Wahrscheinlichkeit
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Teilgebiete und Begriffe der Stochastik 1 - 2<br />
Stochastik setzt sich aus den Teilgebieten Statistik, <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>srechnung und Kombinatorik zusammen.<br />
B) <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>: Die <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>srechnung versucht vorherzusagen, mit welcher <strong>Wahrscheinlichkeit</strong> ein<br />
Ereignis eintritt. In der WR wird die {Mengenschreibweise} benutzt.<br />
1. Zufallsexperiment/ZE:<br />
Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig wiederholbarer Vorgang, bei dem die Ergebnisse vom Zufall abhängen.<br />
2. Ergebnis/Ergebnisraum :<br />
Die Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnisraum .<br />
(1) Beispiel: Einmaliges Würfeln mit 1 Würfel (einstufiges ZE)<br />
- Welche Augenzahl? = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } n = || = 6<br />
- Gerade/ungerade? = { g , u } n = || = 2<br />
- kleiner als 4? = { 1 , 2 , 3 } n = || = 3<br />
(2) Beispiel: Zweimaliges Werfen einer Münze (zweistufiges ZE)<br />
- Welche Kombinationen? = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)} n = || = 4<br />
Um alle Ergebnisse zu finden, kann man<br />
die Durchführung des ZEs anhand<br />
eines Baumdiagramms<br />
veranschaulichen:<br />
(3) Beispiel: Es werden zwei Würfel (rot/blau) nacheinander geworfen. Die möglichen Ergebnisse sind alle<br />
möglichen geordneten Paare von Augenzahlen.<br />
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),... (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. n =|Ω|=36<br />
3. Ereignis 2 A:<br />
ist der Ergebnisraum eines ZEs. Das Ereignis A ist eine Teilmenge von .<br />
Ein Ereignis A kann eintreten, es kann auch nicht eintreten (Gegenereignis).<br />
Beispiel: zweimaliges Werfen einer Münze (zweistufiges ZE)<br />
Ergebnisraum = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)} n = || = 4<br />
Das gesuchte/gefragte Ereignis soll Kopf/Kopf sein! Dann ist A = {(K,K)}<br />
A = {(K,K)} ist Teilmenge von = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)}<br />
̅<br />
A = {(K,K)} ist das Ereignis n = | A | = 1<br />
= {(K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)} ist das Gegenereignis n = | ̅ | = 3<br />
4. Laplace-<strong>Wahrscheinlichkeit</strong> P:<br />
Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Ergebnisse „A“ des Ergebnisraumes „“ gleichwahrscheinlich sind.<br />
Man spricht von der Laplace-<strong>Wahrscheinlichkeit</strong> „P“ – Pierre Simon de Laplace (1749-1827).<br />
3<br />
<br />
<br />
(1) Beispiel: Zweimaliges Werfen einer Münze (zweistufiges ZE) – Lösung mit der Formel!<br />
Ergebnisraum = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)} n = || = 4 (alle möglichen)<br />
Das gesuchte/gefragte Ereignis soll Kopf/Kopf sein! Wie groß ist P von A?<br />
Ereignis A = {(K,K)} n = | A |= 1 (günstige)<br />
1 Stochastik: altgr.: stochos Vermutung, Kunst des Mutmaßens<br />
2 Falls das Ereignis A={} (leer) ist, heißt das Ereignis A das unmögliche Ereignis. Falls gilt: A = , heißt A das sichere Ereignis.<br />
3 In dieser Formel wird der Begriff „Ereignis“ ebenso verwendet wie der Begriff „Ergebnis“. Beides richtig!
(2) Beispiel: <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>sbaum – Lösung mit der Formel und den Pfadregeln!<br />
Zweimaliges Werfen einer Münze (zweistufiges ZE)<br />
Ergebnisraum = {(K,K) , (K,Z) , (Z,K) , (Z,Z)} n = || = 4 (alle möglichen)<br />
Wie groß ist die <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>, dass K/K oder Z/Z erscheint?<br />
Ereignis A = {(K,K) , (Z,Z)} n = | A |= 2 (günstige)<br />
Lösung mit den Pfadregeln:<br />
1. Pfadregel – Produktregel<br />
2. Pfadregel – Summenregel<br />
Produktregel:<br />
Je Ergebnis 25 %<br />
Summenregel:<br />
Das Ereignis hat<br />
25 % + 25 % = 50 %<br />
- Produktregel:<br />
Die <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>en eines Ergebnisses erhält man, indem man die <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>en längs des<br />
zugehörigen Pfades multipliziert.<br />
- Summenregel:<br />
Die <strong>Wahrscheinlichkeit</strong> eines Ereignisses erhält man, indem man die <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>en aller Pfade, die zu<br />
einem Ereignis gehören, addiert.<br />
(3) Beispiel: <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>sbaum<br />
Es wird ein Würfel nacheinander gewürfelt.<br />
Wie groß ist die <strong>Wahrscheinlichkeit</strong>, dass nacheinander 2 Sechsen erscheinen?<br />
n = || = 36 mögliche Ergebnisse, n = | A |= 1 günstiges Ergebnis<br />
Dieses Baumdiagramm kann auch<br />
aufwendiger gestaltet werden, indem für<br />
jede Ziffer, die gewürfelt werden kann,<br />
ein Pfad eingezeichnet wird.<br />
Start<br />
Merke: Die Summe ergibt jeweils 1.<br />
Merke: Die Summe aller Laplace-<strong>Wahrscheinlichkeit</strong>en ergibt 1.