Nichtlineare Dimensionsreduktionsmethoden in der ... - DPI

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4 INHALTSVERZEICHNIS 7.3.2 Kern-PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.3.3 Isomap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.3.4 LLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.4 Einbettung von Sprachsignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8 Zusammenfassung und Ausblick 93 A Ergänzungen zur Theorie 96 A.1 Stochastische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 A.2 Etwas Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 A.2.1 Der Algorithmus von Dijkstra . . . . . . . . . . . . . 101 A.2.2 Der Floyd-Warshall-Algorithmus . . . . . . . . . . . . 104 Literaturverzeichnis 108
Einleitung In Technik und Wissenschaft steht man oft vor der Aufgabe, sehr große Datenmengen verarbeiten zu müssen. Ein Beispiel aus der Hochenergiephysik sind die Experimente an Teilchenbeschleunigern wie dem CERN in Genf, bei denen auf der Suche nach neuen Elementarteilchen gigantische Datenmengen anfallen, die irgendwie elektronisch verarbeitet werden müssen. Ein anderes Beispiel ist die Beobachtung astronomischer Objekte, wo mit elektronisch gesteuerten Teleskopen automatisch die Spektren sehr vieler Himmelskörper gemessen werden, die anschließend verarbeitet werden müssen. Die gemessenen Daten kann man sich als Punkte in einem sehr hochdimensionalen Raum vorstellen, in dem jeder Richtung eine Messgröße oder Variable entspricht. Weiterhin haben solche Daten die Eigenschaft, dass sie nicht rein statistischer Natur sind, sondern ihnen unterliegt eine gewisse Struktur, d.h. die einzelnen Messgrößen sind nicht unabhängig voneinander. Es herrschen also Korrelationen zwischen den Variablen, die dazu führen, dass die Daten nicht den gesamten hochdimensionalen Raum ausfüllen, sondern auf einer Untermannigfaltigkeit niedrigerer Dimension liegen. Vielfach sind die Korrelationen sehr stark; es herrschen viele gegenseitige Abhängigkeiten unter den Variablen, die dazu führen, dass die Dimension der Untermannigfaltigkeit sehr viel niedriger ist als die Raumdimension und sich die Untermannigfaltigkeit somit durch relativ wenige Parameter beschreiben lässt. Solche Parameter zu finden ist die Aufgabe der Dimensionsreduktion: Man sucht nach kompakten Repräsentationen hochdimensionaler Daten, die die wesentliche Struktur dieser Daten erhalten. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen Verfahren zur Dimensionsreduktion, von denen einige bereits zu Beginn des Zwanzigsten Jahrhunderts entwickelt wurden und andere Gegenstand aktueller Forschung sind. Die Arbeit ist folgendermaßen organisiert: Im ersten Kapitel wird eine Einführung in die Konzepte der Dimensionsreduktion gegeben. Die nachfolgenden Kapitel behandeln dann einige Algorithmen im Detail: Im zweiten Kapitel wird die sog. Principal Component Analysis oder kurz PCA vorgestellt,
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Seite 7 und 8: Kapitel 1 Einführung und Überblic
Seite 9 und 10: 1.2 Warum oder wann ist Dimensionsr
Seite 11 und 12: 1.2 Warum oder wann ist Dimensionsr
Seite 13 und 14: 13 der Kovarianzmatrix der Daten hi
Seite 15 und 16: 2.1 PCA mit Korrelationsmatrizen 15
Seite 17 und 18: 2.2 Die Berechnung der PCA 17 Zusam
Seite 19 und 20: 3.1 PCA im Merkmalsraum 19 3.1 PCA
Seite 21 und 22: 3.2 Die Berechnung von Skalarproduk
Seite 23 und 24: 3.2 Die Berechnung von Skalarproduk
Seite 25 und 26: 3.4 Aufwand zur Berechnung der Kern
Seite 27 und 28: Kapitel 4 Multidimensional Scaling
Seite 29 und 30: 4.1 Metrisches MDS 29 4.1.1 Klassis
Seite 31 und 32: 4.1 Metrisches MDS 31 die auch als
Seite 33 und 34: 4.1 Metrisches MDS 33 u i := ηX T
Seite 35 und 36: 4.1 Metrisches MDS 35 In [21] wird
Seite 37 und 38: 4.2 Nichtmetrisches MDS 37 In solch
Seite 39 und 40: 39 y 2 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 y 1
Seite 41 und 42: 5.2 Eine neuere Variante von Isomap
Seite 47 und 48: Kapitel 6 Locally Linear Embedding
Seite 49 und 50: 6.1 Die Berechnung der Gewichtsmatr
Seite 51 und 52: 6.1 Die Berechnung der Gewichtsmatr
Seite 53 und 54: 6.2 Die Berechnung der Einbettungsk
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6.2 Die Berechnung der Einbettungsk
Seite 57 und 58:
6.3 Weiteres zum LLE-Algorithmus 57
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6.3 Weiteres zum LLE-Algorithmus 59
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7.1 Der Swiss Roll Datensatz 61 tio
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7.1 Der Swiss Roll Datensatz 65 Nic
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7.1 Der Swiss Roll Datensatz 67 ver
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7.1 Der Swiss Roll Datensatz 69 90
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7.1 Der Swiss Roll Datensatz 71 0.0
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7.2 Bildanordnung I: Webcam-Bilder
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7.3 Bildanordnung II: Kavitationsbl
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7.4 Einbettung von Sprachsignalen 8
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Kapitel 8 Zusammenfassung und Ausbl
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95 fizienten charakterisieren, die
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A.1 Stochastische Grundlagen 97 A d
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A.2 Etwas Graphentheorie 99 Norden
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A.2 Etwas Graphentheorie 101 jeweil
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A.2 Etwas Graphentheorie 103 als Ve
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A.2 Etwas Graphentheorie 105 Analog
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LITERATURVERZEICHNIS 107 [10] Gerd
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Danksagung Zum Abschluss der Arbeit
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