Nichtlineare Dimensionsreduktionsmethoden in der ... - DPI

36 Multidimensional Scaling
hang sind Stress und SStress, die definiert sind durch
Stress(Y) =
SStress(Y) =
N∑ N∑
w ij (δ ij − d ij (Y)) 2 , (4.29)
i=1
N∑
j=1
i=1 j=1
N∑
w ij (δij 2 − d 2 ij(Y)) 2 . (4.30)
Durch die Wahl der Koeffizienten w ij kann eine unterschiedliche Gewichtung
der einzelnen Terme erreicht werden. Außerdem kann so das Fehlen einzelner
Unähnlichkeiten berücksichtigt werden, indem der entsprechende Koeffizient
auf Null gesetzt wird. Werden alle w ij = 1 gesetzt, dann entspricht SStress
dem Strain ohne doppelte Zentrierung. Für die Lösung dieses Problems ist
keine explizite analytische Lösung wie beim klassischen MDS bekannt ([21]).
Des Weiteren kann es sehr sinnvoll sein, die gesuchte Konfiguration Y nicht
als Einbettung in einen euklidischen Raum zu bestimmen, sondern diesem
Raum eine andere Metrik zugrunde zu legen, z.B. eine durch die Minkowski
l p -Norm ‖ · ‖ p induzierte, die für p ≥ 1 definiert ist durch
d (p)
ij (Y) = ‖y i − y j ‖ p =
( k∑
l=1
|y il − y jl | p ) 1/p
. (4.31)
Genaueres zu den metrischen MDS-Verfahren wie auch Algorithmen zur
Minimierung von (4.29) bzw. (4.30) findet man in [3], [19] und [21].
4.2 Nichtmetrisches MDS
Beim metrischen MDS wird immer davon ausgegangen, dass den (experimentell
bestimmten) Unähnlichkeiten p ij eventuell nach einer geeigneten Transformation
f(p ij ) zumindest approximativ ein räumliches Modell zugrunde
liegt, d.h. dass eine Konfiguration Y von Punkten in einem (euklidischen)
Raum existiert, die die transformierten Unähnlichkeiten durch Abstände zwischen
den Punkten repräsentiert [21]. Diese Forderung ist allerdings für einige
Fälle zu restriktiv. In psychologischen Untersuchungen, wo die Probanden
z.B. Ähnlichkeiten oder Unähnlichkeiten zwischen Objekten beurteilen sollen,
liegen oft nur Aussagen der Form ”
Objekt i ist dem Objekt k unähnlicher
als Objekt j dem Objekt k“ vor. Man hat also nur Relationen wie p ik > p jk .