,16 € 2.988,84 € 15.000,00 € 130.468,45 €
10 130.468,45 € 11.742,16 € 3.257,84 € 15.000,00 € 127.210,61 €
11 127.210,61 € 11.448,95 € 3.551,05 € 15.000,00 € 123.659,56 €
12 123.659,56 € 11.129,36 € 3.870,64 € 15.000,00 € 119.788,92 €
13 119.788,92 € 10.781,00 € 4.219,00 € 15.000,00 € 115.569,92 €
14 115.569,92 € 10.401,29 € 4.598,71 € 15.000,00 € 110.971,22 €
15 110.971,22 € 9.987,41 € 5.012,59 € 15.000,00 € 105.958,63 €
16 105.958,63 € 9.536,28 € 5.463,72 € 15.000,00 € 100.494,90 €
17 100.494,90 € 9.044,54 € 5.955,46 € 15.000,00 € 94.539,44 €
18 94.539,44 € 8.508,55 € 6.491,45 € 15.000,00 € 88.047,99 €
19 88.047,99 € 7.924,32 € 7.075,68 € 15.000,00 € 80.972,31 €
20 80.972,31 € 7.287,51 € 7.712,49 € 15.000,00 € 73.259,82 €
21 73.259,82 € 6.593,38 € 8.406,62 € 15.000,00 € 64.853,20 €
22 64.853,20 € 5.836,79 € 9.163,21 € 15.000,00 € 55.689,99 €
23 55.689,99 € 5.012,10 € 9.987,90 € 15.000,00 € 45.702,09 €
24 45.702,09 € 4.113,19 € 10.886,81 € 15.000,00 € 34.815,28 €
25 34.815,28 € 3.133,38 € 11.866,62 € 15.000,00 € 22.948,66 €
26 22.948,66 € 2.065,38 € 12.934,62 € 15.000,00 € 10.014,03 €
27 10.014,03 € 901,26 € 14.098,74 € 15.000,00 € -4.084,70 €
Wie am Tilgungsplan zu erkennen ist, geht die Annuitätentilgung am Ende der Rückzahlung
nicht auf. Die Aufgabe ist nun, eine Annuität zu finden, welche das Darlehen nach 27 Jahren
genau zurück zahlt.
44. Ein Darlehen von 150.000 € wird mit 9% p.a verzinst und soll in 27 Jahren durch gleich
bleibende Raten zurück gezahlt werden.
Berechnen Sie die Höhe der Raten (Annuität)!
Für die Berechnung der Annuitäten verwenden wir unsere Kenntnisse aus der
Rentenrechnung.
Ohne Rückzahlung würde das Darlehen von 150.000 € in 27 Jahren zu einer Schuld
von 150.000,--€ · 1,09 27 = 1.536.762,32 € anwachsen.
Es stellt sich nun die Frage: Welche jährlichen Raten erbringen in 27 Jahren den
äquivalenten Wert?
Die entsprechende Antwort:
B 0·q n =r · qn −1
q−1 ·q
für vorschüssige Rente
B 0·q n =r · qn −1
q−1
für nachschüssige Rente
Wir rechnen nachschüssig, weil es keinen Sinn macht ein Darlehen zu empfangen
und am gleichen Tag mit der Rückzahlung zu beginnen.
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I. Böhm Seite 19 14.12.2005

Finanzmathematik: Tilgungsrechnung
150.000 € ·1,09 27 =r· 1,0927 −1
0,09
→ r = 14960,23581 € = Annuität
Neuer Tilgungsplan: siehe nächste Seite.
In der Annuitätenrechnung ersetzten wir einfach Barwert B mit Anfangsschuld S 0
Rentenzahlung mit Annuität.
Annuitätengrundgleichung: S 0 ·q n =A · qn −1
q−1
Der Barwert B 0 und die Anfangsschuld S 0 sind gleiche Dinge.
Rentenzahlung und Annuität sind gleiche Dinge.
Solang
die Schuld nicht zurückgezahlt ist, gilt: S 0· q k A · q k −1
q−1
Zu einem Zeitpunkt k vor Ende der Laufzeit ist die linke Seite stets größer als die rechte.
Die Differenz der Ungleichung der beiden Seiten ist die Restschuld, die durch weitere
Zahlungen ausgeglichen werden muss.
nach S nach k
=S 0
⋅q k −A qk −1 vor q−1 bzw .S vor k
=S 0
⋅q k −A qk −1
q−1 ·q
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I. Böhm Seite 20 14.12.2005

Finanzmathematik: Tilgungsrechnung
Jahr
Restschuld
Anfang des Jahres Zinsen Tilgung Zahlung
Restschuld
Ende des Jahres Zinssatz
1 150.000,00 € 13.500,00 € 1.460,24 € 14.960,24 € 148.539,76 € 9,00%
2 148.539,76 € 13.368,58 € 1.591,66 € 14.960,24 € 146.948,10 €
3 146.948,10 € 13.225,33 € 1.734,91 € 14.960,24 € 145.213,19 €
4 145.213,19 € 13.069,19 € 1.891,05 € 14.960,24 € 143.322,13 €
5 143.322,13 € 12.898,99 € 2.061,25 € 14.960,24 € 141.260,89 €
6 141.260,89 € 12.713,48 € 2.246,76 € 14.960,24 € 139.014,13 €
7 139.014,13 € 12.511,27 € 2.448,97 € 14.960,24 € 136.565,16 €
8 136.565,16 € 12.290,86 € 2.669,38 € 14.960,24 € 133.895,78 €
9 133.895,78 € 12.050,62 € 2.909,62 € 14.960,24 € 130.986,16 €
10 130.986,16 € 11.788,75 € 3.171,49 € 14.960,24 € 127.814,68 €
11 127.814,68 € 11.503,32 € 3.456,92 € 14.960,24 € 124.357,76 €
12 124.357,76 € 11.192,20 € 3.768,04 € 14.960,24 € 120.589,72 €
13 120.589,72 € 10.853,07 € 4.107,17 € 14.960,24 € 116.482,55 €
14 116.482,55 € 10.483,43 € 4.476,81 € 14.960,24 € 112.005,74 €
15 112.005,74 € 10.080,52 € 4.879,72 € 14.960,24 € 107.126,02 €
16 107.126,02 € 9.641,34 € 5.318,90 € 14.960,24 € 101.807,12 €
17 101.807,12 € 9.162,64 € 5.797,60 € 14.960,24 € 96.009,52 €
18 96.009,52 € 8.640,86 € 6.319,38 € 14.960,24 € 89.690,13 €
19 89.690,13 € 8.072,11 € 6.888,13 € 14.960,24 € 82.802,01 €
20 82.802,01 € 7.452,18 € 7.508,06 € 14.960,24 € 75.293,95 €
21 75.293,95 € 6.776,46 € 8.183,78 € 14.960,24 € 67.110,16 €
22 67.110,16 € 6.039,91 € 8.920,33 € 14.960,24 € 58.189,84 €
23 58.189,84 € 5.237,09 € 9.723,15 € 14.960,24 € 48.466,68 €
24 48.466,68 € 4.362,00 € 10.598,24 € 14.960,24 € 37.868,44 €
25 37.868,44 € 3.408,16 € 11.552,08 € 14.960,24 € 26.316,36 €
26 26.316,36 € 2.368,47 € 12.591,77 € 14.960,24 € 13.724,60 €
27 13.724,60 € 1.235,21 € 13.725,03 € 14.960,24 € -0,43 €
170000
Annuitätentilgung
160000
150000
140000
130000
120000
110000
100000
90000
Zinsen
Tilgung
Restschuld Ende
des Jahres
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
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I. Böhm Seite 21 14.12.2005

Finanzmathematik: Tilgungsrechnung
Formelsammlung zur Annuitätentilgung
Berechnung der Annuität:
Die Restschuld:
A=S 0· qn q−1
q n −1
S n
=S 0
⋅q n −A qn −1
q−1
=
Der Tilgungsbetrag: T k =T 1·q k−1 A−S 0·
p
100 ·qk−1
Der Zinsbetrag: Z k
=A−T k
=A−T 1· q k−1 p
=S 0·
100 −T 1q k−1 −1
Vollständige Tilgungszeit:
n= ln A−ln A−S 0
q−1
lnq
A
Monatliche Annuität: A mon
=
125,5 q−1
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I. Böhm Seite 22 14.12.2005

Finanzmathematik: Tilgungsrechnung
(Haus)Aufgaben
45. Im Beispiel (S 0 = 150.000€; p = 9%; T 1 = 1.500€; A = 15.000€) ist im letzten, dem 27.
Jahr nicht mehr die volle Annuität zu zahlen, weil diese weit mehr als die Restschuld
deckt.
a) Berechnen Sie für dieses Beispiel eine Annuität, bei der die Zahlung einer gleich bleibenden Annuität,
die Schuld im 27. Jahr genau tilgt!
b) Da eine höhere Annuität verkraftet werden würde, wird überlegt, ob die Rückzahlung nicht bereits in
20 Jahren geleistet werden könnte. Wie ist dann die Annuität?
c) Die Bank versucht die Raten, so festzulegen, dass die Tilgung im ersten Jahr 1% beträgt.
Wie hoch ist dann die Annuität? Wie lang dauert die Rückzahlung des Kredits?
Ein Kredit von 300.000€ der mit 6,7% p.a. verzinst wird, soll in 15 Jahren durch gleiche
Beträge zurückgezahlt werden.
a) Wie hoch ist die Annuität?
b) Wie hoch sind die Raten bei monatlicher Zahlungsweise?
c) Es wird vereinbart, dass der Kredit nach 10 Jahren durch eine Zusatzzahlung vollständig getilgt
werden kann. Wie hoch ist die zu zahlende Restschuld nach 10 Jahren?
Bei einem Hypothekenkredit wird i.A. eine Kredittilgung von einem Prozent im ersten Jahr
vereinbart.
a) Wie hoch ist die jährliche Annuität, bei einem Kredit über 250.000€, bei 8% Zinsen.
b) Wie hoch ist dann die Laufzeit des Kredites, wenn die Zinskonditionen bis zum Laufzeitende gelten?
c) Wenn vereinbart wird, dass nach 10 Jahren der Zinssatz entsprechend den dann üblichen Zinsen
angepasst wird: Wie hoch ist die Restschuld zum Zeitpunkt der Zinsanpassung?
Lehrbuch S. 139
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I. Böhm Seite 23 14.12.2005