Nichtlineare Dimensionsreduktionsmethoden in der ... - DPI

28 Multidimensional Scaling
Man wählt die Dimension des Einbettungsraumes so niedrig wie möglich,
insbesondere möglichst nicht größer als Drei, hofft darauf, dass sich die wesentlichen
Merkmale der Daten in einem solchen Raum darstellen lassen und
nutzt dann die Fähigkeit des Menschen aus, in solchen niedrigdimensionalen
Räumen sehr schnell Strukturen wie Ähnlichkeiten oder Clusterungen
erfassen zu können. Auf diese Weise gewinnt man sehr viel schneller einen
Überblick über den Datensatz als aus einer großen Zahl paarweiser Beziehungen
zwischen diesen Daten.
Der Einfachheit halber wird im Folgenden immer angenommen, dass die Relationen
Unähnlichkeiten entsprechen. Es seien N Objekte gegeben, und die
Unähnlichkeit zwischen dem i-ten und j-ten Objekt sei mit p ij bezeichnet. Die
p ij werden zu einer Unähnlichkeitsmatrix P = (p ij ), i, j = 1, . . . , N, zusammengefasst.
Es sollen N Punkte y 1 , . . . , y N aus dem p-dimensionalen Raum
R p gefunden werden, die die Relationen p ij möglichst gut repräsentieren. Die
Art und Weise, wie die p ij in Beziehung zu den euklidischen Abständen der
y i gesetzt werden, wird durch die Modellfunktion f bestimmt:
f : p ij → d ij (Y) , i, j = 1, . . . , N , (4.1)
wobei die Punkte y i als Zeilen in der N × p-Matrix Y zusammengefasst sind
und d ij (Y) den euklidischen Abstand ‖y i −y j ‖ zwischen y i und y j bezeichnet.
Die transformierten Unähnlichkeiten werden kurz mit δ ij bezeichnet: δ ij =
f(p ij ). Sie lassen sich zu einer N × N-Matrix ∆ = (δ ij ) zusammenfassen. In
der englischen Literatur heißen die δ ij dissimilarities.
Die verschiedenen Varianten von MDS lassen sich je nach verwendeter Modellfunktion
f grob einteilen in metric MDS und nonmetric oder ordinal
MDS. Auf diese Varianten soll im Folgenden näher eingegangen werden.
4.1 Metrisches MDS
Metrisches MDS kommt zum Einsatz, wenn den Objekten bereits eine räumliche
Struktur unterliegt, die Unähnlichkeiten also Distanzen darstellen bzw.
in wohldefinierten Beziehungen zu Distanzen stehen, jedoch fehlerbehaftet
oder unvollständig sind. Das Ziel ist es dann, eine Einbettung zu finden, die
diese Distanzen in einem gewissen Sinn bestmöglich erhält.