Nichtlineare Dimensionsreduktionsmethoden in der ... - DPI

30 Multidimensional Scaling
und außerdem noch mit dem Faktor −1/2, so ergibt sich 2
B ∆ : = − 1 2 J∆(2) J
= − 1 2 J (c1T + 1c T − 2XX T ) J
= − 1 2 Jc1T J − 1 2 J1cT J + JXX T J
(4.7)
= − 1 2 Jc0T − 1 2 0cT J + JXX T J
= JXX T J
= XX T .
Dabei bezeichnet 0 den Vektor, der nur aus Nullen besteht. Die Anwendung
von J auf ∆ (2) in (4.7) wird auch als doppelte Zentrierung bezeichnet. Mit
Hilfe von J lässt sich ∆ (2) also allein als Produkt der Koordinatenmatrizen
schreiben; die Matrix der paarweisen quadrierten Abstände ist damit
in eine Matrix der paarweisen Skalarprodukte der entsprechenden Vektoren
überführt worden. Aus dieser Matrix B ∆ bekommt man nun die gesuchten
Vektoren x i durch Hauptachsentransformation: Sei V ∈ R N×N die Matrix
mit den Eigenvektoren von B ∆ als Spalten und Λ = diag(λ 1 , . . . , λ N ) die
Diagonalmatrix mit den zugehörigen nichtnegativen Eigenwerten, und sei
außerdem Λ 1 2 definiert durch Λ 1 2 := diag( √ λ 1 , . . . , √ λ N ). Dann gilt
V T B ∆ V = (V T X)(V T X) T (4.8)
= Λ (4.9)
= Λ 1 2 Λ
1
2 (4.10)
⇒ V T X = Λ 1 2 (4.11)
⇔ X = VΛ 1 2 . (4.12)
Beim klassischen MDS werden die quadrierten Abstände ∆ (2) approximiert
durch Minimierung der Kostenfunktion
L(Y) =
∥ −1 2 J [ D (2) (Y) − ∆ (2)] 2
J
∥
F
(4.13)
= ‖YY T − B ∆ ‖ 2 F ,
2 Die symmetrische Matrix J ∈ R N×N ist idempotent, d.h. J T J = JJ = J. Für einen
Vektor x ∈ R N gilt Jx = x − 1/N 1 ∑ N
j=1 x j = x − ¯x. Durch JX werden also die Zeilen
der Matrix X zentriert und durch XJ entsprechend die Spalten von X.