Nichtlineare Dimensionsreduktionsmethoden in der ... - DPI

44 Isomap
Es stellt sich nun die Frage, wie gut die Näherung der geodätischen Abstände
auf der Mannigfaltigkeit durch die kürzesten Wege im Graphen ist. Abb. 5.2
Distanzen im Graph
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 20 40 60 80 100
Distanzen auf der Mannigfaltigkeit
Abbildung 5.2: Auftragung der Distanz im Graphen gegen den geodätischen Abstand
für 10000 zufällig ausgewählte Punktepaare des Swiss Roll Datensatzes. Zusätzlich ist
noch die Winkelhalbierende eingezeichnet.
zeigt für den Swiss Roll Datensatz aus Abb. 5.1 die Auftragung der Länge
des kürzesten Weges im Graphen gegen den tatsächlichen geodätischen Abstand
für 10000 zufällig ausgewählte Punktepaare (x i , x j ). Die geodätischen
Abstände wurden dabei aus der Parameterdarstellung (1.1) der Swiss Roll
durch Integration bestimmt: Besitzen x i und x j die Darstellungen x i =
(t i cos(t i ), t i sin(t i ), z i ) T bzw. x j = (t j cos(t j ), t j sin(t j ), z j ) T , so lässt sich der
geodätische Abstand zwischen beiden Punkten wie folgt bestimmen. Der Fall
t i = t j ist trivial; die Weglänge ist hier einfach |z j −z i |. Im anderen Fall t i ≠ t j
kann o.E. t j > t i angenommen werden. Dann muss die z-Komponente von x
bei der Bewegung von x i nach x j linear mit dem Parameter t wachsen, kann
also durch diesen in der Form z := b · t + b 0 parametrisiert werden. Setzt man
für die Konstanten b := z j−z i
t j −t i
und b 0 := z it j −z j t i
t j −t i
, so gilt gerade z(t i ) = z i und
z(t j ) = z j . Die Länge s der Geodäte x(t) = (x(t), y(t), z(t)) T im Intervall