Poker in der Spiel- und Entscheidungstheorie
Poker in der Spiel- und Entscheidungstheorie
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Wirtschafts- <strong>und</strong> Sozialwissenschaftliche Fakultät<br />
<strong>der</strong> Christian-Albrechts-Universität zu Kiel<br />
Diplomarbeit zum Thema:<br />
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Bearbeitungszeitraum: 6 Monate<br />
Prüfungsfach: F<strong>in</strong>anzwissenschaft <strong>und</strong> Sozialpolitik<br />
Themensteller <strong>und</strong> Betreuer: Prof. Dr. Ulrich Schmidt<br />
Mohamed Jafari Studiengang : Volkswirtschaftslehre<br />
Samwerstrasse 28 11. Fachsemester<br />
24118 Kiel Abgabeterm<strong>in</strong>: 1. 2. 2010
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Inhaltsverzeichnis І<br />
Abkürzungsverzeichnis ............................................................................................... III<br />
Symbolverzeichnis ......................................................................................................IV<br />
Abbildungsverzeichnis ................................................................................................VI<br />
Tabellenverzeichnis .................................................................................................. VII<br />
1 E<strong>in</strong>leitung ................................................................................................................... 1<br />
2 <strong>Poker</strong> als <strong>Spiel</strong> ........................................................................................................... 2<br />
2.1 Def<strong>in</strong>ition <strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>regeln ...................................................................................... 2<br />
2.2 <strong>Spiel</strong>theoretische Betrachtung ................................................................................. 4<br />
2.3 Entscheidungstheoretische Betrachtung .................................................................. 5<br />
3 <strong>Poker</strong>-Strategien......................................................................................................... 7<br />
3.1 <strong>Spiel</strong>theoretische Darstellung .................................................................................. 8<br />
3.1.1 Verteilung <strong>der</strong> Starthände .................................................................................... 8<br />
3.1.2 Von Neumann/Morgenstern <strong>Poker</strong> ....................................................................... 9<br />
3.1.3 Erweiterungen des Von Neumann/Morgenstern <strong>Poker</strong>s ..................................... 11<br />
3.2 Probabilistischer Ansatz ........................................................................................ 19<br />
3.2.1 Pot-Odds <strong>und</strong> Setzkurven ................................................................................... 20<br />
3.2.2 Die Struktur <strong>und</strong> Logik von Poki ....................................................................... 23<br />
3.2.2.1 Pre-Flop Strategie ........................................................................................... 23<br />
3.2.2.2 Post-Flop Strategie .......................................................................................... 24<br />
3.3 Rationales Bluff<strong>in</strong>g ............................................................................................... 32<br />
4 Fähigkeiten <strong>und</strong> Lernverhalten im <strong>Poker</strong> ................................................................. 34<br />
4.1 Fähigkeiten im <strong>Poker</strong> – Formen <strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>stile...................................................... 34<br />
4.2 Messung <strong>der</strong> Rolle <strong>der</strong> Fähigkeiten – Ansätze <strong>und</strong> rechtliche Relevanz .............. 39<br />
4.2.1 <strong>Spiel</strong>theoretischer Ansatz von Borm et al. ......................................................... 40<br />
4.2.2 Probabilistischer Ansatz von Fiedler <strong>und</strong> Rock .................................................. 46<br />
4.3 Lernverhalten im <strong>Poker</strong>: Experimente <strong>und</strong> Resultate ............................................ 49<br />
I
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
5 Risk-Tak<strong>in</strong>g im <strong>Poker</strong> .............................................................................................. 58<br />
5.1 Risk Tak<strong>in</strong>g durch Kognitive Verzerrungen ......................................................... 59<br />
5.1.1 E<strong>in</strong>e kurze E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die Prospect Theory ................................................... 60<br />
5.1.2 House-Money Effekt <strong>und</strong> Break-Even Hypothese ............................................. 64<br />
5.1.3 Gamblers Fallacy <strong>und</strong> Hot-Hand Fallacy ........................................................... 78<br />
5.2 Risk Tak<strong>in</strong>g <strong>in</strong> Turnieren ...................................................................................... 84<br />
5.2.1 Turniertheorie <strong>und</strong> Risk Tak<strong>in</strong>g ......................................................................... 84<br />
5.2.2 Applikation auf professionelle <strong>Poker</strong>turniere ..................................................... 88<br />
6 Schlussbetrachtung .................................................................................................. 94<br />
Literaturverzeichnis .................................................................................................... 96<br />
A Appendix .............................................................................................................. 100<br />
A 1 Mathematischer Anhang .................................................................................... 100<br />
A 2 Grafischer Anhang ............................................................................................. 112<br />
A 3 Tabellarischer Anhang ....................................................................................... 115<br />
II
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Abkürzungsverzeichnis<br />
A = Ace<br />
ALT = Alternation Strategie<br />
CRF = Critical Repetition Frequency<br />
EHS = Effective Hand Strength<br />
ET = Entscheidungsträger<br />
GE = Gelde<strong>in</strong>heiten<br />
GF = Gamblers Fallacy Strategie<br />
HS = Hand Strength<br />
i. i. d. = <strong>in</strong>dependent & identically distributed<br />
J = Jack (deutsch = Bube)<br />
K = K<strong>in</strong>g<br />
LE = Learn Effect<br />
NPot = Negative Potential<br />
PPot = Positive Potential<br />
Q = Queen<br />
RE = Random Effect<br />
RS = Relative Skill<br />
UZS = Uhrzeigers<strong>in</strong>n<br />
III
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Symbolverzeichnis<br />
B = Setzbetrag<br />
C = Call<br />
c = Konstante<br />
ci = Größe des Stacks von <strong>Spiel</strong>er i<br />
ci, n, k= Größe des Stacks von i bei <strong>der</strong> n-ten E<strong>in</strong>blendung im Turnier k<br />
E = Erwartungsoperator<br />
Enk = Aktualisierung <strong>der</strong> k-ten Strategie durch <strong>Spiel</strong>er n<br />
F = Fold<br />
fi = spezifischer Parameter bei <strong>der</strong> Schätzung e<strong>in</strong>er bestimmten Aktion i<br />
gij = Gew<strong>in</strong>n durch Verbesserung von Rang i nach j<br />
k = notwendiger Betrag um im <strong>Spiel</strong> zu bleiben<br />
lij = Verlust durch Verschlechterung von Rang i nach j<br />
Nk = Gesamtzahl e<strong>in</strong>geblendeter Zwischenstände <strong>der</strong> Stacks <strong>in</strong> Turnier k<br />
n = Anzahl <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong> <strong>der</strong> R<strong>und</strong>e (Kap. 3); Anzahl gespielter Hände (Kap.4);<br />
Anzahl <strong>der</strong> e<strong>in</strong>geblendeten Zwischenstände <strong>der</strong> Stacks (Kap. 5)<br />
ni* = Anzahl notwendiger Hände damit <strong>Spiel</strong> i <strong>in</strong>determ<strong>in</strong>iert ist<br />
P = Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
Pj = Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit Rang j zu belegen<br />
pi = Strategie des Typs i aus früher Position<br />
p = Bluff-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
qi = Strategie des Typs i aus später Position<br />
qnj = Neigung des <strong>Spiel</strong>ers n Strategie j zu wählen<br />
q = Call-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
R = Erhöhungsbetrag (Kap. 3); Raise (Kap. 4)<br />
Rt (y) = Payoff- Funktion zur Bewertung des E<strong>in</strong>kommens y <strong>in</strong> Periode t<br />
Ui = Payoff- Funktion bei Konstellation zweier Strategien<br />
U = Nutzenfunktion<br />
u = Setzbetrag<br />
V = Bewertungsfunktion für e<strong>in</strong>e Lotterie<br />
wi = Preis für <strong>Spiel</strong>er mit Endplatzierung i im Turnier<br />
X = Wert <strong>der</strong> Hand von <strong>Spiel</strong>er 1<br />
X<strong>in</strong>k = Vektor <strong>der</strong> Kontrollvariablen für Rang nach n E<strong>in</strong>blendungen <strong>der</strong> Stacks<br />
IV
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
<strong>in</strong> Turnier k<br />
x = zustandsabhängige E<strong>in</strong>zahlung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Lotterie; Setzbetrag (beides Kap. 5)<br />
Y = Wert <strong>der</strong> Hand von <strong>Spiel</strong>er 2<br />
y = zustandsabhängige E<strong>in</strong>zahlung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Lotterie<br />
α = Grad <strong>der</strong> Risikoe<strong>in</strong>stellung<br />
αi = Schätzkoeffizient des E<strong>in</strong>flussfaktors i<br />
βi = Schätzkoeffizient des E<strong>in</strong>flussfaktors i<br />
γ = Schätzkoeffizient <strong>der</strong> Kontrollvariablen<br />
θ = Vergesslichkeitsparameter (Kap. 4); Schwellenwahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
Call/Fold (Kap. 3)<br />
λ = spez. Parameter für Glückskomponente<br />
π = Gewichtungsfunktion/ Transformationsfunktion<br />
ρ(t) = Referenzpunkt für erzieltes E<strong>in</strong>kommen <strong>in</strong> Periode t<br />
σ = Standardabweichung<br />
σ - (c<strong>in</strong>k) = Rückstand des Ranges i auf Rang i – 1 <strong>in</strong> absoluten Chips nach <strong>der</strong><br />
n-ten E<strong>in</strong>blendung <strong>der</strong> Zwischenstände <strong>der</strong> Stacks <strong>in</strong> Turnier k<br />
σ + (c<strong>in</strong>k) = Vorsprung des Ranges i auf Rang i + 1 <strong>in</strong> absoluten Chips nach <strong>der</strong><br />
n-ten E<strong>in</strong>blendung <strong>der</strong> Zwischenstände <strong>der</strong> Stacks <strong>in</strong> Turnier k<br />
∆ = Än<strong>der</strong>ung e<strong>in</strong>es Wertes zwischen zwei Perioden/Beobachtungen<br />
V
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Abbildungsverzeichnis<br />
Abbildung 1: <strong>Spiel</strong>baum für das 2-Personen <strong>Poker</strong> ..................................................... 10<br />
Abbildung 2: Indifferenzsystem für das <strong>Spiel</strong> ............................................................. 11<br />
Abbildung 3: <strong>Spiel</strong>baum <strong>der</strong> ersten Erweiterung......................................................... 12<br />
Abbildung 4: Indifferenzsystem <strong>der</strong> ersten Erweiterung ............................................. 13<br />
Abbildung 5: <strong>Spiel</strong>baum <strong>der</strong> zweiten Erweiterung ...................................................... 15<br />
Abbildung 6: Indifferenzsystem <strong>der</strong> zweiten Erweiterung .......................................... 15<br />
Abbildung 7: <strong>Spiel</strong>baum für die dritte Erweiterung .................................................... 17<br />
Abbildung 8: Indifferenzsystem <strong>der</strong> dritten Erweiterung ............................................ 18<br />
Abbildung 9: Setzkurven für die f<strong>in</strong>ale Setzr<strong>und</strong>e ...................................................... 22<br />
Abbildung 10: Gewichtungstabellen für e<strong>in</strong>e Aktion des Gegners im Pre-Flop .......... 27<br />
Abbildung 11: Dynamische Gewichtungstabellen für e<strong>in</strong>en Gegner ........................... 27<br />
Abbildung 12: Setzhistorie <strong>der</strong> Beispielr<strong>und</strong>e ............................................................. 28<br />
Abbildung 13: Beispiel e<strong>in</strong>es neuronalen Netzwerkes zur Modellierung des Gegners 31<br />
Abbildung 14: Die vier <strong>Spiel</strong>stile im <strong>Poker</strong> ................................................................ 38<br />
Abbildung 15: Die vier <strong>Spiel</strong>stile im Vergleich .......................................................... 38<br />
Abbildung 16: Messung von RS bei 3 <strong>Spiel</strong>ern .......................................................... 45<br />
Abbildung 17: Messung von RS bei 4 <strong>Spiel</strong>ern .......................................................... 45<br />
Abbildung 18: Ergebnisse <strong>der</strong> ersten experimentellen Studie ..................................... 50<br />
Abbildung 19: Ergebnisse <strong>der</strong> zweiten experementellen Studie .................................. 52<br />
Abbildung 20: Verän<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Frequenz gespielter Hände ...................................... 53<br />
Abbildung 21: Bewertungsfunktion <strong>in</strong> <strong>der</strong> Prospect Theory ....................................... 62<br />
Abbildung 22: Gewichtungsfunktion <strong>in</strong> <strong>der</strong> Prospect Theory ..................................... 63<br />
Abbildung 23: Abhängigkeit des Wertes e<strong>in</strong>er Lotterie vom Referenzpunkt .............. 67<br />
Abbildung 24: Szenario für die Schätzung <strong>der</strong> Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit ................. 75<br />
Abbildung 25: Szenario für die Messung des Sunk-Cost Effektes .............................. 76<br />
Abbildung 26: Verzerrungen <strong>der</strong> Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeiten im Experiment ......... 77<br />
Abbildung 27: Ergebnisse des Sunk-Cost Szenarios im Vergleich ............................. 77<br />
Abbildung 28: Konvexe Preisstrukturen ..................................................................... 85<br />
Abbildung 29: Zusammenhang zwischen Alter <strong>und</strong> Risk Tak<strong>in</strong>g ............................... 94<br />
Abbildung 30: E<strong>in</strong>trittsfrequenz <strong>der</strong> Subklassen <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>hände.............................. 112<br />
Abbildung 31: approximative Verteilungsfunktion <strong>der</strong> Subklassen <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>hände . 112<br />
Abbildung 32: Simulationen zum Lernverhalten ohne sequentielle Strategien ......... 113<br />
Abbildung 33: Simulationen zum Lernverhalten mit sequentiellen Strategien.......... 114<br />
VI
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Tabellenverzeichnis<br />
Tabelle 1: Rank<strong>in</strong>g <strong>der</strong> Starthände nach Bill<strong>in</strong>gs et al................................................. 24<br />
Tabelle 2: Input-Knoten des neuronalen Netzwerkes .................................................. 30<br />
Tabelle 3: Simulationsergebnisse für 2-Personen Straight <strong>Poker</strong> ................................ 44<br />
Tabelle 4: Überblick über die differenzierten Nutzergruppen ..................................... 48<br />
Tabelle 5: Empirische Ergebnisse <strong>der</strong> Onl<strong>in</strong>e-Studie .................................................. 49<br />
Tabelle 6: Übersicht <strong>der</strong> Wahrsche<strong>in</strong>lickeiten unter den verschiedenen Bed<strong>in</strong>gungen 54<br />
Tabelle 7: Bed<strong>in</strong>gte Bluff-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeieten 1. <strong>und</strong> 2. Ordnung ......................... 55<br />
Tabelle 8: Bed<strong>in</strong>gte Call-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten 1. <strong>und</strong> 2. Ordnung ............................ 55<br />
Tabelle 9: Bed<strong>in</strong>gte Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten 1. Ordnung mit sequentiellen Strategien .. 57<br />
Tabelle 10: Rat<strong>in</strong>gs <strong>der</strong> Zufriedenheit mit den E<strong>in</strong>kommen <strong>und</strong> Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
weiterer Wetten ........................................................................................................... 65<br />
Tabelle 11: Werte <strong>der</strong> durchschnittlichen “looseness“ <strong>und</strong> Aggressivität ................... 72<br />
Tabelle 12: “Looseness“ nach Gew<strong>in</strong>nen <strong>und</strong> Verlusten im Vergleich ....................... 73<br />
Tabelle 13: Aggressivität nach Gew<strong>in</strong>nen <strong>und</strong> Verlusten im Vergleich ...................... 74<br />
Tabelle 14: “Looseness“ nach kumulativen Gew<strong>in</strong>nen <strong>und</strong> Verlusten ........................ 82<br />
Tabelle 15: Aggressivität nach kumulierten Gew<strong>in</strong>nen <strong>und</strong> Verlusten........................ 83<br />
Tabelle 16: Anteil <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er mit riskanterem <strong>Spiel</strong> nach e<strong>in</strong>em Verlust ................... 84<br />
Tabelle 17: Preisstruktur <strong>der</strong> untersuchten Turniere ................................................... 89<br />
Tabelle 18: Wesentliche Statistiken für die empirische Analyse ................................. 90<br />
Tabelle 19: Resultate <strong>der</strong> empirischen Analyse........................................................... 93<br />
Tabelle 20: Klassifikation von <strong>Poker</strong>händen ............................................................. 115<br />
Tabelle 21: Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>hände am Beispiel 5-Card Draw .......... 115<br />
VII
Eidesstattliche Erklärung zur Anfertigung e<strong>in</strong>er Diplomarbeit<br />
Ich erkläre Eides Statt, dass ich me<strong>in</strong>e Diplomarbeit “<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong><br />
<strong>Entscheidungstheorie</strong>“ selbstständig ohne fremde Hilfe angefertigt habe <strong>und</strong><br />
dass ich alle von an<strong>der</strong>en Autoren wörtlich übernommenen Stellen wie auch<br />
die sich an die Gedanken an<strong>der</strong>er Autoren eng anlehnenden Ausführungen<br />
me<strong>in</strong>er Arbeit beson<strong>der</strong>s gekennzeichnet <strong>und</strong> die Quellen nach den mir vom<br />
Prüfungsamt angegebenen Richtl<strong>in</strong>ien zitiert habe.<br />
Kiel, den ............................................................................<br />
(Mohamed Jafari)
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
1 E<strong>in</strong>leitung<br />
In dem <strong>Spiel</strong> <strong>Poker</strong> handelt es sich um e<strong>in</strong>e Reihe von Kartenspielen, <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
mehrere <strong>Spiel</strong>er um e<strong>in</strong>en Gew<strong>in</strong>n konkurrieren <strong>und</strong> je nach Variante mehr<br />
o<strong>der</strong> weniger Informationen über die Karten <strong>der</strong> Gegner besitzen. Das <strong>Spiel</strong> ist<br />
zwar geprägt von e<strong>in</strong>er asymmetrischen Informationsstruktur unter den<br />
<strong>Spiel</strong>ern, aber dennoch kommt e<strong>in</strong>er Strategie e<strong>in</strong>e tragende Rolle zu. Diese<br />
Strategie kann zum e<strong>in</strong>en aus e<strong>in</strong>er spieltheoretischen Ebene heraus resultieren,<br />
wenn man <strong>Poker</strong> zur Klasse <strong>Spiel</strong>e extensiver Form zählt. 1<br />
Auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite treffen <strong>Poker</strong>spieler ständig Entscheidungen unter<br />
Unsicherheit, welche neben <strong>der</strong> Informationsasymmetrie auch von <strong>der</strong><br />
Glückskomponente ausgeht. Aus diesem Ansatz heraus ergeben sich<br />
probabilistisch geprägte Ansätze, welche beson<strong>der</strong>s kognitive Denkstrukturen<br />
des e<strong>in</strong>zelnen <strong>Spiel</strong>ers fokussierten. 2<br />
Desweiteren ist die Stärke des E<strong>in</strong>flusses e<strong>in</strong>er Strategie auf den <strong>Spiel</strong>ausgang<br />
aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Glückskomponente stark e<strong>in</strong>geschränkt, wobei ebenso die<br />
Umsetzung <strong>der</strong> Strategie durch e<strong>in</strong>en <strong>Spiel</strong>er diese Stärke bee<strong>in</strong>flusst. Zudem<br />
können <strong>Poker</strong>spieler Lernprozessen unterworfen se<strong>in</strong>, falls man se<strong>in</strong>e<br />
Fähigkeiten überhaupt verbessern kann <strong>und</strong> diese e<strong>in</strong>e Rolle spielen. 3<br />
Letztlich birgt die Unsicherheit auch e<strong>in</strong> Risiko für jeden <strong>Spiel</strong>er, da es<br />
aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Glückskomponente ke<strong>in</strong> sicheres E<strong>in</strong>kommen im <strong>Spiel</strong> gibt. In<br />
<strong>der</strong> Entscheidungsf<strong>in</strong>dung unter Unsicherheit können die <strong>Spiel</strong>er kognitiven<br />
Schwankungen unterworfen se<strong>in</strong>, <strong>in</strong>dem sie Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten falsch<br />
e<strong>in</strong>schätzen o<strong>der</strong> e<strong>in</strong> E<strong>in</strong>kommen sie emotional berührt. Diese Faktoren können<br />
ebenfalls die Umsetzung <strong>der</strong> Strategie <strong>und</strong> damit den Erfolg e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers<br />
bee<strong>in</strong>trächtigen. 4<br />
Das Ziel <strong>der</strong> Arbeit liegt zum e<strong>in</strong>en dar<strong>in</strong>, e<strong>in</strong>en Überblick <strong>der</strong> e<strong>in</strong>geleiteten<br />
Aspekte zu liefern <strong>und</strong> dadurch e<strong>in</strong>e Interdependenz jener Aspekte zu<br />
verdeutlichen. Zum an<strong>der</strong>en soll durch die Arbeit die<br />
wirtschaftswissenschaftliche Relevanz des Themas untersucht werden, <strong>in</strong>dem<br />
1 Vgl. Ferguson & Ferguson (2007), S. 1f.<br />
2 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 201 f.<br />
3 Vgl. Burns (2004), S. 2ff <strong>und</strong> Borm et al. (2008)<br />
4 Vgl. Smith et al. (2009), S. 1f.<br />
1
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
verschiedene Theorien <strong>in</strong> <strong>der</strong> Verhaltensanalyse <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er ihre Anwendung<br />
f<strong>in</strong>den.<br />
In dem nächsten Kapitel soll das <strong>Spiel</strong> <strong>Poker</strong> genauer vorgestellt <strong>und</strong> <strong>der</strong> spiel-<br />
<strong>und</strong> entscheidungstheoretische H<strong>in</strong>tergr<strong>und</strong> dargestellt werden. In Kapitel 3<br />
soll nach <strong>der</strong>selben Differenzierung die Entwicklung <strong>und</strong> Rolle e<strong>in</strong>er Strategie<br />
verdeutlicht werden. In Kapitel 4 stehen die Fähigkeiten <strong>und</strong> das Lernverhalten<br />
e<strong>in</strong>es <strong>Poker</strong>spielers im Fokus. Abschließend soll <strong>in</strong> Kapitel 5 das<br />
Risikoverhalten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er näher analysiert werden, welches sich durch<br />
kognitive Verzerrungen o<strong>der</strong> durch Turnierbed<strong>in</strong>gungen ergibt.<br />
2 <strong>Poker</strong> als <strong>Spiel</strong><br />
Das nachfolgende Kapitel wird den Begriff des <strong>Poker</strong>s näher def<strong>in</strong>ieren <strong>und</strong><br />
e<strong>in</strong>e kurze E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die <strong>Spiel</strong>regeln liefern. Hierbei jedoch soll sich<br />
speziell nur auf e<strong>in</strong>e bestimmte <strong>und</strong> wohl bekannteste Variante des <strong>Poker</strong>s<br />
bezogen werden, nämlich Texas Hold`em.<br />
Desweiteren erfolgt im Anschluss an die E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> das <strong>Spiel</strong> e<strong>in</strong>e Analyse,<br />
welche das <strong>Spiel</strong> jeweils aus e<strong>in</strong>er entscheidungs- <strong>und</strong> spieltheoretischen Sicht<br />
betrachtet. Das Ziel stellt das Aufdecken <strong>der</strong> wirtschaftswissenschaftlichen<br />
Relevanz des Themas dar.<br />
2.1 Def<strong>in</strong>ition <strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>regeln<br />
Der Begriff des <strong>Poker</strong>s umfasst e<strong>in</strong>e Vielfalt von Kartenspielen, <strong>in</strong> denen 2-10<br />
<strong>Spiel</strong>er pro R<strong>und</strong>e geme<strong>in</strong>sam um e<strong>in</strong>en Gew<strong>in</strong>n o<strong>der</strong> Preis konkurrieren.<br />
Hierbei s<strong>in</strong>d die Karten e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers die Bemessungsgr<strong>und</strong>lage für den Erfolg<br />
e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers <strong>und</strong> <strong>der</strong> sog. Stack die Handlungsvariable <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er, mit dem<br />
sich die <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Setzr<strong>und</strong>e um den Gew<strong>in</strong>n bzw. den Pot streiten. Der<br />
Pot ist als e<strong>in</strong>e Summe von E<strong>in</strong>zahlungen o<strong>der</strong> Investitionen <strong>der</strong> teilnehmenden<br />
<strong>Spiel</strong>er zu verstehen <strong>und</strong> steht je nach Variante des <strong>Poker</strong>s dem <strong>Spiel</strong>er mit <strong>der</strong><br />
besten Hand zu. Der f<strong>in</strong>ale Vergleich <strong>der</strong> Karten zur Ermittlung des Siegers <strong>der</strong><br />
<strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e vollzieht sich im sog. Showdown.<br />
Wie e<strong>in</strong>gangs erwähnt handelt es sich bei <strong>Poker</strong> um e<strong>in</strong> Synonym zahlreicher<br />
Kartenspiele, welche e<strong>in</strong>e gewisse Überscheidungsmenge aufweisen. Es gibt<br />
2
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
jedoch drei wichtige Kriterien, welche e<strong>in</strong>e Kategorisierung dieser Vielfalt<br />
ermöglichen <strong>und</strong> <strong>Poker</strong>spiele untere<strong>in</strong>an<strong>der</strong> abgrenzen, nämlich:<br />
- high <strong>Poker</strong> vs. low <strong>Poker</strong>: Gew<strong>in</strong>nt die höchste Hand o<strong>der</strong> die kle<strong>in</strong>ste<br />
Hand im Showdown?<br />
- draw <strong>Poker</strong> vs. stud <strong>Poker</strong>: S<strong>in</strong>d die Karten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er komplett o<strong>der</strong><br />
nur zu e<strong>in</strong>em Teil verdeckt <strong>und</strong> damit sichtbar für die an<strong>der</strong>en <strong>Spiel</strong>er?<br />
- limit <strong>Poker</strong> vs. no-limit <strong>Poker</strong>: In welchem Ausmaß darf sich um den<br />
Gew<strong>in</strong>n mittels E<strong>in</strong>sätzen beworben werden? 5<br />
Es soll sich nachfolgend auf Texas Hold`em konzentriert werden, welches als<br />
high <strong>Poker</strong> <strong>und</strong> e<strong>in</strong>er hybriden Version des draw <strong>Poker</strong>s gesehen werden kann.<br />
Das Ausmaß des Setzverhaltens <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er spielt <strong>in</strong> den <strong>Spiel</strong>regeln e<strong>in</strong>e<br />
untergeordnete Rolle <strong>und</strong> stellt e<strong>in</strong> eher schwaches Differenzierungsmerkmal<br />
dieser <strong>Poker</strong>variante dar.<br />
E<strong>in</strong>e <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e beg<strong>in</strong>nt mit dem Austeilen <strong>der</strong> Private Cards <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er <strong>und</strong><br />
damit erhält je<strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er am Tisch zwei Karten. 6 Anschließend erfolgt e<strong>in</strong>e<br />
Setzr<strong>und</strong>e (Pre-Flop), <strong>in</strong> <strong>der</strong> je<strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er e<strong>in</strong>e Entscheidung trifft <strong>und</strong> diese<br />
ggf. mittels se<strong>in</strong>es Stacks ausführt. Diese Entscheidung ist wesentlich abhängig<br />
von <strong>der</strong> Stärke <strong>der</strong> Starthand <strong>und</strong> die Stärke <strong>der</strong> Starthand hängt wie<strong>der</strong>rum<br />
<strong>in</strong>vers von <strong>der</strong> E<strong>in</strong>trittswahrsche<strong>in</strong>lichkeit <strong>der</strong> Starthand ab. Im Gr<strong>und</strong>e stehen<br />
dem <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong> je<strong>der</strong> Setzr<strong>und</strong>e drei Handlungsalternativen zur Verfügung.<br />
Entwe<strong>der</strong> er steigt aus <strong>der</strong> R<strong>und</strong>e aus (fold), setzt e<strong>in</strong>en gefor<strong>der</strong>ten Betrag um<br />
im <strong>Spiel</strong> zu bleiben (check/call) o<strong>der</strong> er setzt/erhöht um e<strong>in</strong>en bestimmten<br />
Betrag (bet/raise), auf den die übrigen <strong>Spiel</strong>er dann reagieren müssen. E<strong>in</strong>e<br />
Setzr<strong>und</strong>e ist abgeschlossen, wenn m<strong>in</strong>destens zwei <strong>Spiel</strong>er im <strong>Spiel</strong> verblieben<br />
s<strong>in</strong>d o<strong>der</strong> alle <strong>Spiel</strong>er bis auf E<strong>in</strong>en ausgestiegen s<strong>in</strong>d, welcher dann als Sieger<br />
<strong>der</strong> <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e hervorg<strong>in</strong>ge. 7<br />
Wenn Letzteres nicht e<strong>in</strong>tritt, dann erfolgt die Austeilung des Flops. Hier<br />
handelt es sich um drei Karten, welche für alle <strong>Spiel</strong>er sichtbar <strong>und</strong> mit den<br />
5 Vgl. Sklansky (2004), S. 4 f<br />
6 Bevor e<strong>in</strong>e <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e startet werden sog. Bl<strong>in</strong>ds gesetzt, welche fixierte E<strong>in</strong>sätze <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er<br />
s<strong>in</strong>d. Diese fixierten E<strong>in</strong>sätze rotieren im Uhrzeigers<strong>in</strong>n <strong>und</strong> werden von den ersten beiden<br />
<strong>Spiel</strong>ern getragen, welche <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Setzr<strong>und</strong>e (<strong>in</strong> allen außer <strong>in</strong> erster Setzr<strong>und</strong>e) anfangen.<br />
7 Zudem ist die Reihenfolge <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Setzr<strong>und</strong>e stets festgelegt <strong>und</strong> das sequentielle Setzen<br />
geschieht ebenfalls im Uhrzeigers<strong>in</strong>n.<br />
3
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Private Cards komb<strong>in</strong>ierbar s<strong>in</strong>d. Diese Art von Karten nennt man deshalb<br />
auch Community-Cards, weil sie für alle <strong>Spiel</strong>er zugänglich s<strong>in</strong>d. Nach dem<br />
Flop erfolgt e<strong>in</strong>e weitere Setzr<strong>und</strong>e. Falls weiterh<strong>in</strong> m<strong>in</strong>destens zwei <strong>Spiel</strong>er<br />
verblieben s<strong>in</strong>d, folgt die Austeilung des Turns als vierte Community-Card.<br />
Anschließend geht die <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e wie<strong>der</strong> <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Setzr<strong>und</strong>e. Der Austeilung<br />
<strong>der</strong> fünften <strong>und</strong> letzten Community-Card, dem River, folgt <strong>der</strong> f<strong>in</strong>ale Vergleich<br />
<strong>der</strong> Karten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er im Showdown. Voraussetzung hierfür ist wie<strong>der</strong>, dass<br />
m<strong>in</strong>destens zwei <strong>Spiel</strong>er verblieben s<strong>in</strong>d <strong>und</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> letzten Setzr<strong>und</strong>e ke<strong>in</strong>er <strong>der</strong><br />
beiden <strong>Spiel</strong>er beschließt auszusteigen. In diesem Showdown gew<strong>in</strong>nt die<br />
höhere Hand den Vergleich <strong>der</strong> noch übrigen <strong>Spiel</strong>er, wobei e<strong>in</strong>e Hand aus<br />
fünf Karten gebildet wird <strong>und</strong> die Bemessungsgr<strong>und</strong>lage für den Vergleich<br />
bildet. E<strong>in</strong>e Hand kann beliebig mit e<strong>in</strong>er o<strong>der</strong> beiden Private Cards komb<strong>in</strong>iert<br />
werden. Der Gew<strong>in</strong>ner des Vergleiches erhält den Pot <strong>und</strong> beendet damit die<br />
<strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e. 8<br />
2.2 <strong>Spiel</strong>theoretische Betrachtung<br />
Aus spieltheoretischer Sicht s<strong>in</strong>d die beson<strong>der</strong>en Merkmale des <strong>Poker</strong>s zum<br />
e<strong>in</strong>en die asymmetrische Informationsstruktur zwischen den <strong>Spiel</strong>ern am Tisch<br />
<strong>und</strong> zum an<strong>der</strong>en die Dynamik des <strong>Spiel</strong>s, welche durch die sequentiellen Setz-<br />
<strong>und</strong> Signalr<strong>und</strong>en entsteht. E<strong>in</strong>e Signalr<strong>und</strong>e ist <strong>in</strong> dem Fall entwe<strong>der</strong> die<br />
Austeilung <strong>der</strong> Private Cards o<strong>der</strong> <strong>der</strong> Community Cards. Die unvollständige<br />
Information liegt primär die Existenz <strong>der</strong> Private Cards zu Gr<strong>und</strong>e <strong>und</strong> ferner,<br />
dass man bestimmte Aktionen des Gegners nicht e<strong>in</strong>deutig <strong>in</strong>terpretieren kann<br />
bzw. bestimmten Signalen (bet/raise des Gegners) ke<strong>in</strong> Event (starke Hand des<br />
Gegners) zuordnen kann, gerade weil man über den Gegner über zu wenig<br />
Erfahrungswerte verfügt. Mit steigen<strong>der</strong> Dauer des <strong>Spiel</strong>es reduziert sich diese<br />
Quelle <strong>der</strong> Unsicherheit, weil man mehr über se<strong>in</strong>en Gegner lernt. 9<br />
Die Frage nach e<strong>in</strong>er optimalen Strategie im <strong>Poker</strong> ist aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong><br />
Komplexität nur schwer zu beantworten. Die Komplexität drückt sich<br />
beson<strong>der</strong>s <strong>in</strong> den multiplen Setzr<strong>und</strong>en <strong>und</strong> dem daraus resultierendem<br />
<strong>Spiel</strong>baum, aber auch dadurch aus, dass e<strong>in</strong>em <strong>Spiel</strong>er pro Setzr<strong>und</strong>e drei<br />
Handlungsalternativen zur Verfügung stehen (fold, check/call, bet/raise) <strong>und</strong><br />
8 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2003), S. 1f <strong>und</strong> Kendall <strong>und</strong> Willdig (2001), S. 191 f<br />
9 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2003), S. 1f <strong>und</strong> Riley et al. (2008), S.326 f<br />
4
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
auf e<strong>in</strong>e Aktion dieses <strong>Spiel</strong>ers wie<strong>der</strong>rum die übrigen <strong>Spiel</strong>ers eben mittels<br />
dieser drei Alternativen reagieren. Aus diesen Gründen werden Abstraktionen<br />
getroffen, um die Komplexität zu reduzieren ohne dabei wichtige<br />
Eigenschaften des <strong>Spiel</strong>es zu verlieren. Zu den Abstraktionen zählen z. B.: die<br />
Reduktion <strong>der</strong> Starthände auf bestimmte Gruppen anstatt sie e<strong>in</strong>zeln zu<br />
betrachten o<strong>der</strong> im Extremfall gar die Reduktion des Decks auf Könige <strong>und</strong><br />
Damen (M<strong>in</strong>ipoker). Es ist jedoch auch üblich, dass bestimmte irrationale<br />
Handlungen gänzlich ausgeschlossen werden, um die mögliche Strategiemenge<br />
zu reduzieren, wie z. B.: e<strong>in</strong> fold mit <strong>der</strong> höchsten Karte/Starthand o<strong>der</strong> e<strong>in</strong> call<br />
mit <strong>der</strong> schwächsten Karte/Starthand. 10<br />
Bei <strong>der</strong> Wahl e<strong>in</strong>er optimalen Strategie maximiert <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>en<br />
Erwartungswert. Diese Wahl <strong>der</strong> optimalen Strategie sollte zum e<strong>in</strong>en die<br />
Gew<strong>in</strong>ne maximieren, jedoch auch die eigenen Verluste durch fehlerhaftes<br />
<strong>Spiel</strong> m<strong>in</strong>imieren. Die optimale Strategie ist jedoch situationsabhängig, d.h. je<br />
nach Starthand kann sich e<strong>in</strong>e optimale Strategie verän<strong>der</strong>n. Da die Austeilung<br />
<strong>der</strong> Starthände aus e<strong>in</strong>em Zufallsprozess resultiert, sofern das Deck fair ist,<br />
liegt die Vermutung nahe, dass die Wahl e<strong>in</strong>er optimalen Strategie auch e<strong>in</strong><br />
Zufallsprozess ist, welcher bestimmten Handlungsalternativen e<strong>in</strong>e<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit zuweist. Aus diesem Gr<strong>und</strong> wird die Wahl e<strong>in</strong>er puren<br />
Strategie ausgeschlossen <strong>und</strong> angenommen, dass e<strong>in</strong>e gemischte Strategie für<br />
den <strong>Spiel</strong>er optimal ist. 11 Ferner folgt aus dieser Tatsache, dass <strong>Poker</strong> auch als<br />
Signall<strong>in</strong>g-<strong>Spiel</strong> mit e<strong>in</strong>em halb-trennendem Gleichgewicht zu sehen ist. Im<br />
Gleichgewicht kann e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er aus e<strong>in</strong>er bestimmten Aktion des Gegners zwar<br />
Rückschlüsse auf die Karten se<strong>in</strong>es Gegners ziehen, jedoch nur mit e<strong>in</strong>er<br />
bestimmten Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit daran glauben. 12<br />
2.3 Entscheidungstheoretische Betrachtung<br />
Während e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e ist man häufig gefor<strong>der</strong>t schnelle Entscheidungen<br />
zu treffen, welche durch die Existenz <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Private Cards zu schwierigen<br />
Entscheidungen werden. Die Entscheidungsf<strong>in</strong>dung ist von <strong>der</strong><br />
Informationsasymmetrie ausgehende Unsicherheit <strong>der</strong>art gestört, sodass man<br />
10 Vgl. Swanson (2005), S. 3f <strong>und</strong> Bill<strong>in</strong>gs et al. (2003), S. 2f<br />
11 In den Kapiteln 3 <strong>und</strong> 5 soll dieser Annahme genauer nachgegangen werden.<br />
12 Vgl. Swanson (2005), S. 4f <strong>und</strong> Riley et al. (2008), S. 328f <strong>und</strong> S.331f.<br />
5
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
sich als <strong>Spiel</strong>er probabilistischer Hilfsmittel begnügt. Aus dieser Motivation<br />
heraus entstanden Ansätze, die s<strong>in</strong>nvolle Handlungsnormen <strong>in</strong> bestimmten<br />
Situationen o<strong>der</strong> ganze Strategien auf <strong>der</strong> Basis <strong>der</strong> sog. Pot-Odds ableiteten.<br />
Es werden demnach Aktionen mit positiven Erwartungswerten durchgeführt<br />
(call o<strong>der</strong> bet), bei unrentablen Vorhaben wird e<strong>in</strong>e Aktion unterlassen (fold) 13 .<br />
Diese Ansätze stellen an den e<strong>in</strong>zelnen <strong>Spiel</strong>er gewisse Anfor<strong>der</strong>ungen, die er<br />
<strong>in</strong> <strong>der</strong> Realität <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em dynamischen Umfeld ggf. nicht mehr gerecht werden<br />
kann.<br />
Das trifft beson<strong>der</strong>s dann zu, wenn von e<strong>in</strong>em <strong>Spiel</strong>er gefor<strong>der</strong>t wird se<strong>in</strong>e<br />
Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit korrekt e<strong>in</strong>zuschätzen, Aktionen des Gegners<br />
gemäß se<strong>in</strong>em eigenen Kalkül e<strong>in</strong>zuordnen o<strong>der</strong> sich risikoneutral zu verhalten,<br />
<strong>in</strong>dem er sich ausschließlich nach Erwartungswerten entscheidet.<br />
Ferner erweist es sich ebenfalls als fragwürdig, ob sich e<strong>in</strong> <strong>Poker</strong>spieler stets<br />
gedächtnislos verhält, d. h. dass Ereignisse <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er vorherigen <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e<br />
ke<strong>in</strong>en signifikanten E<strong>in</strong>fluss auf se<strong>in</strong> Verhalten <strong>in</strong> <strong>der</strong> aktuellen R<strong>und</strong>e haben.<br />
Diese Events <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vergangenheit stellen für se<strong>in</strong> Handeln e<strong>in</strong>e Art<br />
Referenzpunkt dar, an dem er se<strong>in</strong> künftiges Handeln misst <strong>und</strong> bewertet.<br />
Zudem können auch monetäre Werte, wie z. B. Gew<strong>in</strong>ne o<strong>der</strong> Verluste, e<strong>in</strong>en<br />
Referenzpunkt abbilden <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e vergangenheitsorientierte <strong>Spiel</strong>weise<br />
auslösen. Da Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste ebenso psychologische Effekte auf den<br />
<strong>Spiel</strong>er haben, s<strong>in</strong>d sie wesentlicher Treiber <strong>der</strong> Vergangenheitsorientierung.<br />
Als Folge kann man ableiten, dass e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er kognitiven Verzerrungen<br />
unterliegt <strong>und</strong> deshalb die geistigen Anfor<strong>der</strong>ungen nicht immer erfüllen kann.<br />
Die eigene Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit wird dann über- o<strong>der</strong> unterschätzt o<strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er verhalten sich plötzlich risikoavers o<strong>der</strong> risikoaff<strong>in</strong>. Hierdurch lassen<br />
sich wesentliche Erkenntnisse <strong>der</strong> Prospect Theory (Kahneman & Tversky,<br />
1979) anwenden, welche die Entscheidungsf<strong>in</strong>dung unter Unsicherheit<br />
beleuchtet. Die Partizipation an e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e stellt dann bspw. die<br />
Erwägung des Erwerbs e<strong>in</strong>er Lotterie dar. 14<br />
Desweiteren s<strong>in</strong>d ebenso an<strong>der</strong>e kognitive Phänomene zu beobachten, welche<br />
die statistischen Eigenschaften des <strong>Spiel</strong>es anzweifeln <strong>und</strong> auf Basis von<br />
Events <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vergangenheit eigene Rückschlüsse auf die Zukunft ziehen. Da<br />
13 Vgl. Sklansky (2004), S. 22-32<br />
14 Vgl. Smith et al. (2009), S. 3-6<br />
6
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
<strong>in</strong> je<strong>der</strong> <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e die Karten neu ausgeteilt werden, ist stark davon<br />
auszugehen, dass die eigene Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit <strong>und</strong> damit die<br />
Partizipationsentscheidungen <strong>in</strong> je<strong>der</strong> R<strong>und</strong>e unabhängig vone<strong>in</strong>an<strong>der</strong> getroffen<br />
werden. Kognitive Verzerrungen <strong>in</strong> <strong>der</strong> Entscheidungsf<strong>in</strong>dung liegen jedoch<br />
genau dann vor, wenn <strong>Spiel</strong>er auf Basis eigener Beobachtungen <strong>in</strong> kle<strong>in</strong>en<br />
Samples Erwartungen für das Auftreten e<strong>in</strong>es Events <strong>in</strong> <strong>der</strong> Zukunft bilden.<br />
Hierbei werden die Unabhängigkeit <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>en <strong>und</strong> <strong>der</strong> E<strong>in</strong>fluss <strong>der</strong><br />
Glückskomponente <strong>in</strong> dem <strong>Spiel</strong> an sich völlig ausgeblendet, was wie<strong>der</strong>rum<br />
zu Abweichungen <strong>der</strong> unterstellten Risikoneutralität führt. Genauer gesagt<br />
steigt <strong>der</strong> Glaube an Autokorrelationen von Zufallsgrößen, je öfter e<strong>in</strong> Event <strong>in</strong><br />
<strong>der</strong> Vergangenheit auftritt, was durch die Frequenz <strong>der</strong> Teilnahme wie<strong>der</strong>rum<br />
zu e<strong>in</strong>er Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Risikoe<strong>in</strong>stellung führt. Die erwartete Autokorrelation<br />
von Zufallsgrößen kann sowohl negativ (Gamblers Fallacy) als auch positiv<br />
(Hot Hand Fallacy) se<strong>in</strong>, dabei verän<strong>der</strong>t sich Entscheidung über die<br />
Teilnahme gemäß <strong>der</strong> erwarteten Realisationen <strong>der</strong> Zufallsgrößen. 15<br />
3 <strong>Poker</strong>-Strategien<br />
Wenn das Verhaltensmuster e<strong>in</strong>es <strong>Poker</strong>-<strong>Spiel</strong>ers aus e<strong>in</strong>em gewissen Kalkül<br />
heraus entsteht <strong>und</strong> nicht als zufällig zu sehen ist, spricht man von e<strong>in</strong>er<br />
Strategie. Die Umsetzung e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>-Strategie erfolgt mittels des Stacks des<br />
<strong>Spiel</strong>ers <strong>und</strong> ist auch als Bündel von Handlungsalternativen (check/fold, call,<br />
bet/raise) zu verstehen, welche mit e<strong>in</strong>er bestimmten Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
ausgeführt werden. Die Bed<strong>in</strong>gung für die Wirksamkeit e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>-Strategie<br />
ist jedoch, dass <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>en Erfolg signifikant bee<strong>in</strong>flussen kann <strong>und</strong> es<br />
nicht ausschließlich vom Glück abhängt. Ansonsten wäre u. U. e<strong>in</strong>e optimale<br />
<strong>Poker</strong>-Strategie e<strong>in</strong>er zufälligen Strategie nicht zw<strong>in</strong>gend überlegen. 16<br />
In diesem Kapitel soll zunächst das <strong>Poker</strong>modell von Von Neumann/<br />
Morgenstern (1944) vorgestellt werden, um anhand e<strong>in</strong>es e<strong>in</strong>fachen<br />
Basismodells die spieltheoretische Darstellung e<strong>in</strong>zuleiten. Anschließend wird<br />
15 Vgl. Rab<strong>in</strong> & Vayanos (2009), S.18-22 <strong>und</strong> Smith et al. (2009), S.6f<br />
16 In Kapitel 4 wird dieser Aspekt genauer untersucht.<br />
7
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
das Modell um drei Fälle erweitert, wodurch sowohl die extensive Form des<br />
<strong>Spiel</strong>es als auch die Strategien an Komplexität gew<strong>in</strong>nen.<br />
Im zweiten Teil des Kapitels wird die Bildung <strong>der</strong> Strategie auf<br />
probabilistischer Ebene genauer erläutert. In diesen Ansätzen steht <strong>der</strong> Gegner<br />
mehr im Fokus <strong>der</strong> Strategieentwicklung, da man im Idealfall aus den<br />
Handlungen des Gegners Rückschlüsse zieht <strong>und</strong> die Informationsasymmetrie<br />
m<strong>in</strong>imiert. Desweiteren werden Handlungen des <strong>Spiel</strong>ers an Erwartungswerten<br />
geknüpft, welche von R<strong>und</strong>e zu R<strong>und</strong>e variieren. Deshalb ist auch die Strategie<br />
stets situationsabhängig <strong>und</strong> im Wesentlichen von <strong>der</strong> Stärke <strong>und</strong> dem Potential<br />
<strong>der</strong> Starthand bestimmt.<br />
3.1 <strong>Spiel</strong>theoretische Darstellung<br />
In diesem Teilkapitel steht das 2-Personen <strong>Poker</strong>-Modell von Von<br />
Neumann/Morgenstern (1944) im Fokus, welches neben dem Modell von Borel<br />
(1939) das Thema <strong>Poker</strong> als Erstes aufgegriffen hatte. Die beiden Theorien<br />
unterscheiden sich nur <strong>in</strong> dem Punkt, dass <strong>der</strong> beg<strong>in</strong>nende <strong>Spiel</strong>er nicht<br />
unmittelbar den Pot verliert, wenn er nicht setzt. Im Borel-Modell setzt (bet)<br />
<strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er o<strong>der</strong> steigt aus (fold), woh<strong>in</strong>gegen Von Neumann/Morgenstern ihm<br />
e<strong>in</strong> check zugestehen, sodass <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er nicht zwangsläufig den Pot verliert. 17<br />
Dieses Modell soll um drei Fälle erweitert werden, welche den <strong>Spiel</strong>baum<br />
vergrößern <strong>und</strong> den Aktionsradius <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er erweitern. Zudem soll auf die<br />
Verteilung <strong>der</strong> Starthände e<strong>in</strong>gegangen werden, da <strong>in</strong> diesen Modellen <strong>der</strong><br />
Wert e<strong>in</strong>er (Start-) Hand e<strong>in</strong>e bestimmte Nummer zugewiesen wird.<br />
3.1.1 Verteilung <strong>der</strong> Starthände<br />
In den spieltheoretischen Modellen zu <strong>Poker</strong> wird e<strong>in</strong>er bestimmten Hand e<strong>in</strong>e<br />
gewisse Nummer zugewiesen, welche sich zwischen 0 <strong>und</strong> 1 bewegt. Je näher<br />
die Nummer <strong>der</strong> Hand an 1 liegt, desto stärker ist sie <strong>und</strong> umso besser stehen<br />
die Chancen e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers im Showdown. Im 2-Personen <strong>Poker</strong> werden die<br />
Hände <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er mit <strong>der</strong> Zufallsvariable X bzw. Y beschrieben, welche i. i. d.<br />
<strong>und</strong> im Intervall (0,1) verteilt s<strong>in</strong>d. 18 Im Folgenden soll die Normierung von<br />
17 Vgl. Ferguson & Ferguson (2003), S. 2 <strong>und</strong> 6 f.<br />
18 Vgl. Ferguson & Ferguson (2003), S. 1f <strong>und</strong> Dreef et al. (2003a), S. 84f.<br />
8
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
den Händen im <strong>Poker</strong> verdeutlicht werden, wodurch die spieltheoretische<br />
Analyse vere<strong>in</strong>facht wird.<br />
Die Bemessungsgr<strong>und</strong>lage für e<strong>in</strong>en Vergleich zweier <strong>Spiel</strong>er im Showdown<br />
wird, wie e<strong>in</strong>leitend erwähnt, aus fünf Karten gebildet. Diese Hand kann<br />
ausgehend von ihrer Wertigkeit klassifiziert werden. Die Klassifikation erfolgt<br />
wie<strong>der</strong>rum auf Basis <strong>der</strong> E<strong>in</strong>trittswahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>er bestimmten Hand,<br />
hierdurch entstehen grobe Rangfolgen <strong>der</strong> Hände. Die stärkste Hand <strong>in</strong> dieser<br />
Rangfolge hat dabei die niedrigste E<strong>in</strong>trittswahrsche<strong>in</strong>lichkeit. Aus dieser<br />
groben Klassifizierung entstehen 10 Klassen von <strong>Poker</strong>händen (Vgl. Tabelle<br />
20 <strong>und</strong> 21).<br />
Die Rangfolge <strong>der</strong> Hände <strong>in</strong>nerhalb e<strong>in</strong>er Klasse entsteht durch den e<strong>in</strong>zelnen<br />
Vergleich <strong>der</strong> Karten, wobei immer mit <strong>der</strong> höchsten Karte <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Hand<br />
gestartet wird. Wenn man die <strong>Poker</strong>hände zusätzlich anhand ihrer Rangfolge<br />
<strong>in</strong>nerhalb e<strong>in</strong>er Klasse ordnet, entstehen sog. Subklassen. In diesen Subklassen<br />
s<strong>in</strong>d alle Hände gleich <strong>und</strong> diese treten mit e<strong>in</strong>er gewissen Frequenz auf. Wenn<br />
man alle Subklassen erfasst hat, s<strong>in</strong>d es nur noch wenige Schritte bis zu e<strong>in</strong>er<br />
approximativen Verteilungsfunktion <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>hände. Zuerst setzt man die<br />
geordneten Subklassen <strong>in</strong>s Verhältnis zu ihrer E<strong>in</strong>trittswahrsche<strong>in</strong>lichkeit. Hier<br />
ist wie erwartet e<strong>in</strong> abnehmen<strong>der</strong> Verlauf zu beobachten, wenn man mit <strong>der</strong><br />
kle<strong>in</strong>sten Subklasse anfängt. H<strong>in</strong>terher normiert man die Subklassen zwischen<br />
0 <strong>und</strong> 1, d. h. man bestimmt den Anteil e<strong>in</strong>er Subklasse am Gesamtanteil <strong>der</strong><br />
Subklassen. Wenn man dasselbe für die E<strong>in</strong>trittswahrsche<strong>in</strong>lichkeit <strong>der</strong><br />
Subklassen macht <strong>und</strong> die Daten jeweils kumuliert, erhält man e<strong>in</strong>e<br />
approximative Verteilungsfunktion für die <strong>Poker</strong>hände. Hierbei ist zu beachten,<br />
dass e<strong>in</strong>e Hand umso stärker ist, je näher ihre Nummer an <strong>der</strong> 1 liegt <strong>und</strong> je<br />
seltener sie auftritt (Vgl. Abbildung 30 <strong>und</strong> 31). 19<br />
3.1.2 Von Neumann/Morgenstern <strong>Poker</strong><br />
In diesem Ansatz nehmen zwei <strong>Spiel</strong>er, nämlich <strong>Spiel</strong>er 1 <strong>und</strong> 2, an e<strong>in</strong>er<br />
<strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e teil. Beide <strong>Spiel</strong>er treten zu Beg<strong>in</strong>n <strong>der</strong> R<strong>und</strong>e e<strong>in</strong>en fixen Betrag<br />
ab, auch ante genannt. Dieser Betrag wird von den <strong>Spiel</strong>ern nicht als Verlust<br />
19 Vgl. Dreef et al. (2003a), S. 92-96.<br />
9
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
gesehen, son<strong>der</strong>n eher als e<strong>in</strong> Bonus falls man den Pot gew<strong>in</strong>nt. Der fixe<br />
Betrag o<strong>der</strong> ante sei im Folgenden gleich 1.<br />
Nach dem Abtritt des ante erhalten die <strong>Spiel</strong>er ihre Karten, die Hand von<br />
<strong>Spiel</strong>er 1 sei X <strong>und</strong> die Hand von <strong>Spiel</strong>er 2 sei Y. Die Hände <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er s<strong>in</strong>d i.<br />
i. d. <strong>und</strong> im Intervall von (0,1) verteilt. Nach dem Erhalt <strong>der</strong> Hände eröffnet<br />
<strong>Spiel</strong>er 1 die <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e. Der <strong>Spiel</strong>er 1 wählt zwischen e<strong>in</strong>em bet o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>em<br />
check. Bei e<strong>in</strong>em bet setzt er den Betrag B. Anschließend ist <strong>der</strong> zweite <strong>Spiel</strong>er<br />
am Zug. Wenn <strong>der</strong> erste <strong>Spiel</strong>er checkt, kommt es zu e<strong>in</strong>em Showdown<br />
zwischen den <strong>Spiel</strong>ern. Sollte <strong>Spiel</strong>er 1 jedoch setzen, wählt <strong>Spiel</strong>er 2 zwischen<br />
e<strong>in</strong>em call o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>em fold. Bei e<strong>in</strong>em call kommt es erneut zu e<strong>in</strong>em f<strong>in</strong>alen<br />
Vergleich <strong>der</strong> Karten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er. Der resultierende <strong>Spiel</strong>baum lässt sich wie<br />
folgt darstellen:<br />
Abbildung 1: <strong>Spiel</strong>baum für das 2-Personen <strong>Poker</strong><br />
(Quelle: Ferguson &Ferguson, 2003, S.7)<br />
Die Wahl e<strong>in</strong>er Strategie durch den <strong>Spiel</strong>er hängt bedeutend von <strong>der</strong> Stärke <strong>der</strong><br />
Starthand ab, jedoch ebenso von <strong>der</strong> Position des <strong>Spiel</strong>ers. Es wird<br />
angenommen, dass die Wahl <strong>der</strong> Strategie von beson<strong>der</strong>en Schwellenwerten (a,<br />
b, c) abhängt, welche mit dem Wert <strong>der</strong> eigenen Hand verglichen werden. Auf<br />
diese Weise bestimmt e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e optimale Strategie. Wenn <strong>der</strong> Wert<br />
e<strong>in</strong>er Hand genau e<strong>in</strong>em Schwellenwert entspricht, ist <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong>different<br />
zwischen Strategien bzw. Aktionen. Durch Bestimmung <strong>der</strong><br />
Indifferenzgleichungen, d.h. erwartete Cashflows aus den beiden Aktionen<br />
werden gegenübergestellt, werden h<strong>in</strong>terher die Schwellenwerte berechnet.<br />
Das Entscheidungsproblem des <strong>Spiel</strong>ers lässt sich wie folgt darstellen:<br />
10
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Abbildung 2: Indifferenzsystem für das <strong>Spiel</strong><br />
(Quelle: Ferguson & Ferguson, 2003, S.7)<br />
Die optimalen Strategien lauten für <strong>Spiel</strong>er 1, dass er setzen soll wenn se<strong>in</strong>e<br />
Hand X a unterschreitet o<strong>der</strong> b überschreitet. Im ersten Fall ist e<strong>in</strong> Bluff- Bet<br />
optimal, im zweiten Fall ist die Rede von e<strong>in</strong>em Value- Bet. Liegt se<strong>in</strong>e Hand<br />
zwischen b <strong>und</strong> a, so ist e<strong>in</strong> check optimal. Die optimale Strategie für <strong>Spiel</strong>er 2<br />
ist auszusteigen wenn se<strong>in</strong>e Hand c unterschreitet <strong>und</strong> ansonsten e<strong>in</strong> call.<br />
Durch Lösung <strong>der</strong> Indifferenzgleichungen ergeben sich folgende<br />
Schwellenwerte:<br />
B<br />
a �<br />
<strong>und</strong><br />
( B �1)(<br />
B � 4)<br />
B(<br />
B � 3)<br />
�<br />
( B �1)(<br />
B � 4)<br />
2<br />
B � 4B<br />
� 2<br />
b �<br />
(1) (2)<br />
( B �1)(<br />
B � 4)<br />
c (3). 20<br />
Auf Basis <strong>der</strong> Schwellenwerte lassen sich ebenso Verhaltensstrategien ableiten,<br />
welche die Werte <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit <strong>in</strong>tegrieren. Hieraus wird die<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>es Calls o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>es Bets bestimmt. Die<br />
Verhaltensstrategien können demnach wie folgt ausgedrückt werden 21 :<br />
P(bet mit Hand X)= 1, wenn X < a <strong>und</strong> X > b <strong>und</strong> 0 sonst. (4)<br />
P(call mit Hand Y)= 0, wenn Y < c <strong>und</strong> 1 sonst. (5).<br />
3.1.3 Erweiterungen des Von Neumann/Morgenstern <strong>Poker</strong>s 22<br />
Das vorgestellte Basis-Modell von Von Neumann/Morgenstern soll<br />
nachfolgend um drei Fälle erweitert werden. Dies bedeutet, dass sowohl <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>baum erweitert wird als auch die Varietät <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>-Strategien <strong>der</strong> beiden<br />
<strong>Spiel</strong>er neue Formen annimmt. Die Erweiterungen bestechen vor allem<br />
20<br />
Vgl. Ferguson & Ferguson( 2003), S. 6-9 <strong>und</strong> Ferguson et. al (2007), S. 1f.<br />
21<br />
Vgl. Dreef et al. (2003a), S. 91<br />
22<br />
Vgl. Ferguson et. al (2007), S. 3-16<br />
11
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
dadurch, dass <strong>Spiel</strong>er 2 nicht so mehr passiv agiert <strong>und</strong> ihm zugestanden wird<br />
zu setzen bzw. zu erhöhen. Hierdurch gew<strong>in</strong>nt e<strong>in</strong>e Setzr<strong>und</strong>e an Komplexität.<br />
Erweiterung 1: <strong>Spiel</strong>er 2 kann setzen, falls <strong>Spiel</strong>er 1 checkt.<br />
In diesem Fall eröffnet <strong>Spiel</strong>er 1 die <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e, nachdem beide <strong>Spiel</strong>er ihre<br />
Karten erhalten <strong>und</strong> ihren ante abgetreten haben. Die Karten von <strong>Spiel</strong>er 1<br />
bzw. 2 seien X bzw. Y <strong>und</strong> i. i. d. verteilt im Intervall (0,1). Der <strong>Spiel</strong>er 1<br />
wählt zwischen e<strong>in</strong>em Bet <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em check. 23 Im ersten Fall wählt <strong>Spiel</strong>er 2<br />
e<strong>in</strong> call o<strong>der</strong> er steigt aus. Im Unterschied zum Basismodell darf <strong>Spiel</strong>er 2 nun<br />
jedoch selber setzen, falls <strong>Spiel</strong>er 1 checkt. Wenn dies <strong>der</strong> Fall ist, muss <strong>Spiel</strong>er<br />
1 darauf mit e<strong>in</strong>em call o<strong>der</strong> fold antworten. Weiterh<strong>in</strong> besteht auch die<br />
Möglichkeit e<strong>in</strong>es sofortigen Showdowns, falls beide <strong>Spiel</strong>er checken.<br />
Im Gegensatz zum Basismodell wird hier <strong>Spiel</strong>er 2 die Möglichkeit e<strong>in</strong>es<br />
Bluffs e<strong>in</strong>geräumt. Zudem wird auch hier e<strong>in</strong>e Art Informationsvorteil des<br />
<strong>Spiel</strong>ers 2 deutlich, da e<strong>in</strong> check des <strong>Spiel</strong>ers 1 evtl. Schwäche signalisiert <strong>und</strong><br />
er Informationen über se<strong>in</strong>e Private Cards erhält. Der resultierende <strong>Spiel</strong>baum<br />
nimmt konkret folgende Gestalt an:<br />
Abbildung 3: <strong>Spiel</strong>baum <strong>der</strong> ersten Erweiterung<br />
Wie im Basismodell hängt die Wahl e<strong>in</strong>er optimalen Strategie von gewissen<br />
Schwellenwerten ab, welche mit <strong>der</strong> Starthand verglichen werden. Die Anzahl<br />
dieser Werte hat sich jedoch mit <strong>der</strong> Komplexität des <strong>Spiel</strong>baumes erhöht. Es<br />
wird angenommen, dass die Wahl e<strong>in</strong>er optimalen Strategie von sechs<br />
23 Dies soll für alle Fälle gelten <strong>und</strong> nicht weiter aufgeführt werden.<br />
12
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Schwellenwerten (a, b, c, d, e, f) ab. Der Zusammenhang zwischen den<br />
Strategien <strong>und</strong> den e<strong>in</strong>zelnen Werten spiegelt sich im Entscheidungsproblem<br />
<strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er wie<strong>der</strong>:<br />
Abbildung 4: Indifferenzsystem <strong>der</strong> ersten Erweiterung<br />
Die optimalen Strategien für <strong>Spiel</strong>er 1 lauten für den Fall, dass X entwe<strong>der</strong> a<br />
unterschreitet o<strong>der</strong> c überschreitet, e<strong>in</strong> bet <strong>und</strong> check-fold für a < X < b sowie<br />
check-call für b < X < c. Die letzte Strategie ist beson<strong>der</strong>s dann effektiv, wenn<br />
<strong>der</strong> Gegner blufft <strong>und</strong> als e<strong>in</strong>e zurückhaltende Art zu verstehen mittelstarke bis<br />
starke Hände zu spielen.<br />
Die optimalen Strategien des zweiten <strong>Spiel</strong>ers hängen von <strong>der</strong> ersten Aktion<br />
des <strong>Spiel</strong>ers 1 ab. Wenn <strong>Spiel</strong>er 1 setzt, än<strong>der</strong>t sich h<strong>in</strong>sichtlich <strong>der</strong> optimalen<br />
Strategie des zweiten <strong>Spiel</strong>ers nichts. Er steigt nämlich aus, wenn se<strong>in</strong>e Hand Y<br />
d unterschreitet <strong>und</strong> wendet ansonsten den Betrag B auf, um im <strong>Spiel</strong> zu<br />
bleiben. Wenn <strong>Spiel</strong>er 1 h<strong>in</strong>gegen checkt, wählt <strong>Spiel</strong>er 2 e<strong>in</strong> bet wenn Y e<br />
unterschreitet o<strong>der</strong> f überschreitet. Im ersten Fall würde <strong>Spiel</strong>er 2 die neue<br />
Möglichkeit e<strong>in</strong>es Bluffs nutzen, an<strong>der</strong>nfalls wählt er e<strong>in</strong> Value-Bet. Die<br />
Hemmschwelle e<strong>in</strong>es Bluffs ist beim zweiten <strong>Spiel</strong>er jedoch höher als bei<br />
<strong>Spiel</strong>er 1, da a < e. Durch lösen des Indifferenzsystems ergeben sich folgende<br />
Werte für die optimalen Strategien:<br />
13
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
a �<br />
( 2<br />
B<br />
d �<br />
2 � B<br />
2B 2<br />
� B)<br />
( 1�<br />
B)<br />
B<br />
B(<br />
B � 3)<br />
b � c � (6) (7) (8)<br />
2 � B ( 2 � B)(<br />
1�<br />
B)<br />
B<br />
e �<br />
( 1�<br />
B)(<br />
2 � B)<br />
B<br />
f �<br />
1�<br />
B<br />
Erweiterung 2: <strong>Spiel</strong>er 2 könnte erhöhen, falls <strong>Spiel</strong>er 1 setzt.<br />
(9) (10) (11).<br />
In dieser Erweiterung wird erstmals e<strong>in</strong>em <strong>Spiel</strong>er die Möglichkeit e<strong>in</strong>geräumt<br />
nicht nur e<strong>in</strong>en Betrag zu setzen, son<strong>der</strong>n e<strong>in</strong>en vom Gegner bereits gesetzten<br />
Betrag sogar zu erhöhen (raise). Wenn <strong>der</strong> Gegner dann die Erhöhung nicht<br />
mitgeht, so verliert er se<strong>in</strong>en zuvor gesetzten Betrag B. Der Betrag <strong>der</strong><br />
Erhöhung durch e<strong>in</strong>en <strong>Spiel</strong>er sei mit R gekennzeichnet.<br />
Der <strong>Spiel</strong>er 1 ist <strong>in</strong> dieser Variante als Erster am Zug <strong>und</strong> wählt zwischen<br />
e<strong>in</strong>em bet <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em check. Falls er checkt, kommt es zum sofortigen<br />
Showdown zwischen den <strong>Spiel</strong>ern. Falls er setzt, stehen dem <strong>Spiel</strong>er 2 drei<br />
Handlungsalternativen zur Verfügung. Er kann aussteigen (fold), den<br />
gefor<strong>der</strong>ten Betrag B mitgehen (call) o<strong>der</strong> sogar den <strong>Spiel</strong>er 1 wie<strong>der</strong>rum unter<br />
Druck setzen, <strong>in</strong>dem er um R erhöht (raise). Bei e<strong>in</strong>er Erhöhung ist <strong>Spiel</strong>er 1<br />
gefragt ob er mitgeht (bet-call) o<strong>der</strong> aussteigt (bet-fold).<br />
E<strong>in</strong> raise durch e<strong>in</strong>en <strong>Spiel</strong>er dient primär dazu die potentiellen Gew<strong>in</strong>ne zu<br />
vergrößern <strong>und</strong> symbolisiert e<strong>in</strong>e starke Hand. Da dem <strong>Spiel</strong>er ebenfalls die<br />
Möglichkeit e<strong>in</strong>es calls zusteht, mit dem er ggf. se<strong>in</strong>e Verluste m<strong>in</strong>imieren<br />
könnte, liegt die Vermutung nahe, dass im Falle e<strong>in</strong>es raise zum e<strong>in</strong>en die<br />
eigenen Chancen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Showdown sehr gut stehen sollten <strong>und</strong> zum an<strong>der</strong>en<br />
deshalb die Gew<strong>in</strong>ne gesteigert werden. Mit e<strong>in</strong>er starken Hand stellt man sich<br />
mit e<strong>in</strong>er Erhöhung <strong>in</strong> diesem Modell nicht schlechter als bei e<strong>in</strong>em call, da<br />
man zum<strong>in</strong>dest den Betrag B erhält wenn <strong>der</strong> Gegner nach <strong>der</strong> Erhöhung<br />
aussteigt.<br />
14
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Abbildung 5: <strong>Spiel</strong>baum <strong>der</strong> zweiten Erweiterung<br />
Die Wahl <strong>der</strong> optimalen Strategien hängt ähnlich wie <strong>in</strong> <strong>der</strong> ersten Erweiterung<br />
von sechs Schwellenwerten ab, welche im Entscheidungsproblem <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er<br />
mit e<strong>in</strong>er bestimmten Strategie im Zusammenhang gestellt werden. Die<br />
Schwellenwerte seien wie<strong>der</strong>rum a, b, c, d, e <strong>und</strong> f.<br />
Abbildung 6: Indifferenzsystem <strong>der</strong> zweiten Erweiterung<br />
Die optimale Strategie für <strong>Spiel</strong>er 1 ist e<strong>in</strong> bet-fold, also zu setzen <strong>und</strong><br />
auszusteigen falls <strong>Spiel</strong>er 2 erhöht, wenn a > X <strong>und</strong> b < X < c. Der <strong>Spiel</strong>er 1<br />
sollte im Übrigen checken, wenn a < X < b <strong>und</strong> bet-call wählen, falls c < X.<br />
Bei e<strong>in</strong>em bet-fold steigt <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er aus, weil er entwe<strong>der</strong> bei e<strong>in</strong>em puren<br />
Bluff ertappt wurde <strong>und</strong> deshalb e<strong>in</strong> Showdown nicht lohnenswert wäre o<strong>der</strong> er<br />
hält e<strong>in</strong>e mittelstarke bis starke Hand, welche ihm jedoch nicht stark genug<br />
ersche<strong>in</strong>t um <strong>der</strong> antizipierten Hand des Gegners stand zu halten. Um se<strong>in</strong>e<br />
Verluste zu m<strong>in</strong>imieren steigt <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er 1 dann lieber aus.<br />
Für den zweiten <strong>Spiel</strong>er erweist es sich als optimal auszusteigen, wenn Y < d,<br />
<strong>und</strong> mitzugehen, wenn e < Y < f. Ähnlich wie <strong>in</strong> <strong>der</strong> ersten Erweiterung wird<br />
<strong>Spiel</strong>er 2 die Möglichkeit e<strong>in</strong>es Bluffs e<strong>in</strong>geräumt. Der <strong>Spiel</strong>er 2 sollte zu e<strong>in</strong>er<br />
15
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Erhöhung ansetzen (raise), wenn d < Y < e o<strong>der</strong> Y > f. Im ersten Fall liegt e<strong>in</strong>e<br />
Art Bluff vor, da se<strong>in</strong>e Hand im zweiten Fall signifikant stärker ist. Jedoch<br />
kann <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er 2 aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Informationsasymmetrie zwischen den<br />
<strong>Spiel</strong>ern mit e<strong>in</strong>em raise zum<strong>in</strong>dest e<strong>in</strong>e Hand Y > e symbolisieren, auch wenn<br />
er <strong>in</strong> Wirklichkeit e > Y > d hält. Durch Lösen des Indifferenzsystems ergeben<br />
sich folgende Lösungen für die Schwellenwerte:<br />
2<br />
2<br />
B ( 2 � 2B<br />
� R)<br />
a �<br />
( 2 � B)<br />
b � 1�<br />
a (12) (13)<br />
( 1�<br />
B)<br />
�<br />
B<br />
2B(<br />
2 � B)(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
B 2<br />
c �1<br />
�<br />
d � � a (14) (15)<br />
�<br />
( 2 � B)<br />
( 2 � B)<br />
B(<br />
2 � B)(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
B<br />
f �1<br />
�<br />
e � � a<br />
�<br />
1 � B<br />
(16) (17)<br />
2<br />
2<br />
mit � � B(<br />
4 � B)(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
� ( 1�<br />
B)(<br />
2 � B)<br />
R<br />
(18).<br />
Erweiterung 3: Zwei Setzr<strong>und</strong>en mit Sandbagg<strong>in</strong>g durch <strong>Spiel</strong>er 1.<br />
Die letzte Erweiterung des Basismodells komb<strong>in</strong>iert die Ideen <strong>der</strong> ersten beiden<br />
Erweiterungen, außerdem wird dem <strong>Spiel</strong>er 1 die Möglichkeit des<br />
Sandbagg<strong>in</strong>g o<strong>der</strong> Slowplay<strong>in</strong>g geboten. Diese Begriffe beschreiben e<strong>in</strong>e sehr<br />
zurückhaltende Art sehr starke Hände zu spielen, um die potentiellen Gew<strong>in</strong>ne<br />
zu erhöhen. Das Setzen überlässt man hierbei erst dem Gegner <strong>und</strong><br />
symbolisiert selber zuerst e<strong>in</strong>e relativ schwache Hand. Zum an<strong>der</strong>en sollte man<br />
sich <strong>in</strong> früherer Position bef<strong>in</strong>den, damit Personen h<strong>in</strong>ter e<strong>in</strong>em anfangen zu<br />
setzen, welche man dann überbietet nachdem zuvor gecheckt wurde.<br />
Wenn <strong>Spiel</strong>er 2 bspw. an letzter Position Slowplay<strong>in</strong>g spielt <strong>und</strong> checkt,<br />
kommt es zum sofortigen Vergleich <strong>der</strong> Karten <strong>der</strong> beiden <strong>Spiel</strong>er. In diesem<br />
Modell ist <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong> früherer Position klar begünstigt Sandbagg<strong>in</strong>g zu<br />
spielen, was sich ebenso auf die weitaus komplexere Realität anwenden lässt. 24<br />
24 Vgl. Sklansky (2004), S. 79 ff.<br />
16
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Im Modell steht <strong>Spiel</strong>er 1 zu Beg<strong>in</strong>n <strong>der</strong> R<strong>und</strong>e vor <strong>der</strong> Wahl zwischen e<strong>in</strong>em<br />
bet o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>em check. Wenn er setzt, stehen <strong>Spiel</strong>er 2 drei<br />
Handlungsalternativen zur Auswahl. Entwe<strong>der</strong> er steigt aus o<strong>der</strong> setzt den<br />
gefor<strong>der</strong>ten Betrag B, womit es zum Showdown käme. Die dritte Möglichkeit<br />
wäre zu erhöhen, was <strong>Spiel</strong>er 1 wie<strong>der</strong>rum unter Zugzwang setzt, denn er muss<br />
den gefor<strong>der</strong>ten Betrag R aufwenden um im <strong>Spiel</strong> zu bleiben. Alternativ kann<br />
<strong>Spiel</strong>er 1 auch passen <strong>und</strong> verliert den Betrag B.<br />
Wenn <strong>Spiel</strong>er 1 jedoch checkt, stehen <strong>Spiel</strong>er 2 zwei Alternativen bereit,<br />
nämlich e<strong>in</strong> bet o<strong>der</strong> check. Wenn Letzteres e<strong>in</strong>tritt, kommt es zum sofortigem<br />
Vergleich <strong>der</strong> Karten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er, woh<strong>in</strong>gegen bei e<strong>in</strong>em bet <strong>Spiel</strong>er 1 wie<strong>der</strong><br />
am Zug wäre. Es stehen dem <strong>Spiel</strong>er 1 dann drei Aktionen zur Auswahl,<br />
nämlich call, fold o<strong>der</strong> raise. Wenn <strong>Spiel</strong>er 1 <strong>in</strong> diesem Fall beschließt zu<br />
erhöhen, ersche<strong>in</strong>t das e<strong>in</strong>geleitete Phänomen des Sandbagg<strong>in</strong>g <strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>er 2<br />
muss hierauf mit e<strong>in</strong>em fold o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>em call antworten. Der <strong>Spiel</strong>er 1 hätte es<br />
dann nach se<strong>in</strong>em anfänglichem check geschafft, bei <strong>Spiel</strong>er 2 e<strong>in</strong>en<br />
schwachen E<strong>in</strong>druck zu erwecken <strong>und</strong> e<strong>in</strong> bet zu provozieren. Somit gew<strong>in</strong>nt<br />
er im Endeffekt mehr als wenn er gleich gesetzt hätte <strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>er 2 gleich<br />
ausgestiegen wäre.<br />
Abbildung 7: <strong>Spiel</strong>baum für die dritte Erweiterung<br />
Die Wahl <strong>der</strong> optimalen Strategien erfolgt nach demselben Pr<strong>in</strong>zip wie <strong>in</strong> den<br />
an<strong>der</strong>en Erweiterungen, nur dass dieses Modell den höchsten Grad an<br />
17
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Komplexität aufweist <strong>und</strong> den <strong>Spiel</strong>er e<strong>in</strong>e größere Vielfalt an Strategien zur<br />
Verfügung stehen. Die Anzahl <strong>der</strong> Schwellenwerte hat sich im Vergleich zu<br />
den ersten beiden Erweiterungen verdoppelt <strong>und</strong> beträgt 12. Der<br />
Zusammenhang zwischen diesen Werten <strong>und</strong> den Strategien wird <strong>in</strong> dem<br />
Indifferenzsystem deutlich:<br />
Abbildung 8: Indifferenzsystem <strong>der</strong> dritten Erweiterung<br />
Die optimalen Strategien lauten für <strong>Spiel</strong>er 1 bet-fold, wenn X < a <strong>und</strong> d < X <<br />
e, <strong>und</strong> check-raise, wenn b < X < c <strong>und</strong> f < X < 1. Dies bedeutet, dass<br />
Sandbagg<strong>in</strong>g nicht immer nur auf e<strong>in</strong>er starken Hand beruht, son<strong>der</strong>n <strong>in</strong><br />
gewissen Fällen auch als Bluff gesehen werden kann (b < X < c). Man will den<br />
E<strong>in</strong>druck erwecken e<strong>in</strong>e sehr starke Hand zurückhaltend zu spielen, hält <strong>in</strong><br />
Wirklichkeit aber e<strong>in</strong>e mittelstarke Hand. Im Gegensatz zu e<strong>in</strong>em puren Bluff<br />
ist die Hand des <strong>Spiel</strong>ers hier aber nicht so schwach. Ansonsten spielt <strong>Spiel</strong>er 1<br />
check-fold, wenn a < X < b, check-call, wenn c < X < d, bet-fold, wenn d < X<br />
< e, <strong>und</strong> bet-call, wenn e < X < f.<br />
Der zweite <strong>Spiel</strong>er h<strong>in</strong>gegen wählt se<strong>in</strong>e optimalen Strategien abhängig davon,<br />
was <strong>der</strong> erste <strong>Spiel</strong>zug des <strong>Spiel</strong>ers 1 ist. Wenn <strong>Spiel</strong>er 1 checkt, so ist e<strong>in</strong> bet-<br />
fold optimal, wenn Y < g <strong>und</strong> h < Y < j. Bei g < Y < h sollte er ebenfalls<br />
checken, woh<strong>in</strong>gegen e<strong>in</strong> bet-call optimal wäre, wenn j < Y < 1. Sollte <strong>Spiel</strong>er<br />
18
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
1 jedoch setzen, ergeben sich an<strong>der</strong>e optimale Strategien für <strong>Spiel</strong>er 2. E<strong>in</strong> fold<br />
wäre optimal, wenn Y < k, <strong>und</strong> e<strong>in</strong> call, wenn m < Y < n. Der <strong>Spiel</strong>er 2 sollte<br />
erhöhen, wenn k < Y < m <strong>und</strong> n < Y < 1. Der Bereich k < Y < m ist ebenso als<br />
Bluff-Zone verstehen, wo ähnlich wie bei <strong>Spiel</strong>er 1 erhöht wird, ohne dass e<strong>in</strong>e<br />
sehr starke Hand dah<strong>in</strong>ter steckt.<br />
Durch Lösung des Indifferenzsystems ergeben sich folgende Schwellenwerte: 25<br />
a = 8, g = 20, b = 77, c = 80, h = 110, d = 128, j = 130, f = 144,<br />
3.2 Probabilistischer Ansatz<br />
k = 75, m = 80, e = 136, n = 140.<br />
E<strong>in</strong> weitaus realistischerer Aspekt <strong>der</strong> Bildung von <strong>Poker</strong>-Strategien ist jener,<br />
<strong>der</strong> Entscheidungen <strong>in</strong> <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>en auf Basis von Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten <strong>und</strong><br />
den damit resultierenden Erwartungswerten verknüpft. Aus dieser Motivation<br />
entstanden anfänglich Ansätze zu <strong>Poker</strong>-Strategien, bei welchen beson<strong>der</strong>s die<br />
Pot-Odds o<strong>der</strong> die Implied Odds im Mittelpunkt <strong>der</strong> Strategie standen. Diese<br />
Strategien bieten zwar den Vorteil, dass sie <strong>in</strong> je<strong>der</strong> Situation anwendbar s<strong>in</strong>d<br />
<strong>und</strong> Entscheidungshilfen darstellen, welche die S<strong>in</strong>nhaftigkeit e<strong>in</strong>er Aktion <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e auf re<strong>in</strong> probabilistischer Ebene prüfen. Jedoch ist an diesen<br />
Strategien zu bemängeln, dass sie sehr e<strong>in</strong>dimensional gerichtet s<strong>in</strong>d <strong>und</strong> die<br />
Gegner <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e <strong>in</strong> <strong>der</strong> Strategiebildung völlig außer Acht lassen.<br />
Auf dem Forschungsgebiet <strong>der</strong> künstlichen Intelligenz sticht <strong>Poker</strong> aufgr<strong>und</strong><br />
<strong>der</strong> Eigenschaften des <strong>Spiel</strong>es, allen voran die asymmetrische<br />
Informationsstruktur unter den <strong>Spiel</strong>ern, beson<strong>der</strong>s hervor <strong>und</strong> stellte <strong>in</strong><br />
Anbetracht <strong>der</strong> Modellierung e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>-Strategie e<strong>in</strong>e Herausfor<strong>der</strong>ung dar.<br />
Die Entwicklung <strong>und</strong> Modellierung e<strong>in</strong>er Strategie sollte im Wesentlichen die<br />
kognitiven Prozesse e<strong>in</strong>es <strong>Poker</strong>spielers abbilden, was e<strong>in</strong>e weitaus<br />
komplexere Strategie implizierte. Die neu entwickelten Strategien umfassten<br />
mehr Dimensionen als die ersten Ansätze <strong>und</strong> wurden anhand verschiedener<br />
<strong>Poker</strong>-Programme implementiert <strong>und</strong> getestet. Das wohl bekannteste<br />
25 B=2, R=6 <strong>und</strong> 2 als Summe <strong>der</strong> antes. Alle Werte s<strong>in</strong>d durch 150 zu dividieren.<br />
19
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
<strong>Poker</strong>programm nennt sich Poki, wessen Struktur <strong>in</strong> diesem Kapitel noch<br />
detaillierter vorgestellt werden soll. 26<br />
3.2.1 Pot-Odds <strong>und</strong> Setzkurven<br />
E<strong>in</strong>e sehr e<strong>in</strong>fache <strong>und</strong> leicht zu handhabende Strategie lässt sich auf Basis <strong>der</strong><br />
sog. Pot-Odds herleiten, welche sich <strong>in</strong>sb. auf call-Situationen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
<strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e anwenden lassen. Die Pot-Odds beschreiben das Verhältnis e<strong>in</strong>es<br />
zu setzenden Betrages um im <strong>Spiel</strong> zu bleiben mit <strong>der</strong> aktuellen Größe des<br />
Pots. Wenn die eigene Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit über den Pot-Odds liegt, ist<br />
e<strong>in</strong> call lohnend, da man im Mittel mehr gew<strong>in</strong>nt als man durch E<strong>in</strong>sätze<br />
verliert. Umgekehrt sollte e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er passen, wenn er se<strong>in</strong>e<br />
Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit schlechter als die Pot-Odds e<strong>in</strong>schätzt. 27<br />
Um hieraus e<strong>in</strong>e Verhaltensstrategie des <strong>Spiel</strong>ers abzuleiten, ist es notwendig,<br />
e<strong>in</strong>e Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit zu f<strong>in</strong>den, bei dem <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong>different<br />
zwischen e<strong>in</strong>em fold <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em call ist. In dem Fall entsprechen die Pot-Odds<br />
genau <strong>der</strong> Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers.<br />
Zunächst sollen die Pot-Odds genauer formalisiert werden, um h<strong>in</strong>terher genau<br />
diesen Schwellenwert zu berechnen. Es seien noch (n – 1) Gegner im <strong>Spiel</strong><br />
s<strong>in</strong>d <strong>und</strong> es koste k, um <strong>in</strong> den Showdown zu kommen. Die aktuelle Potgröße<br />
betrage c. Ferner ist noch zu beachten, dass k nicht für alle <strong>Spiel</strong>er gleich ist,<br />
da e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong> <strong>der</strong> R<strong>und</strong>e angefangen hat zu setzen (um den Betrag u) <strong>und</strong><br />
demnach für die nachfolgenden <strong>Spiel</strong>er das Erreichen des Showdowns<br />
m<strong>in</strong>destens um diesen Betrag u höher ausfällt. Wenn man weiterh<strong>in</strong> annimmt,<br />
dass <strong>der</strong> Entscheidungsträger e<strong>in</strong>e mittlere Position e<strong>in</strong>nimmt, so folgt für die<br />
Pot-Odds:<br />
k<br />
Pot � Odds �<br />
(19).<br />
( n �1)<br />
c � ( n �1)<br />
k � u<br />
2<br />
Für u = 1 <strong>und</strong> n = 2 lässt sich die Gleichung vere<strong>in</strong>fachen <strong>und</strong> wenn man weiter<br />
annimmt, dass die gr<strong>und</strong>sätzliche Entscheidung e<strong>in</strong> call o<strong>der</strong> fold betrifft <strong>und</strong><br />
e<strong>in</strong> bet nicht speziell mit e<strong>in</strong>bezieht, so folgt für die modifizierten Pot-Odds:<br />
26 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 201 f.<br />
27 Vgl. Sklansky (2004), S.22 f. <strong>und</strong> Bill<strong>in</strong>gs et al. (1998), S. 4.<br />
20
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
k<br />
Pot � Odds �<br />
(20).<br />
c � k �1<br />
Der nächste Schritt liegt dar<strong>in</strong>, e<strong>in</strong>e Schwellenwahrsche<strong>in</strong>lichkeit zu def<strong>in</strong>ieren,<br />
an <strong>der</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong>different zwischen e<strong>in</strong>em fold <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em call ist. Sei θ die<br />
Schwellenwahrsche<strong>in</strong>lichkeit, dann liegt folgende Beziehung vor:<br />
Pot � Odds<br />
k<br />
� �<br />
� � �<br />
(21).<br />
1� Pot � Odds c � 2k<br />
�1<br />
Um hieraus Informationen für e<strong>in</strong>e Verhaltensstrategie für e<strong>in</strong>en <strong>Spiel</strong>er zu<br />
gew<strong>in</strong>nen, muss je<strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e eigene Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
e<strong>in</strong>schätzen können, um durch e<strong>in</strong>en Vergleich mit θ Handlungsnormen<br />
abzuleiten. 28 Intuitiv <strong>und</strong> auf den Ergebnissen des letzten Teilkapitels basierend<br />
ist zu erwarten, dass Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeiten welche den Schwellenwert<br />
überschreiten zu Bets <strong>und</strong> Erhöhungen führen <strong>und</strong> sehr niedrige<br />
Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeiten zu Enthaltung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e. Um jedoch<br />
nicht zu berechenbar zu se<strong>in</strong>, sollten Abweichungen von dieser Faustregel<br />
erwünscht se<strong>in</strong>. Das Setzverhalten sollte demnach auch zu e<strong>in</strong>em kle<strong>in</strong>en Teil<br />
zufällig <strong>und</strong> unabhängig von <strong>der</strong> Starthand se<strong>in</strong>, um als <strong>Spiel</strong>er nicht zu<br />
berechenbar für die Gegner zu se<strong>in</strong>. Wenn man d als Distanz zwischen <strong>der</strong><br />
eigenen Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit <strong>und</strong> dem Schwellenwert θ def<strong>in</strong>iert, so<br />
ergeben sich folgende Verhaltensstrategien für den <strong>Spiel</strong>er:<br />
1<br />
1�<br />
e<br />
P( bet / raise)<br />
�8(<br />
d � f<br />
P( fold ) 8(<br />
d � f<br />
� (22)<br />
1�<br />
e<br />
1<br />
f<br />
b<br />
)<br />
� (23)<br />
�20(<br />
d � f c e<br />
P(<br />
call ) � (24).<br />
2<br />
Wenn ke<strong>in</strong>e weiteren Setzr<strong>und</strong>en mehr ausstehen <strong>und</strong> man sich <strong>in</strong> <strong>der</strong> f<strong>in</strong>alen<br />
Setzr<strong>und</strong>e kurz vor dem Showdown bef<strong>in</strong>det, so lassen sich die<br />
Verhaltensstrategien auch grafisch abbilden <strong>und</strong> sogar auf typspezifisches<br />
28<br />
Die genaue Ermittlung <strong>der</strong> eigenen Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit soll im nächsten Teilkapitel<br />
erläutert werden <strong>und</strong> wird hier noch als gegeben angesehen.<br />
21<br />
2<br />
)<br />
)
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
<strong>Poker</strong>verhalten (aggressiv vs. konservativ) anwenden. Die abhängige Variable<br />
ist hier die absolute Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>er Aktion, wobei die unabhängige<br />
Variable die Distanz d ist, e<strong>in</strong> Maß für die Attraktivität <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e. Der<br />
Parameter fi ist e<strong>in</strong>e spezifische Größe <strong>und</strong> ist für jede Kurve zu schätzen.<br />
Abbildung 9: Setzkurven für die f<strong>in</strong>ale Setzr<strong>und</strong>e<br />
(Quelle: Korb et al., 1999, S. 5)<br />
Da die call-Kurve l<strong>in</strong>ks vom Nullpunkt liegt, kann vermutet werden, dass die<br />
Schwellenwahrsche<strong>in</strong>lichkeit überschätzt wird. Weiterh<strong>in</strong> ist h<strong>in</strong>zuzufügen,<br />
dass durch e<strong>in</strong>e Verschiebung <strong>der</strong> fold-Kurve nach rechts <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er<br />
konservativer <strong>und</strong> bei Verschiebung <strong>der</strong> bet-Kurve nach l<strong>in</strong>ks <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er<br />
aggressiver agiert. Außerdem ist auch hier e<strong>in</strong>e Art Bluff<strong>in</strong>g-Zone evident,<br />
nämlich l<strong>in</strong>ks von dem Nullpunkt entlang <strong>der</strong> bet-Kurve. Dies liegt wohl <strong>der</strong><br />
Absicht zu Gr<strong>und</strong>e, auch manche Hände zufällig zu spielen, um als <strong>Spiel</strong>er<br />
unberechenbar zu se<strong>in</strong> bzw. zu bleiben. 29<br />
29 Vgl. Korb et al. (1999), S. 1-6.<br />
22
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
3.2.2 Die Struktur <strong>und</strong> Logik von Poki<br />
Wie e<strong>in</strong>leitend bereits erwähnt wurde, soll e<strong>in</strong>e weitaus komplexere <strong>Poker</strong>-<br />
Strategie entwickelt werden, welche die kognitiven Prozesse e<strong>in</strong>es <strong>Poker</strong>-<br />
<strong>Spiel</strong>ers modelliert. Diese Strategie basiert zum e<strong>in</strong>en natürlich auf<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten, weil Menschen diese <strong>in</strong> erster L<strong>in</strong>ie nutzen, um<br />
Entscheidungen unter Unsicherheit plausibel zu zerlegen <strong>und</strong> zu begründen.<br />
Auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite s<strong>in</strong>d Beobachtungen <strong>der</strong> Gegner e<strong>in</strong> elementarer Teil <strong>der</strong><br />
Strategie, welche primär zur Spezifikation <strong>der</strong> relevanten Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten<br />
genutzt werden, jedoch auch zur Aufdeckung kausaler Beziehungen zwischen<br />
Events <strong>und</strong> bestimmten Aktionen. 30<br />
Die entwickelte <strong>Poker</strong>-Strategie spiegelt sich <strong>in</strong> <strong>der</strong> Struktur des Programmes<br />
Poki wi<strong>der</strong> <strong>und</strong> wird <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Pre-Flop bzw. Post-Flop–Phase unterteilt. Das<br />
Programm abstrahiert demnach an <strong>der</strong> Phase <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e <strong>und</strong> entwickelt<br />
vone<strong>in</strong>an<strong>der</strong> unabhängige Strategien.<br />
3.2.2.1 Pre-Flop Strategie<br />
Diese Strategie richtet sich an die Phase vor <strong>der</strong> Austeilung <strong>der</strong> ersten<br />
Community Cards <strong>und</strong> ist im Gr<strong>und</strong>e abhängig von <strong>der</strong> Starthand e<strong>in</strong>es<br />
<strong>Spiel</strong>ers. Die typische Entscheidung im Pre-Flop betrifft die generelle<br />
Partizipation mit e<strong>in</strong>er gegebenen Hand. Die Stärke o<strong>der</strong> <strong>der</strong> Wert e<strong>in</strong>er<br />
Starthand wird als Income Rate (nachfolgend IR) bezeichnet <strong>und</strong> spiegelt den<br />
Erwartungswert e<strong>in</strong>er Hand vor dem Flop wi<strong>der</strong>. 31<br />
Die Messung dieses Erwartungswertes erfolgt auf Basis des All-<strong>in</strong> Equity, was<br />
bedeutet dass e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er vor dem Flop se<strong>in</strong>en gesamten Stack setzt <strong>und</strong> sich im<br />
Showdown mit allen aktiven <strong>Spiel</strong>ern misst. Da <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er die Hände <strong>der</strong><br />
Gegner nicht kennt, umfasst <strong>der</strong> Erwartungswert alle möglichen<br />
Komb<strong>in</strong>ationen <strong>der</strong> Hände <strong>der</strong> Gegner im Showdown mit <strong>der</strong> eigenen Hand.<br />
Zur Messung des Erwartungswertes wurden zwei Methoden angewandt,<br />
welche beide <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Art Rangfolge <strong>der</strong> Starthände mündeten. Die erste<br />
Methode (IR-10) war e<strong>in</strong>e Simulation <strong>der</strong> Starthände gegene<strong>in</strong>an<strong>der</strong> <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
R<strong>und</strong>e mit 10 <strong>Spiel</strong>ern <strong>und</strong> umfasste 50000 Simulationen <strong>der</strong> wichtigsten<br />
30 Vgl. Pearl (2006), S.1f.<br />
31 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (1998), S.3 <strong>und</strong> Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 210<br />
23
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Starthände. Als Resultat wurden diese Starthände <strong>in</strong> acht Gruppen unterteilt,<br />
wobei <strong>in</strong>nerhalb e<strong>in</strong>er Gruppe die Hände strategisch äquivalent s<strong>in</strong>d.<br />
Die zweite Methode (Iterated Roll-Out Simulations) war e<strong>in</strong>e Erweiterung <strong>der</strong><br />
ersten Methode mit dem Zusatz, dass e<strong>in</strong>e gedächtnisbasierte Komponente<br />
e<strong>in</strong>gefügt wurde <strong>und</strong> vorherige Entscheidungen die aktuellen Entscheidungen<br />
signifikant bee<strong>in</strong>flussen. So wurden bspw. Hände nicht mehr so häufig gespielt<br />
o<strong>der</strong> gepasst, wenn sie <strong>in</strong> den vorherigen Simulationen im Mittel Verluste<br />
e<strong>in</strong>brachten. Auf diese Weise reduzierte sich die Anzahl <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er am Tisch<br />
<strong>und</strong> implizit die Anzahl möglicher Komb<strong>in</strong>ationen <strong>der</strong> Hände <strong>der</strong> Gegner, da<br />
immer mehr Hände aus Lerneffekten nicht mehr gespielt wurden. Die<br />
Situationen wurden 500000-mal simuliert. Als Resultat ergibt sich folgendes<br />
Rank<strong>in</strong>g <strong>der</strong> Starthände 32 :<br />
Tabelle 1: Rank<strong>in</strong>g <strong>der</strong> Starthände nach Bill<strong>in</strong>gs et al.<br />
(Quelle: Bill<strong>in</strong>gs et al., 2002, S. 214); o = off-suit s = suited * = Pocket Pair<br />
3.2.2.2 Post-Flop Strategie<br />
Bei dem zweiten Teil <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>-Strategie steht die Phase nach dem Flop im<br />
Mittelpunkt <strong>und</strong> die Entwicklung e<strong>in</strong>er passenden Strategie vollzieht sich<br />
32 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 210-214.<br />
24
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
gr<strong>und</strong>sätzlich <strong>in</strong> drei Schritten. Zuerst wird die effektive Stärke e<strong>in</strong>er Starthand<br />
(EHS) nach dem Flop kalkuliert <strong>und</strong> h<strong>in</strong>terher e<strong>in</strong>e Art Aktionstriple bestimmt,<br />
welche den Handlungsalternativen (fold, call, raise) des <strong>Spiel</strong>ers jeweils e<strong>in</strong>e<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit zuordnet. Auf Basis <strong>der</strong> EHS wird die E<strong>in</strong>trittsfrequenz <strong>der</strong><br />
drei Aktionen (fold, call, raise) reguliert <strong>und</strong> bestimmt. Zuletzt wird e<strong>in</strong>e<br />
Aktion aus dem Triple relativ zufällig gewählt, um die Unvorhersehbarkeit des<br />
Programmes o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers zu för<strong>der</strong>n. Hierbei ist noch zu erwähnen, dass<br />
zuvor als unrealistisch bewertete Aktionen von dieser Zufallswahl nicht<br />
betroffen s<strong>in</strong>d. 33 Zudem rückt die Modellierung des Gegners <strong>in</strong> den Fokus, um<br />
im Idealfall Prognosen über <strong>der</strong>en Verhalten zu bilden <strong>und</strong> bestimmte<br />
Verhaltensmuster aus <strong>der</strong> Vergangenheit <strong>in</strong> die Bildung <strong>der</strong> Prognosen stark<br />
mit e<strong>in</strong>zubeziehen. Die Orientierung an den Gegnern dient beson<strong>der</strong>s dazu<br />
Schwächen des Gegners zu erkennen <strong>und</strong> auszunutzen. 34<br />
Der erste Schritt <strong>in</strong> <strong>der</strong> Post-Flop Strategie ist die Kalkulation <strong>der</strong> EHS, welche<br />
die aktuelle Stärke e<strong>in</strong>er Hand mit <strong>der</strong>en Entwicklungspotential verknüpft, um<br />
hieraus e<strong>in</strong> Aktionstriple des <strong>Spiel</strong>ers abzuleiten. Die EHS wird demnach aus<br />
zwei Komponenten gebildet, nämlich aus <strong>der</strong> Handstärke (HS) <strong>und</strong> dem<br />
Handpotential (PPot <strong>und</strong> NPot). Die HS bildet die Stärke e<strong>in</strong>er Hand <strong>in</strong><br />
Relation zu allen an<strong>der</strong>en Händen am Tisch ab.<br />
Nach dem Flop steigt <strong>der</strong> Informationsstand e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers, da drei weitere<br />
Karten im Flop aufgedeckt werden. Der <strong>Spiel</strong>er kennt se<strong>in</strong>e eigenen Karten,<br />
womit 47 Karten im Deck verbleiben, aus denen die verbleibenden Gegnern<br />
möglicherweise e<strong>in</strong>e Hand halten. 35 Die HS wird bei gegebenem Flop ermittelt,<br />
<strong>in</strong>dem alle möglichen Hände <strong>der</strong> Gegner mit <strong>der</strong> eigenen Hand verglichen<br />
werden. Wenn <strong>in</strong> diesen Vergleichen e<strong>in</strong>e Hand des Gegners genauso stark ist<br />
wie die eigene wird sie mit 0,5 <strong>und</strong> wenn die eigene Hand <strong>der</strong> Favorit ist mit<br />
1,0 gewichtet. Diese Fälle werden aufsummiert <strong>und</strong> durch die Gesamtzahl <strong>der</strong><br />
möglichen Hände des Gegners geteilt.<br />
Als Ergebnis erhält man e<strong>in</strong>e Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit, dass die eigene Hand besser<br />
ist als e<strong>in</strong>e Zufallshand. Diese Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit nennt man HS <strong>und</strong> kann an<br />
die Zahl <strong>der</strong> verbleibenden Gegner am Tisch angepasst werden. Je mehr<br />
33<br />
Dies liegt dann vor, wenn im Aktionstriple die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit 0 e<strong>in</strong>er Aktion zugeordnet<br />
wurde <strong>und</strong> wäre bspw. <strong>der</strong> Fall wenn man e<strong>in</strong>e starke Hand hält <strong>und</strong> e<strong>in</strong> fold bewertet wird.<br />
34<br />
Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 214-227.<br />
35<br />
Damit ergeben sich 1081 mögliche Hände für den bzw. die Gegner.<br />
25
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Gegner am Tisch sitzen, desto niedriger die eigene Handstärke. Das Programm<br />
berücksichtigt diesen Aspekt, <strong>in</strong>dem die HS abhängig von <strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong><br />
Gegner auf potenziert wird. Wenn i Gegner im <strong>Spiel</strong> s<strong>in</strong>d, folgt dann für die<br />
HSi = HS i . 36<br />
Die an<strong>der</strong>e Komponente für die EHS ist das Handpotential, welche sowohl<br />
negativ (NPot) als auch positiv (PPot) se<strong>in</strong> kann. Im ersten Fall drückt NPot die<br />
Gefahr aus, dass man die beste Hand nach dem Flop hält <strong>und</strong> am Ende verliert.<br />
Dies wäre bspw. <strong>der</strong> Fall wenn man nach dem Flop zwar das höchste Paar hält,<br />
das Board trotzdem relativ gefährlich ist, weil die Möglichkeit e<strong>in</strong>es Flushes<br />
o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>er Straight besteht. In diesem Fällen fehlt dem Gegner womöglich nur<br />
e<strong>in</strong>e Karte zu e<strong>in</strong>er sehr starken Hand. Die an<strong>der</strong>e Möglichkeit PPot bildet im<br />
Wesentlichen den umgekehrten Fall ab <strong>und</strong> ist für das Setzverhalten<br />
<strong>in</strong>teressanter, da man <strong>in</strong> <strong>der</strong> Regel setzt wenn man die aktuell beste Hand hält<br />
unabhängig vom NPot.<br />
Die Kalkulation des PPot bzw. NPot erfolgt ähnlich wie bei <strong>der</strong> HS, <strong>in</strong>dem<br />
man dem Gegner alle möglichen Hände unterstellt <strong>und</strong> die relevanten Fälle<br />
aufsummiert. Der entscheidende Unterschied hierzu ist, dass man ebenfalls alle<br />
möglichen zukünftigen Karten auf dem Turn <strong>und</strong> River <strong>in</strong> die Kalkulation <strong>und</strong><br />
die Summierung möglicher positiver bzw. neutraler Szenarien <strong>in</strong>tegriert. Das<br />
positive Handpotential ergibt sich demnach als Anteil <strong>der</strong> Szenarien <strong>in</strong> denen<br />
sich die eigene Hand noch zur besten Hand entwickelt <strong>in</strong> Relation zu allen<br />
Szenarien <strong>in</strong> denen die eigene Hand nach dem Flop nicht die beste ist. Formal<br />
nimmt die Bestimmung <strong>der</strong> EHS folgende Gestalt an: 37<br />
n<br />
n<br />
EHS � HS � ( 1�<br />
HS ) PPot<br />
(25).<br />
Die Kalkulation <strong>der</strong> EHS kann jedoch weiter verbessert <strong>und</strong> vere<strong>in</strong>facht<br />
werden, wenn man <strong>in</strong> Betracht zieht, dass nach dem Flop nicht jede mögliche<br />
Hand gleich gewichtet wird. Das liegt <strong>der</strong> Annahme zu Gr<strong>und</strong>e, dass stärkere<br />
Hände von e<strong>in</strong>em <strong>Spiel</strong>er eher gespielt werden als schwache Hände. Manche<br />
Hände sollten nach dem Flop ausgeschlossen werden <strong>und</strong> damit die<br />
Kalkulation <strong>der</strong> Entscheidungsvariablen vere<strong>in</strong>fachen, da sich die Menge<br />
36 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 215 <strong>und</strong> Bill<strong>in</strong>gs et al. (1998), S. 3.<br />
37 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 216-218.<br />
26
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
möglicher Hände durch Ausschluss reduziert. Das Programm implementiert<br />
diese Absicht, <strong>in</strong>dem sie mögliche Hände des Gegners unterschiedlich<br />
gewichtet. Diese Gewichtung erfolgt <strong>in</strong>dividuell nach dem Gegner, auf Basis<br />
<strong>der</strong> Setzhistorie <strong>der</strong> Gegner <strong>und</strong> resultiert <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Gewichtungstabelle für die<br />
möglichen Hände je nach Gegner. Diese Tabelle wird stetig aktualisiert <strong>und</strong><br />
reagiert auf Abweichungen des erwarteten Verhaltens des Gegners. Dadurch<br />
werden diese Gewichtungstabellen je nach Gegner <strong>in</strong>dividualisiert. Grafisch<br />
lassen sich die Tabellen wie folgt abbilden:<br />
Abbildung 10: Gewichtungstabellen für e<strong>in</strong>e Aktion des Gegners im Pre-Flop<br />
(Quelle: Davidson, 2002, S. 26); Fold (l<strong>in</strong>ks), Call (mitte), Raise (rechts)<br />
Abbildung 11: Dynamische Gewichtungstabellen für e<strong>in</strong>en Gegner<br />
(Quelle: Bill<strong>in</strong>gs et al., 2002, S. 219)<br />
In diesem Beispiel e<strong>in</strong>er Gewichtungstabelle s<strong>in</strong>d die Pocket-Pairs <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
Hauptdiagonale <strong>und</strong> oberhalb jener bef<strong>in</strong>den sich alle suited Komb<strong>in</strong>ationen<br />
<strong>der</strong> Starthände. Die etwas dunkleren Zellen stehen für höhere Gewichte <strong>und</strong> die<br />
27
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
hellen Zellen für Hände, die dem Gegner nicht zugetraut werden <strong>und</strong> a-priori<br />
ausgeschlossen werden.<br />
Die Abbildung 11 bezieht sich auf e<strong>in</strong> Beispiel, <strong>in</strong> dem <strong>der</strong> Gegner <strong>in</strong> <strong>der</strong> Pre-<br />
Flop Phase zunächst callt. Daraufh<strong>in</strong> werden bestimmte Hände gänzlich<br />
ausgeschlossen, an<strong>der</strong>e Hände wie<strong>der</strong>rum für sehr wahrsche<strong>in</strong>lich gehalten.<br />
Nach dem Flop (Q 7 4) setzt <strong>der</strong> Gegner, woraufh<strong>in</strong> sich die Menge<br />
wahrsche<strong>in</strong>licher Hände reduziert. Das Programm erwartet demnach, dass <strong>der</strong><br />
Gegner sehr wahrsche<strong>in</strong>lich m<strong>in</strong>destens e<strong>in</strong> mittleres Paar, zwei Paare o<strong>der</strong><br />
e<strong>in</strong>en Drill<strong>in</strong>g hält. Ebenfalls hält es das höchste Paar <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e Vielzahl von<br />
hohen suited Karten für sehr wahrsche<strong>in</strong>lich. Aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Zurückhaltung vor<br />
dem Flop käme ebenfalls e<strong>in</strong> hohes Paar <strong>in</strong> Frage, welches mit off-suited<br />
Karten gebildet wurde. Nachdem auf dem Turn (5) wie<strong>der</strong> gesetzt wurde <strong>und</strong><br />
e<strong>in</strong>e eigene Erhöhung vom Gegner nur gecallt wurde, wurde von beiden<br />
<strong>Spiel</strong>ern auf dem River (5) nur gecheckt. Nachdem dem River än<strong>der</strong>n sich die<br />
Erwartungen über den Gegner nur marg<strong>in</strong>al. Es werden ihm weiterh<strong>in</strong> gute<br />
Hände zugeschrieben <strong>und</strong> die Möglichkeit des Slowplay<strong>in</strong>g nicht außer Acht<br />
gelassen. Da <strong>in</strong> dem Beispiel <strong>der</strong> Gegner <strong>in</strong> früherer Position sitzt, wurde vom<br />
Programm gecheckt, um ihm ggf. nicht <strong>in</strong> die Falle zu laufen. Am<br />
wahrsche<strong>in</strong>lichsten ersche<strong>in</strong>en nun suited Karten mit e<strong>in</strong>em mittleren Paar <strong>und</strong><br />
e<strong>in</strong>em hohen Kicker o<strong>der</strong> das höchste Paar mit e<strong>in</strong>em mäßigen Kicker. Die<br />
Gewichtungstabellen beziehen sich auf e<strong>in</strong>en Gegner, <strong>in</strong> <strong>der</strong> Beispielr<strong>und</strong>e<br />
heißt <strong>der</strong> Gegner EP. Die Setzhistorie <strong>der</strong> Beispielr<strong>und</strong>e sei wie folgt:<br />
Abbildung 12: Setzhistorie <strong>der</strong> Beispielr<strong>und</strong>e<br />
28
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
( Quelle: Bill<strong>in</strong>gs et al., 2002, S. 220); eigene Hand 6-7s<br />
Die Aktionstriple ergeben sich als Resultat <strong>der</strong> vorherigen Analyse. Sie stellen<br />
e<strong>in</strong>e Art Entscheidungshilfe <strong>und</strong> Variationsparameter <strong>der</strong> eigenen <strong>Spiel</strong>weise<br />
dar. Das Aktionstriple weist je<strong>der</strong> Aktion (fold, call, raise) e<strong>in</strong>e<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit zu <strong>und</strong> ist äquivalent zu e<strong>in</strong>er gemischten Strategie aus<br />
dem spieltheoretischen Ansatz. Das Programm Poki wählt bei je<strong>der</strong><br />
Entscheidung die Aktion welche den höchsten Erwartungswert generiert <strong>und</strong><br />
betrachtet die Szenarien, welche am ehesten auftreten.<br />
Um diese Szenarien möglichst genau zu beschreiben, um auf dessen Basis<br />
Entscheidungen zu fällen, ist e<strong>in</strong>e gute Kenntnis <strong>der</strong> Gegner vonnöten.<br />
Vielmehr sollte man im Stande se<strong>in</strong>, das Verhalten des Gegners zu<br />
prognostizieren <strong>und</strong> sie zu modellieren (Opponent Modell<strong>in</strong>g). Hier werden<br />
ähnlich wie bei <strong>der</strong> eigenen Strategie Aktionstriple für den Gegner geschätzt.<br />
Das primäre Ziel hierbei ist es, Schwächen des Gegners aufzudecken <strong>und</strong><br />
auszunutzen. E<strong>in</strong>e beson<strong>der</strong>e Schwäche des Gegners könnte z. B. e<strong>in</strong>e zu<br />
e<strong>in</strong>seitige <strong>Spiel</strong>weise se<strong>in</strong>, bei dem jede Erhöhung e<strong>in</strong>e starke Hand <strong>und</strong> jedes<br />
fold e<strong>in</strong>e schwache Hand impliziert. Im Gegensatz zu Brettspielen mit<br />
vollständiger Information muss man sich beim <strong>Poker</strong> dem Gegner widmen um<br />
se<strong>in</strong>e Schwächen zu entdecken, da er sonst im “Dunkeln“ Fehler begehen kann,<br />
ohne dass man Information über se<strong>in</strong>e Schwächen erlangt. Die<br />
Informationsbeschaffung über den Gegner ist im <strong>Poker</strong> relativ komplex <strong>und</strong><br />
erfolgt auf Basis limitierter Beobachtungen. Die Beobachtungen s<strong>in</strong>d nämlich<br />
dar<strong>in</strong> begrenzt, dass nur aufgedeckte Hände im Showdown valide Information<br />
über den Gegner liefern (Selection Bias). 38<br />
Die Modellierung des Gegners kann auf verschiedene Arten erfolgen. Zum<br />
e<strong>in</strong>en kann man se<strong>in</strong>e eigene Strategie auf den Gegner übertragen <strong>und</strong><br />
Prognosen über se<strong>in</strong> Verhalten fällen. In diesem Ansatz wird dem Gegner e<strong>in</strong>e<br />
gewisse Rationalität unterstellt, nach <strong>der</strong> er se<strong>in</strong> Handeln beurteilt <strong>und</strong> <strong>in</strong> die<br />
Praxis umsetzt. E<strong>in</strong> an<strong>der</strong>er Ansatz wäre dem Gegner e<strong>in</strong>e<br />
vergangenheitsbasierte Strategie zu unterstellen <strong>und</strong> anzunehmen, dass er sich<br />
nicht gerade durch Variabilität <strong>in</strong> se<strong>in</strong>em <strong>Spiel</strong> auszeichnet. Demnach verläuft<br />
38 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 218-223 <strong>und</strong> Korb et al. (1999), S.4.<br />
29
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
die Prognose über se<strong>in</strong> Verhalten <strong>in</strong> dieselbe Richtung, wie er sich zuvor <strong>in</strong><br />
ähnlichen Situationen <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vergangenheit verhalten hat. 39<br />
E<strong>in</strong> weitaus komplexerer Ansatz zur Modellierung des Gegners greift auf die<br />
Idee neuronaler Netzwerke zurück. E<strong>in</strong> neuronales Netzwerk besteht aus Input-<br />
Knoten, welche mit <strong>in</strong>ternen Knoten verb<strong>und</strong>en s<strong>in</strong>d. Diese <strong>in</strong>ternen o<strong>der</strong><br />
versteckten Knoten wie<strong>der</strong>rum s<strong>in</strong>d mit den Output-Knoten verb<strong>und</strong>en, die<br />
schließlich für die Prognose über das Verhalten des Gegners zuständig s<strong>in</strong>d.<br />
Die Input-Knoten be<strong>in</strong>halten für die Entscheidungsf<strong>in</strong>dung wichtige<br />
Informationen über das aktuelle <strong>Spiel</strong>geschehen <strong>und</strong> können als Menge<br />
unabhängiger Variablen gesehen werden. Die Ausprägung dieser Input-Knoten<br />
determ<strong>in</strong>iert h<strong>in</strong>terher das Aktionstriple des Gegners, wobei <strong>in</strong> diesem Ansatz<br />
jede e<strong>in</strong>zelne Aktion (fold, call, raise) als eigenständiger Knoten abgebildet<br />
wird. Ferner ist zu berücksichtigen, dass nicht alle Input-Knoten denselben<br />
E<strong>in</strong>fluss auf die Outputs haben. Als Ergebnis <strong>der</strong> Verwendung <strong>der</strong> neuronalen<br />
Netzwerke lässt sich die aktuell wahrsche<strong>in</strong>lichste Aktion des Gegners<br />
prognostizieren. 40 E<strong>in</strong> neuronales Netzwerk mit möglichen Inputs sieht<br />
grafisch wie folgt aus:<br />
Tabelle 2: Input-Knoten des neuronalen Netzwerkes<br />
(Quelle: Davidson, 2002, S.42)<br />
39 Vgl. Davidson (2002), S. 37f <strong>und</strong> Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 224f.<br />
40 Vgl. Rohwer & Salim (2005), S. 1-3 <strong>und</strong> Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 226 f.<br />
30
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Die Input-Knoten weisen zwei verschiedene Typen auf, welche sich dadurch<br />
unterscheiden, dass sie entwe<strong>der</strong> berechnet werden können (“real“) o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>e<br />
B<strong>in</strong>ärvariable darstellen, welche entwe<strong>der</strong> den Wert 0 o<strong>der</strong> 1 annimmt<br />
(“boolean“).<br />
Das resultierende Netzwerk verb<strong>in</strong>det In- <strong>und</strong> Output <strong>und</strong> die Stärke des<br />
E<strong>in</strong>flusses ist durch die Breite <strong>der</strong> L<strong>in</strong>ie dargestellt. Die schwarzen L<strong>in</strong>ien<br />
stehen für e<strong>in</strong>en positiven Zusammenhang <strong>und</strong> die grauen L<strong>in</strong>ien für e<strong>in</strong>en<br />
negativen Zusammenhang zwischen In- <strong>und</strong> Output. Sowohl <strong>in</strong> den Input- als<br />
auch <strong>in</strong> den Output-Knoten steht die Farbe Weiß für ke<strong>in</strong>e bis ger<strong>in</strong>ge<br />
Aktivierung <strong>und</strong> die Farbe Schwarz für e<strong>in</strong>e hohe Aktivierung. Dies lässt sich<br />
am besten an den Input-Knoten verdeutlichen, welche zum Teil B<strong>in</strong>ärvariablen<br />
<strong>in</strong>nehaben.<br />
Abbildung 13: Beispiel e<strong>in</strong>es neuronalen Netzwerkes zur Modellierung des<br />
Gegners<br />
(Quelle: Davidson, 2002, S.42)<br />
Im obigen Beispiel e<strong>in</strong>es neuronalen Netzwerkes bef<strong>in</strong>det sich die <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e<br />
auf dem Turn (Knoten 5) <strong>und</strong> es wird e<strong>in</strong>er Erhöhung des Gegners e<strong>in</strong>e hohe<br />
31
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit beigemessen. Außerdem wird e<strong>in</strong> check o<strong>der</strong> call des<br />
Gegners nicht komplett ausgeschlossen. Ausschlaggebend hierfür s<strong>in</strong>d zum<br />
e<strong>in</strong>en beson<strong>der</strong>s die vorherige Erhöhung (Knoten 8) <strong>und</strong> zum an<strong>der</strong>en die gute<br />
Position des Gegners am Tisch (Knoten 12), da er letzte die letzte Position hat.<br />
3.3 Rationales Bluff<strong>in</strong>g<br />
In diesem Teilkapitel soll die Rolle des Bluff<strong>in</strong>g als elementarer Teil e<strong>in</strong>er<br />
<strong>Poker</strong>strategie verdeutlicht werden. Ferner sollen die bereits aus den<br />
vorherigen Teilkapiteln stammenden Ergebnisse nochmal aufgegriffen <strong>und</strong><br />
erläutert werden, aus welcher Motivation heraus Bluff<strong>in</strong>g entstehen kann.<br />
Abschließend soll auf mögliche Grenzen e<strong>in</strong>gegangen werden.<br />
Der Begriff des Bluff<strong>in</strong>g beschreibt die Absicht e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
<strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e den E<strong>in</strong>druck zu erwecken e<strong>in</strong>e Hand zu halten, die er jedoch <strong>in</strong><br />
Wirklichkeit nicht hält. Der <strong>Spiel</strong>er versucht durch se<strong>in</strong> Setzverhalten über<br />
se<strong>in</strong>e wahre Hand h<strong>in</strong>wegzutäuschen. Es kann sowohl versucht werden mit<br />
e<strong>in</strong>er starken Hand e<strong>in</strong>en schwache Hand zu symbolisieren (Sandbagg<strong>in</strong>g) wie<br />
auch umgekehrt. Desweiteren lässt sich e<strong>in</strong> Bluff weiter spezifizieren für den<br />
Fall e<strong>in</strong>er schwachen Hand. Wenn man e<strong>in</strong>e schwache Hand hält <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e<br />
starke Hand symbolisiert, ist die Rede von e<strong>in</strong>em puren Bluff, woh<strong>in</strong>gegen bei<br />
h<strong>in</strong>reichend PPot e<strong>in</strong>er schwachen Hand <strong>der</strong> pure Bluff zum Semi-Bluff wird. 41<br />
E<strong>in</strong> Beispiel wäre e<strong>in</strong> raise mit e<strong>in</strong>er schwachen Hand nach dem Flop, obwohl<br />
nur höhere Karten im Flop liegen <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em <strong>Spiel</strong>er e<strong>in</strong>e Karte zur Straße o<strong>der</strong><br />
Flush fehlt.<br />
Im Modell von Ferguson et al. (2007) werden den <strong>Spiel</strong>ern Bereiche<br />
e<strong>in</strong>geräumt, <strong>in</strong> denen Bluff<strong>in</strong>g als optimal angesehen wird. Diese Bereiche<br />
ermöglichten sowohl pure Bluffs von beiden <strong>Spiel</strong>ern als auch Sandbagg<strong>in</strong>g.<br />
Friedman (1971) leitete ebenfalls Bed<strong>in</strong>gungen her, unter denen im 2-<br />
Personen-<strong>Poker</strong> e<strong>in</strong>e gewisse Bluff<strong>in</strong>g-Frequenz optimal ersche<strong>in</strong>t. In diesem<br />
Modell erweist es sich für den anfangenden <strong>Spiel</strong>er als optimal wenn e<strong>in</strong><br />
Drittel se<strong>in</strong>er Erhöhungen Bluffs s<strong>in</strong>d, woh<strong>in</strong>gegen <strong>der</strong> an<strong>der</strong>e <strong>Spiel</strong>er die<br />
Hälfte <strong>der</strong> Erhöhungen mitgehen sollte. Jedoch ist dieser Richtwert variabel<br />
<strong>und</strong> sollte sich im Idealfall nach dem Gegner richten. Wenn e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er<br />
41 Vgl. Sklansky (2002), S. 55ff.<br />
32
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
bemerkt, dass se<strong>in</strong> Gegner sehr oft blufft, so erweist es sich als s<strong>in</strong>nvoll mehr<br />
als die Hälfte <strong>der</strong> Bluffs zu callen. E<strong>in</strong>e Abweichung des Gegners von dem<br />
optimalen Verhalten wird als Schwäche angesehen, welche es dann gilt<br />
auszunutzen, <strong>in</strong>dem man se<strong>in</strong>en eigenen <strong>Spiel</strong>stil variiert. 42<br />
In den Ansätzen von Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002) wird Bluff<strong>in</strong>g als elementarer<br />
Bestandteil e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>-Strategie gesehen, gerade aus dem Aspekt e<strong>in</strong>er<br />
Unvorhersehbarkeit des eigenen <strong>Spiel</strong>es. Durch Bluff<strong>in</strong>g wird es dem Gegner<br />
erschwert sich e<strong>in</strong> Bild über die Strategie des <strong>Spiel</strong>ers zu machen <strong>und</strong> schafft<br />
somit Zweifel <strong>und</strong> Unsicherheit auf <strong>der</strong> Seite des Gegners. Es wird dann<br />
beson<strong>der</strong>s dadurch begünstigt wenn man als <strong>Spiel</strong>er gute Situationen erkennt,<br />
<strong>in</strong> <strong>der</strong> e<strong>in</strong> Gegner e<strong>in</strong>e schwache Hand hält o<strong>der</strong> e<strong>in</strong> fold sehr wahrsche<strong>in</strong>lich<br />
ist. Zudem ist Bluff<strong>in</strong>g auch gut geeignet um beim Gegner e<strong>in</strong>en falschen<br />
E<strong>in</strong>druck zu erwecken <strong>und</strong> ihn zu Fehlern zu verleiten, wenn se<strong>in</strong> Verhalten<br />
auf falschen E<strong>in</strong>drücken beruht. 43 E<strong>in</strong> Beispiel hierfür wäre e<strong>in</strong>e eigene<br />
anfangs hohe Bluff<strong>in</strong>g Frequenz mit späterer Reduktion. Dies würde den<br />
Gegner sukzessive dazu verleiten relativ häufig mitzugehen <strong>und</strong> von se<strong>in</strong>er<br />
optimalen Strategie abzuweichen. Diese Fehler, welche auf bewusst falsch<br />
erweckten E<strong>in</strong>drücken beruhen, generieren später Gew<strong>in</strong>ne für den <strong>Spiel</strong>er.<br />
Wie e<strong>in</strong>gangs erwähnt wurde ist Bluff<strong>in</strong>g trotz aller Vorteile ebenso mit<br />
Problemen verb<strong>und</strong>en, gerade wenn die Fähigkeiten unter den <strong>Spiel</strong>ern <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
<strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e stark divergieren. Wenn e<strong>in</strong> Gegner mit <strong>der</strong>selben Strategie spielt<br />
wie <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er, so wird <strong>der</strong> Gegner eher die Aktionen e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers verstehen<br />
je gleicher das Niveau ist auf dem sie spielen. Die meisten Bluffs zeichnen sich<br />
dadurch aus die Pot-Odds <strong>der</strong>art zu verän<strong>der</strong>n, sodass die Gegner es vorziehen<br />
auszusteigen statt mitzugehen, weil es nicht mehr attraktiv genug ist <strong>und</strong> im<br />
Mittel nur Verluste für sie br<strong>in</strong>gt. Die Voraussetzung hierfür ist, dass die<br />
Gegner am Tisch aus demselben Entscheidungskalkül heraus handeln <strong>und</strong> ggf.<br />
ihre Pot-Odds kalkulieren. Wenn die Gegner aufgr<strong>und</strong> ihrer ger<strong>in</strong>gen<br />
Erfahrung o<strong>der</strong> kognitiven Fähigkeiten die Aktionen e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers an<strong>der</strong>s<br />
verstehen als <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er selber, dann gerät die Effizienz des Bluff<strong>in</strong>g <strong>in</strong>s<br />
Stocken. Je unerfahrener <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er ist, desto höher ist se<strong>in</strong>e Tendenz<br />
mitzugehen <strong>und</strong> ger<strong>in</strong>ger se<strong>in</strong>e Aufmerksamkeit für das Umfeld. Der <strong>Spiel</strong>er<br />
42 Vgl. Swanson (2005), S. 10f. <strong>und</strong> Friedman (1971), S. 764-768.<br />
43 Vgl. Bill<strong>in</strong>gs et al. (2002), S. 208 <strong>und</strong> Rohwer & Salim (2005), S. 3f.<br />
33
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
erkennt die Bedeutung e<strong>in</strong>er Erhöhung nicht <strong>und</strong> setzt sie nicht <strong>in</strong> Relation zum<br />
Pot. Deshalb erweist sich Bluff<strong>in</strong>g mit Anfängern als relativ schwierig. 44<br />
4 Fähigkeiten <strong>und</strong> Lernverhalten im <strong>Poker</strong><br />
Die Umsetzung e<strong>in</strong>er Strategie durch e<strong>in</strong>en <strong>Poker</strong>-<strong>Spiel</strong>er hängt gr<strong>und</strong>legend<br />
von se<strong>in</strong>en Fähigkeiten ab. An die Fähigkeiten werden hierbei verschiedene<br />
Ansprüche gestellt, was aber alle geme<strong>in</strong> haben, ist die Ausübung dieser<br />
Fähigkeiten unter zeitlichem Druck. Außerdem s<strong>in</strong>d die Fähigkeiten e<strong>in</strong>es<br />
<strong>Poker</strong>-<strong>Spiel</strong>ers ebenfalls dynamischen Prozessen unterworfen, wodurch sich<br />
die Fähigkeiten verän<strong>der</strong>n. Diese Prozesse s<strong>in</strong>d hauptsächlich die Sammlung<br />
von Erfahrung durch Teilnahme an <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>en <strong>und</strong> das daraus resultierende<br />
Lernverhalten.<br />
In diesem Kapitel sollen zunächst die relevanten Fähigkeiten im <strong>Poker</strong><br />
vorgestellt <strong>und</strong> <strong>der</strong>en Beziehung zu <strong>Spiel</strong>stilen erläutert werden. Anschließend<br />
wird anhand verschiedener Konzepte die Bedeutung <strong>der</strong> Fähigkeiten im <strong>Poker</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>der</strong> Grad <strong>der</strong> E<strong>in</strong>flussnahme auf den <strong>Spiel</strong>ausgang untersucht. Ferner soll<br />
ebenfalls auf das Lernverhalten <strong>und</strong> damit die Verän<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Fähigkeiten <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er fokussiert werden.<br />
4.1 Fähigkeiten im <strong>Poker</strong> – Formen <strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>stile<br />
Wenn man die <strong>in</strong> Kapitel 3.2 erläuterten Ansätze zu <strong>Poker</strong>-Strategien<br />
betrachtet, lassen sich sowohl Ansprüche, die an e<strong>in</strong>en <strong>Poker</strong>spieler gestellt<br />
werden, als auch die damit verknüpften kognitiven Fähigkeiten ableiten, die e<strong>in</strong><br />
<strong>Poker</strong>spieler zur effizienten Umsetzung se<strong>in</strong>er Strategie benötigt.<br />
In diesem Zusammenhang stechen beson<strong>der</strong>s die mathematischen Fähigkeiten<br />
heraus, die e<strong>in</strong> <strong>Poker</strong>spieler besitzen sollte. Der <strong>Spiel</strong>er sollte während e<strong>in</strong>er<br />
<strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e <strong>in</strong> <strong>der</strong> Lage se<strong>in</strong> profitable Situationen zu erkennen <strong>und</strong><br />
auszunutzen sowie bei unprofitablen Situationen auszusteigen. Zum e<strong>in</strong>en<br />
bedeutet dies, dass <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e HS o<strong>der</strong> EHS sowie PPot <strong>und</strong> NPot relativ<br />
gut e<strong>in</strong>schätzen sollte <strong>und</strong> zum an<strong>der</strong>en, dass er se<strong>in</strong>e Pot-Odds kennt <strong>und</strong><br />
44 Vgl. Lubet (2006), S. 103ff.<br />
34
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
je<strong>der</strong>zeit berechnen kann. Ohne e<strong>in</strong> M<strong>in</strong>destmaß an mathematischen<br />
Fähigkeiten erweist sich die Kalkulation e<strong>in</strong>er Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit als<br />
schwierig. Ferner kann <strong>Poker</strong> als Investment eigener Chips auf Basis eigener<br />
Berechnungen betrachtet werden, welche die Vorteilhaftigkeit e<strong>in</strong>er Aktion <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>er R<strong>und</strong>e stetig prüfen. Der <strong>Spiel</strong>er bewertet <strong>in</strong> dem Fall die Situationen<br />
anhand <strong>der</strong> ihm verfügbaren Information <strong>und</strong> bezieht mögliche Reaktionen des<br />
Gegners (Opponent Modell<strong>in</strong>g) <strong>in</strong> die Bewertung mit e<strong>in</strong>. Dies impliziert<br />
zusätzlich, dass e<strong>in</strong> <strong>Poker</strong>spieler die Konsequenzen se<strong>in</strong>es Handelns immer<br />
beachten <strong>und</strong> nicht zu statisch denken sollte. 45<br />
E<strong>in</strong>e an<strong>der</strong>e wesentliche Fähigkeit, die im <strong>Poker</strong> e<strong>in</strong>e tragende Rolle spielt, ist<br />
die Anpassung <strong>der</strong> eigenen Strategie <strong>und</strong> die Verwertung verfügbarer<br />
Informationen über die Gegner. E<strong>in</strong>e bestimmte Hand gew<strong>in</strong>nt an relativer<br />
Stärke am Tisch, je schwächer die Hand des Gegners ist. Wenn e<strong>in</strong>e schwache<br />
Hand des Gegners erfahrungsgemäß mit bestimmten Signalen verb<strong>und</strong>en ist, so<br />
liegt es an dem <strong>Spiel</strong>er die Signale zu erkennen <strong>und</strong> auszunutzen. Der <strong>Spiel</strong>er<br />
verän<strong>der</strong>t demnach se<strong>in</strong>e Strategie nach dem Gegner <strong>und</strong> spielt bspw. Hände,<br />
bei denen er sonst ausgestiegen wäre, diese jedoch aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Signale <strong>der</strong><br />
Gegner an relativer Stärke gew<strong>in</strong>nen. Diese Signale werden über die<br />
Körpersprache <strong>der</strong> Gegner entsandt <strong>und</strong> stellen Informationen über den Gegner<br />
dar. Wenn über den Gegner mit <strong>der</strong> Zeit dieselben Verhaltensmuster<br />
beobachtet werden, gew<strong>in</strong>nen diese Signale an Validität. Zudem zeichnen die<br />
<strong>Spiel</strong>er, die sich die sog. “tells“ <strong>der</strong> Gegner zu Nutze machen, <strong>in</strong> erster L<strong>in</strong>ie<br />
durch e<strong>in</strong>e hohe Beobachtungsgabe o<strong>der</strong> emotionale Intelligenz aus. Ferner<br />
bedarf es an e<strong>in</strong>er hohen Aufmerksamkeitsspanne für das Umfeld e<strong>in</strong>es<br />
<strong>Spiel</strong>ers. 46<br />
Die Fähigkeit e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers se<strong>in</strong>e Strategie zu verän<strong>der</strong>n erweist sich ebenso <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>er H<strong>in</strong>sicht als Vorteil, nämlich <strong>in</strong> Bluff<strong>in</strong>g-Situationen. In solchen<br />
Szenarien ist es das Ziel e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers den o<strong>der</strong> die Gegner durch se<strong>in</strong><br />
Verhalten über se<strong>in</strong>e wahre Hand h<strong>in</strong>wegzutäuschen. Es ist offensichtlich, dass<br />
sich steigende schauspielerische Fähigkeiten des e<strong>in</strong>zelnen <strong>Spiel</strong>ers positiv auf<br />
den Ausgang solcher Situationen auswirken. Je besser man se<strong>in</strong>e eigene Hand<br />
durch Körpersprache verdecken kann, desto weniger Informationen erlangt <strong>der</strong><br />
45 Vgl. Parke et al. (2005), S. 4f <strong>und</strong> Alon (2007), S. 5-7.<br />
46 Vgl. Burns (2004), S. 1 <strong>und</strong> Parke et al. (2005), S. 4f.<br />
35
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Gegner über den <strong>Spiel</strong>er <strong>und</strong> desto mehr steigt die Unsicherheit beim Gegner.<br />
Außerdem begünstigen diese Fähigkeiten, dass die wahre Strategie e<strong>in</strong>es<br />
<strong>Spiel</strong>ers unentdeckt <strong>und</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er für se<strong>in</strong>e Gegner unberechenbar bleibt. 47<br />
Schließlich ist e<strong>in</strong>e weitere Gabe för<strong>der</strong>lich für e<strong>in</strong>e solide Umsetzung e<strong>in</strong>er<br />
Strategie über die Zeit, diese betrifft den Aspekt <strong>der</strong> Selbstkontrolle durch<br />
e<strong>in</strong>en <strong>Spiel</strong>er. Der e<strong>in</strong>zelne <strong>Spiel</strong>er sollte se<strong>in</strong>e eigenen Grenzen kennen <strong>und</strong><br />
Nie<strong>der</strong>lagen anerkennen <strong>und</strong> nicht persönlich nehmen. Wenn er dies nämlich<br />
macht, entsteht e<strong>in</strong>e emotionale B<strong>in</strong>dung zum <strong>Spiel</strong> <strong>und</strong> dadurch reduziert sich<br />
die Rationalität e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers. E<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er sollte die Fähigkeit besitzen e<strong>in</strong>e<br />
emotionale B<strong>in</strong>dung zum <strong>Spiel</strong> zu unterb<strong>in</strong>den, wozu ihm e<strong>in</strong>ige Möglichkeiten<br />
offen stehen. E<strong>in</strong>erseits s<strong>in</strong>d <strong>in</strong> solchen Phasen, <strong>in</strong> <strong>der</strong> die Gefahr e<strong>in</strong>er<br />
emotionalen B<strong>in</strong>dung hoch ist, e<strong>in</strong>e Art künstlerische Pause sehr s<strong>in</strong>nvoll. In<br />
diesen Pausen reflektiert <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong> eigenes <strong>Spiel</strong> auf Basis objektiver<br />
Tatsachen im <strong>Spiel</strong>. Beson<strong>der</strong>s nach längeren Durststrecken zeugt das<br />
freiwillige Pausieren von e<strong>in</strong>er beson<strong>der</strong>en Gabe, weil man die Gefahr erkennt<br />
<strong>und</strong> irrationales <strong>Spiel</strong> damit unterb<strong>in</strong>det. Der Übertragungseffekt <strong>der</strong><br />
emotionalen Lage auf das <strong>Spiel</strong>, kann sowohl positiver (Euphorie) als auch<br />
negativer Natur (Frustration) se<strong>in</strong>, beides endet jedoch <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er irrationalen<br />
<strong>Spiel</strong>weise. In Experimenten zur Prognose <strong>der</strong> eigenen Endplatzierung <strong>in</strong><br />
Turnieren wurde deutlich, dass <strong>Poker</strong>spieler zur Selbstüberschatzung neigen. In<br />
e<strong>in</strong>er Umfrage vor dem Experiment glaubten 74,1% <strong>der</strong> Teilnehmer, dass ihre<br />
Endplatzierung über dem Median liegt. Dies kann zum e<strong>in</strong>en daran liegen, dass<br />
sie ihre Gegner im Turnier mangels Informationen unterschätzen o<strong>der</strong> auch an<br />
<strong>der</strong> Gewohnheit, eigene Erfolge auf Können <strong>und</strong> Misserfolge auf Pech<br />
zurückzuführen. Dieser Selbstüberschätzung <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er liegt zudem <strong>der</strong><br />
Irrglaube zu Gr<strong>und</strong>e, e<strong>in</strong>e hohe Kontrolle über das <strong>Spiel</strong> zu haben <strong>und</strong> dass die<br />
Glückskomponente e<strong>in</strong>en ger<strong>in</strong>gen E<strong>in</strong>fluss hat (Illusion of Control). Die<br />
Bes<strong>in</strong>nung auf die objektive Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitstheorie sowie die Vermeidung<br />
des Glaubens an bestimmte Serien stellen die Schlüssel e<strong>in</strong>er effizienten<br />
Selbstkontrolle dar. 48<br />
Während <strong>der</strong> Grad <strong>der</strong> Fähigkeit beschreibt wie gut e<strong>in</strong>e Strategie umgesetzt<br />
wird, bezeichnet <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>stil die Art <strong>und</strong> Weise <strong>der</strong> Strategieumsetzung durch<br />
47 Vgl. Alon (2007), S. 9f <strong>und</strong> Parke et al. (2005), S. 5f.<br />
48 Vgl. Parke et al. (2005), S. 2ff <strong>und</strong> Park & P<strong>in</strong>to (2007), S. 15f.<br />
36
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
e<strong>in</strong>en <strong>Spiel</strong>er. Die Umsetzung <strong>der</strong> Strategie auf Basis des <strong>Spiel</strong>stils ist<br />
unabhängig von dem Rationalitätspr<strong>in</strong>zip <strong>und</strong> lässt sich am besten<br />
verdeutlichen, wenn das Rationalitätspr<strong>in</strong>zip außer Kraft tritt. Dies ist nämlich<br />
genau dann <strong>der</strong> Fall wenn e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong>different zwischen zwei Aktionen ist,<br />
wenn z.B. die Pot-Odds genau <strong>der</strong> subjektiven Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
entsprechen. Das Verhalten <strong>in</strong> solch e<strong>in</strong>er Situation beruht auf dem<br />
<strong>in</strong>dividuellen Stil e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers. 49<br />
Anhand des <strong>Spiel</strong>stiles ist e<strong>in</strong>e Kategorisierung e<strong>in</strong>es <strong>Poker</strong>spielers möglich,<br />
denn diese erfolgt auf Basis <strong>der</strong> <strong>in</strong>dividuellen Ausprägung von zwei<br />
Dimensionen. Die erste Dimension befasst sich mit <strong>der</strong> <strong>in</strong>dividuellen<br />
Bewertung e<strong>in</strong>er bestimmten Hand, welche sowohl pessimistisch (“tight“) als<br />
auch optimistisch (“loose“) se<strong>in</strong> kann. Im ersten Fall spielt <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er<br />
tendenziell weniger Hände <strong>und</strong> entscheidet sich eher für e<strong>in</strong> fold wenn er<br />
<strong>in</strong>different zwischen e<strong>in</strong>em call <strong>und</strong> fold ist. Bewertet e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e Hände<br />
eher optimistisch, folgt daraus e<strong>in</strong>e höhere Frequenz gespielter Hände des<br />
<strong>Spiel</strong>ers. In Situationen, <strong>in</strong> welchen er <strong>in</strong>different zwischen e<strong>in</strong>em call <strong>und</strong> fold<br />
ist, wird er tendenziell den gefor<strong>der</strong>ten Betrag aufbr<strong>in</strong>gen um im <strong>Spiel</strong> zu<br />
bleiben. Ferner wird er se<strong>in</strong>e Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit systematisch<br />
überbewerten. 50<br />
Die zweite Dimension zur Klassifizierung von <strong>Poker</strong>spielern befasst sich mit<br />
dem Setzverhalten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er, <strong>in</strong>sb. <strong>in</strong> Situationen, <strong>in</strong> denen vorher von e<strong>in</strong>em<br />
an<strong>der</strong>en <strong>Spiel</strong>er bereits gesetzt wurde. Die Reaktion hierauf bzw. das eigene<br />
Setzverhalten kann nun wie<strong>der</strong> entwe<strong>der</strong> optimistisch (“aggressive“) o<strong>der</strong><br />
relativ pessimistisch (“passive“) se<strong>in</strong>. In Bezug auf das Setzverhalten bedeutet<br />
dies im ersten Fall, dass <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er e<strong>in</strong> vorheriges bet e<strong>in</strong>es an<strong>der</strong>en <strong>Spiel</strong>ers<br />
erhöhen würde, um den Pot bzw. die potentiellen Gew<strong>in</strong>ne zu erhöhen. Agiert<br />
<strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er jedoch eher pessimistisch, würde er e<strong>in</strong>e vorherige Erhöhung e<strong>in</strong>es<br />
<strong>Spiel</strong>ers nur callen. In diesem Fall liegt die Vermutung nahe, dass <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er<br />
hohe Pots unattraktiv f<strong>in</strong>det <strong>und</strong> meidet. 51 Ausgehend von den obigen<br />
Dimensionen lässt sich folgende Grafik ableiten:<br />
49 Vgl. Burns (2004), S. 2f.<br />
50 Vgl. Barone & White (1998), S. 110 <strong>und</strong> Burns (2004), S. 3.<br />
51 Vgl. Barone & White (1998), S. 110f <strong>und</strong> Burns (2004), S. 3f.<br />
37
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Abbildung 14: Die vier <strong>Spiel</strong>stile im <strong>Poker</strong><br />
(Quelle: Burns, 2004, S. 3)<br />
Burns (2004) simulierte ebenso e<strong>in</strong>en paarweisen Vergleich <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>stile<br />
untere<strong>in</strong>an<strong>der</strong>, wodurch sich <strong>der</strong> dom<strong>in</strong>anteste Stil abzeichnen sollte. Als Basis<br />
für die Vergleiche wurde e<strong>in</strong>e vere<strong>in</strong>fachte Version des <strong>Poker</strong>s gewählt, welche<br />
aus e<strong>in</strong>em Deck mit 11 Karten besteht <strong>und</strong> je<strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er e<strong>in</strong>e Karte erhält. Der<br />
Pflichtbetrag betrage 1, e<strong>in</strong> bet 2 <strong>und</strong> e<strong>in</strong> raise 4. Die Ergebnisse <strong>der</strong><br />
Simulation lassen sich nachfolgend durch e<strong>in</strong>e Grafik abbilden:<br />
Abbildung 15: Die vier <strong>Spiel</strong>stile im Vergleich<br />
(Quelle: Burns, 2004, S. 7)<br />
38
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Die Zahlen neben den Pfeilen zeigen auf wie viel Chips pro <strong>Spiel</strong> an den<br />
Gegner gehen, wobei die Richtung des Pfeiles angibt wer die Chips erhält.<br />
Hieraus wird deutlich, dass <strong>der</strong> Tight-Passive Stil (“Mouse“) alle an<strong>der</strong>en<br />
dom<strong>in</strong>iert, beson<strong>der</strong>s die <strong>Spiel</strong>er die ihre Karten immer relativ optimistisch<br />
bewerten. Der zweitstärkste Stil ist <strong>der</strong> Tight-Aggressive Stil (“Lion“), woraus<br />
sich schließen lässt, dass e<strong>in</strong>e etwas pessimistischere Bewertung <strong>der</strong> Karten <strong>der</strong><br />
optimistischeren Bewertung überlegen ist. Dieses Resultat geht mit <strong>der</strong><br />
Beobachtung e<strong>in</strong>her, dass Anfänger tendenziell zu viele Hände spielen <strong>und</strong><br />
dadurch auf Dauer sehr unprofitabel agieren. 52<br />
4.2 Messung <strong>der</strong> Rolle <strong>der</strong> Fähigkeiten – Ansätze <strong>und</strong> rechtliche Relevanz<br />
In fast allen europäischen Län<strong>der</strong>n sowie im nordamerikanischen Raum ist die<br />
Ausrichtung von <strong>Poker</strong>-Veranstaltungen mit rechtlichen Regulationen<br />
verb<strong>und</strong>en, welche e<strong>in</strong>e beson<strong>der</strong>e Lizenz beim Ausrichter e<strong>in</strong>for<strong>der</strong>n. Der<br />
Hauptgr<strong>und</strong> hierfür ist, dass <strong>in</strong> diesen Län<strong>der</strong>n <strong>Poker</strong> tendenziell als Glückspiel<br />
gesehen wird, was def<strong>in</strong>itorisch e<strong>in</strong>e Bee<strong>in</strong>flussbarkeit des <strong>Spiel</strong>ausganges<br />
durch e<strong>in</strong>en e<strong>in</strong>zelnen <strong>Spiel</strong>er ausschließt. Dies bedeutet für das <strong>Spiel</strong>, dass<br />
e<strong>in</strong>e optimale Strategie e<strong>in</strong>er Zufallsstrategie nicht zw<strong>in</strong>gend überlegen ist <strong>und</strong><br />
daher an Bedeutung verliert. Je niedriger die Bedeutung e<strong>in</strong>er optimalen<br />
Strategie ist, desto weniger kann e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>en Profit bee<strong>in</strong>flussen <strong>und</strong><br />
desto höher s<strong>in</strong>d die rechtlichen Hürden für e<strong>in</strong>en potentiellen Ausrichter e<strong>in</strong>er<br />
<strong>Poker</strong>-Veranstaltung. Da <strong>Poker</strong> sich <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Art Grauzone h<strong>in</strong>sichtlich <strong>der</strong><br />
Bee<strong>in</strong>flussbarkeit des <strong>Spiel</strong>ausgangs bef<strong>in</strong>det, gilt es zu prüfen, ob überhaupt<br />
e<strong>in</strong> E<strong>in</strong>fluss <strong>der</strong> Strategien vorliegt <strong>und</strong> er ggf. signifikant ist. Die klassischen<br />
Extremfälle für den Grad <strong>der</strong> Bee<strong>in</strong>flussbarkeit e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>es s<strong>in</strong>d zum e<strong>in</strong>en<br />
Roulette (re<strong>in</strong>es Glückspiel) <strong>und</strong> zum an<strong>der</strong>en Schach (re<strong>in</strong>es Strategiespiel),<br />
Sie bilden Ober- <strong>und</strong> Untergrenze im Intervall für den Fall des <strong>Poker</strong>s. 53<br />
In H<strong>in</strong>blick auf die Kategorisierung des <strong>Poker</strong>s werden nachfolgend zwei<br />
Ansätze vorgestellt, welche die Rolle <strong>der</strong> Fähigkeiten im <strong>Poker</strong> näher<br />
betrachten. Der erste Ansatz versucht die Frage auf spieltheoretischer Ebene zu<br />
beantworten, woh<strong>in</strong>gegen <strong>der</strong> zweite Ansatz probabilistischer Natur ist <strong>und</strong><br />
schließlich empirisch geprüft wird. Geme<strong>in</strong> haben beide Ansätze, dass beide <strong>in</strong><br />
52 Vgl. Burns (2004), S. 7 <strong>und</strong> Dedonno & Detterman (2008), S. 35f.<br />
53 Vgl. Fiedler & Rock (2009), S. 50f <strong>und</strong> Dedonno & Detterman (2008), S. 31.<br />
39
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
relativen Messungen enden, was bedeutet, dass <strong>der</strong> Grad <strong>der</strong> Bee<strong>in</strong>flussbarkeit<br />
des <strong>Spiel</strong>es nicht nur vom e<strong>in</strong>zelnen <strong>Spiel</strong>er, son<strong>der</strong>n auch maßgeblich von <strong>der</strong><br />
Qualität se<strong>in</strong>er Gegner abhängt.<br />
4.2.1 <strong>Spiel</strong>theoretischer Ansatz von Borm et al. 54<br />
Wie e<strong>in</strong>leitend bereits erwähnt wurde, soll im Folgenden e<strong>in</strong>e Art <strong>der</strong> Messung<br />
vorgestellt werden, welche die Bee<strong>in</strong>flussbarkeit des <strong>Spiel</strong>es durch e<strong>in</strong>en<br />
e<strong>in</strong>zelnen <strong>Spiel</strong>er auf spieltheoretischer Ebene prüft. Dies bedeutet, dass<br />
anhand des <strong>in</strong> Kapitel 3.1.2 vorgestellten Basismodells die Bedeutung e<strong>in</strong>er<br />
optimalen Strategie h<strong>in</strong>sichtlich <strong>der</strong> Bee<strong>in</strong>flussbarkeit des <strong>Spiel</strong>es geprüft wird.<br />
Diese Methode lässt sich ebenso auf die Erweiterungen des Basismodells<br />
anwenden, diese sollen <strong>in</strong> diesem Kontext jedoch nicht betrachtet werden.<br />
Die Motivation die Rolle <strong>und</strong> Bedeutung <strong>der</strong> Fähigkeiten im <strong>Poker</strong> zu prüfen,<br />
obliegt abgesehen vom juristischen Kontext <strong>der</strong> Tatsache, dass <strong>Poker</strong> e<strong>in</strong><br />
Strategiespiel ist, welches jedoch Zufallselemente <strong>in</strong> sich trägt. Diese<br />
Zufallselemente s<strong>in</strong>d zum e<strong>in</strong>en extern (Austeilung <strong>der</strong> Starthände <strong>und</strong><br />
Community Cards) als auch <strong>in</strong>tern (gemischte Strategie <strong>der</strong> Gegner) <strong>und</strong><br />
determ<strong>in</strong>ieren je nach Ausprägung den Erfolg e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers. Wie dom<strong>in</strong>ant<br />
diese Zufallselemente im Vergleich zu den strategischen Komponenten jedoch<br />
s<strong>in</strong>d, entscheidet dann darüber ob e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong> eher e<strong>in</strong> Glücks- o<strong>der</strong> Strategiespiel<br />
ist. 55<br />
Die Methode zur Kategorisierung e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>es vollzieht sich auf<br />
spieltheoretische Ebene, <strong>in</strong>dem die erwarteten Gew<strong>in</strong>ne dreier bestimmter<br />
<strong>Spiel</strong>ertypen im 2-Personen-<strong>Poker</strong> mite<strong>in</strong>an<strong>der</strong> verglichen werden. Der<br />
erwartete Gew<strong>in</strong>n e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers hängt nicht nur von se<strong>in</strong>er eigenen Strategie,<br />
son<strong>der</strong>n auch von <strong>der</strong> des Gegners ab, weshalb die Methode <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em relativen<br />
Maß endet. Dieses Maß für die relative Bedeutung <strong>der</strong> Fähigkeiten<br />
unterscheidet zwischen e<strong>in</strong>em Lerneffekt (LE) <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em Zufallseffekt (RE)<br />
<strong>und</strong> determ<strong>in</strong>iert aus dem Anteil des Lerneffektes an den Gesamteffekten die<br />
Bedeutung <strong>der</strong> Fähigkeiten im <strong>Spiel</strong> (RS). Dieser Ansatz sieht formal wie folgt<br />
aus:<br />
54 Vgl. Borm et al. (2008)<br />
55 Vgl. Dreef et al. (2001), S. 1f <strong>und</strong> Dreef et al. (2003b), S. 3f.<br />
40
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
LE<br />
RS � (26).<br />
LE � RE<br />
Der Ausdruck RS beschreibt demnach den Grad des E<strong>in</strong>flusses <strong>der</strong> Fähigkeiten<br />
im <strong>Spiel</strong> <strong>und</strong> beträgt 0 bei e<strong>in</strong>em re<strong>in</strong>en Glücksspiel <strong>und</strong> 1 bei e<strong>in</strong>em re<strong>in</strong>en<br />
Strategiespiel. Ist <strong>der</strong> LE hoch, so kommt den Fähigkeiten e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers e<strong>in</strong>e<br />
tragende Rolle zu <strong>und</strong> <strong>der</strong> Gesamtausdruck RS steigt. Ist <strong>der</strong> LE jedoch relativ<br />
ger<strong>in</strong>g, impliziert dies e<strong>in</strong>e hohe Bedeutung des Glücks <strong>und</strong> e<strong>in</strong> ger<strong>in</strong>ges<br />
Entwicklungspotential h<strong>in</strong>sichtlich <strong>der</strong> Strategie e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers. Um auf die<br />
beiden Effekte LE <strong>und</strong> RE näher e<strong>in</strong>zugehen, ist e<strong>in</strong>e genauere Betrachtung <strong>der</strong><br />
drei <strong>Spiel</strong>ertypen nötig, da diese mit ihrem Verhalten <strong>und</strong> erwartetem Gew<strong>in</strong>n<br />
diese Effekte determ<strong>in</strong>ieren. 56<br />
Die relative Bedeutung <strong>der</strong> Fähigkeiten wird durch den Vergleich erwarteter<br />
Gew<strong>in</strong>ne dreier <strong>Spiel</strong>ertypen im 2-Personen-<strong>Poker</strong> determ<strong>in</strong>iert, wobei je<strong>der</strong><br />
<strong>der</strong> drei Typen den gleichen Gegner <strong>und</strong> beide Positionen im <strong>Spiel</strong> e<strong>in</strong>nimmt,<br />
d.h. jeweils e<strong>in</strong>mal die frühe (Player 1) <strong>und</strong> späte Position (Player 2) belegt.<br />
Der erste <strong>Spiel</strong>ertyp ist <strong>der</strong> Anfänger (Beg<strong>in</strong>ner), welcher dadurch<br />
charakterisiert wird, dass er gerade die Regeln des <strong>Spiel</strong>s beherrscht <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e<br />
naive Strategie spielt. Se<strong>in</strong>e Strategie wird nur durch se<strong>in</strong>e HS bestimmt <strong>und</strong><br />
se<strong>in</strong>e Aufmerksamkeit für die Gegner tendiert gegen Null. Der Anfänger wählt<br />
se<strong>in</strong>e Aktion anhand e<strong>in</strong>er bestimmten Schranke, welche durch se<strong>in</strong>e HS<br />
entwe<strong>der</strong> unter- o<strong>der</strong> überschritten wird. Im ersten Fall folgt je nach Position<br />
e<strong>in</strong> check o<strong>der</strong> e<strong>in</strong> fold, im zweiten Fall e<strong>in</strong> bet o<strong>der</strong> e<strong>in</strong> call. Hieraus wird<br />
ersichtlich, dass <strong>der</strong> Anfänger nie blufft <strong>und</strong> se<strong>in</strong>e Aktionen viel Informationen<br />
über se<strong>in</strong>e Private Cards liefern.<br />
Der zweite <strong>Spiel</strong>ertyp ist <strong>der</strong> optimale <strong>Spiel</strong>er (Optimal), welcher sich gemäß<br />
den <strong>in</strong> Kapitel 3.1.2 vorgestellten Strategien verhält. Er ist strategisch variabler<br />
als <strong>der</strong> Anfänger, was sich z.B. dar<strong>in</strong> äußert, dass er <strong>in</strong> früher Position auch<br />
blufft, <strong>in</strong> später Position jedoch auch abhängig von e<strong>in</strong>er Schranke se<strong>in</strong>e<br />
Aktionen trifft. Mit zunehmen<strong>der</strong> Komplexität des Modelles steigt jedoch auch<br />
se<strong>in</strong> Repertoire an strategischen Mitteln.<br />
Der letzte <strong>Spiel</strong>ertyp ist <strong>der</strong> sog. fiktive <strong>Spiel</strong>er (Fictive), welcher den<br />
beson<strong>der</strong>en Vorteil genießt, dass er <strong>der</strong> typischen Informationsasymmetrie des<br />
56 Vgl. Dreef et al. (2003a), S. 97f <strong>und</strong> Dreef et al. (2003b), S. 3f.<br />
41
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
<strong>Poker</strong>s nicht ausgesetzt ist. Er kennt sowohl die Realisationen <strong>der</strong> externen<br />
Zufallselemente (Karten <strong>der</strong> Gegner <strong>und</strong> Community Cards) als auch die<br />
<strong>in</strong>ternen Zufallselemente (gemischte Strategie <strong>der</strong> Gegner). Diese Tatsachen<br />
führen dazu, dass <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er immer blufft wenn er weiß, dass <strong>der</strong> Gegner passt<br />
<strong>und</strong> setzt wenn er weiß, dass <strong>der</strong> Gegner callt <strong>und</strong> die schwächere Hand hält.<br />
Zudem kann er per Def<strong>in</strong>ition nie Opfer e<strong>in</strong>es Bluffs werden, da er callt wenn<br />
er die bessere Hand hält. Der <strong>Spiel</strong>er weiß se<strong>in</strong>e Verluste perfekt zu<br />
m<strong>in</strong>imieren <strong>und</strong> se<strong>in</strong>e Gew<strong>in</strong>ne zu maximieren. 57<br />
Aus den Def<strong>in</strong>itionen folgt e<strong>in</strong>e ord<strong>in</strong>ale Rangfolge <strong>der</strong> erwarteten Gew<strong>in</strong>ne,<br />
welche genutzt werden, um zu prüfen ob es e<strong>in</strong>en signifikanten E<strong>in</strong>fluss e<strong>in</strong>er<br />
Strategie gibt. Die höchsten erwarteten Gew<strong>in</strong>ne erzielt aufgr<strong>und</strong> se<strong>in</strong>es<br />
Informationsvorsprunges <strong>der</strong> fiktive <strong>Spiel</strong>er, gefolgt von dem optimalen<br />
<strong>Spiel</strong>er <strong>und</strong> schließlich dem Anfänger. Als Gegner im 2-Personen-<strong>Poker</strong> wird<br />
zur Ermittlung <strong>der</strong> erwarteten Gew<strong>in</strong>ne immer <strong>der</strong> optimale <strong>Spiel</strong>er gewählt, da<br />
er e<strong>in</strong>e realistische Messlatte für die Fähigkeiten darstellt. 58<br />
Der Lerneffekt wird <strong>in</strong> diesem Zusammenhang als Differenz <strong>der</strong> erwarteten<br />
Gew<strong>in</strong>ne des optimalen <strong>Spiel</strong>ers <strong>und</strong> des Anfängers gesehen. Die Intuition liegt<br />
dar<strong>in</strong>, dass <strong>der</strong> Anfänger mit <strong>der</strong> Zeit se<strong>in</strong> Wissen <strong>und</strong> se<strong>in</strong>e Strategien im<br />
<strong>Poker</strong> erweitert <strong>und</strong> ausnutzt. Der <strong>Spiel</strong>er unterwirft sich mit <strong>der</strong> Zeit e<strong>in</strong>em<br />
Lernprozess <strong>und</strong> se<strong>in</strong>e erwarteten Gew<strong>in</strong>ne konvergieren gegen die des<br />
optimalen <strong>Spiel</strong>ers. Auf diese Weise sollen die Lerneffekte (LE) herausgefiltert<br />
<strong>und</strong> quantifiziert werden.<br />
Die Zufallseffekte (RE) ergeben sich als Differenz zwischen den erwarteten<br />
Gew<strong>in</strong>nen des fiktiven <strong>Spiel</strong>ers <strong>und</strong> des optimalen <strong>Spiel</strong>ers. Es drückt zum<br />
e<strong>in</strong>en aus, wie entscheidend <strong>der</strong> Informationsvorsprung <strong>und</strong> die<br />
Zufallselemente im <strong>Spiel</strong> s<strong>in</strong>d <strong>und</strong> zum an<strong>der</strong>en, wie wertvoll diese zusätzliche<br />
Information ist, <strong>in</strong>dem sie quantifiziert wird. E<strong>in</strong>e Konvergenz des erwarteten<br />
Gew<strong>in</strong>nes des optimalen <strong>Spiel</strong>ers zu dem des fiktiven <strong>Spiel</strong>ers lässt sich<br />
ausschließen, da diese nur auftreten würde, wenn er von se<strong>in</strong>er optimalen<br />
Strategie abweicht <strong>und</strong> etwas aus “Zufall“ richtig macht. Die beiden Effekte<br />
lassen sich demnach wie folgt darstellen: 59<br />
57 Vgl. Dreef et al. (2003b), S. 4ff.<br />
58 Borm et al. def<strong>in</strong>ieren den Anfänger als natürliche Messlatte für die Vergleiche.<br />
59 Vgl. Dreef et al. (2003a), S. 98<br />
42
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
�U ( p,<br />
q)<br />
�U<br />
( p,<br />
q)<br />
�U<br />
( p , q)<br />
U ( p,<br />
q ) �<br />
1<br />
LE � 1<br />
2<br />
1 0 � 2 0 (27)<br />
2<br />
�U ( p , q)<br />
�U<br />
( p,<br />
q ) �U<br />
( p,<br />
q)<br />
�U<br />
( p,<br />
q)<br />
�<br />
1<br />
� 1 f<br />
2<br />
1<br />
2<br />
(28)<br />
2<br />
RE f<br />
wobei Ui (s1, s2) den erwarteten Gew<strong>in</strong>n für <strong>Spiel</strong>er i darstellt, wenn <strong>Spiel</strong>er 1<br />
Strategie s1 <strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>er 2 Strategie s2 spielt. Die Indices f bzw. 0 bedeuten,<br />
dass die Strategien von e<strong>in</strong>em fiktiven <strong>Spiel</strong>er bzw. e<strong>in</strong>em Anfänger ausgeführt<br />
werden <strong>und</strong> e<strong>in</strong> Balken symbolisiert h<strong>in</strong>gegen e<strong>in</strong>e optimale Strategie. E<strong>in</strong> p<br />
kennzeichnet e<strong>in</strong>e Strategie aus früher Position (Setz-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit) <strong>und</strong><br />
e<strong>in</strong> q wie<strong>der</strong>rum e<strong>in</strong>e Strategie aus später Position. Hieraus ergibt sich für die<br />
Rolle <strong>der</strong> Fähigkeiten letztendlich:<br />
LE<br />
�U1(<br />
p0,<br />
q)<br />
�U<br />
2(<br />
p,<br />
q0)<br />
RS � �<br />
(29).<br />
LE � RE U ( p , q)<br />
�U<br />
( p,<br />
q ) �U<br />
( p , q)<br />
�U<br />
( p,<br />
q )<br />
1<br />
f<br />
2<br />
Der Zähler ist positiv, weil e<strong>in</strong> Anfänger aus e<strong>in</strong>em Duell mit e<strong>in</strong>em optimalen<br />
<strong>Spiel</strong>er im Mittel verlieren wird unabhängig von <strong>der</strong> Position des <strong>Spiel</strong>ers.<br />
Daraus folgt, dass sowohl LE als auch RS > 0. Die Rolle <strong>der</strong> Fähigkeiten im<br />
<strong>Poker</strong> wird durch die Relation e<strong>in</strong>er realistischen Verbesserung des erwarteten<br />
Gew<strong>in</strong>ns zu <strong>der</strong> theoretisch möglichen Verbesserung des erwarteten Gew<strong>in</strong>ns<br />
determ<strong>in</strong>iert.<br />
In <strong>der</strong> Messung des Basismodells von Von Neumann/Morgenstern <strong>Poker</strong>s<br />
h<strong>in</strong>sichtlich <strong>der</strong> Rolle <strong>der</strong> Fähigkeiten erreicht <strong>Poker</strong> e<strong>in</strong>en Wert von 0,0704. 60<br />
Die Zufallselemente haben e<strong>in</strong>en hohen E<strong>in</strong>fluss <strong>und</strong> die Ausführung e<strong>in</strong>er<br />
Strategie wird hier nur wenig <strong>Spiel</strong>raum geboten. E<strong>in</strong> Anstieg <strong>der</strong> Komplexität<br />
des <strong>Spiel</strong>es würde ebenfalls RS erhöhen, da dem optimalen <strong>Spiel</strong>er mehr<br />
Möglichkeiten geboten werden e<strong>in</strong>e Strategie zu entwickeln <strong>und</strong> zu entfalten<br />
(Vgl. Kapitel 3.1.3). 61<br />
In den Nie<strong>der</strong>landen wurde e<strong>in</strong>e Grenze festgelegt, welche durch e<strong>in</strong>en<br />
gewissen Schwellenwert def<strong>in</strong>iert, ob e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong> e<strong>in</strong> Glücks- o<strong>der</strong> Strategiespiel<br />
ist. Dieser Schwellenwert liegt bei 0,2 <strong>und</strong> würde implizieren, dass die stark<br />
60 Hier wurde a=b=1 gewählt <strong>und</strong> 0,7937 als Schranke <strong>der</strong> Anfänger-Strategie.<br />
61 Vgl. Dreef (2003a), S. 101f.<br />
f<br />
1<br />
0<br />
2<br />
0<br />
43
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
vere<strong>in</strong>fachte Version des <strong>Poker</strong>s im Von Neumann/Morgenstern Modell<br />
tendenziell e<strong>in</strong> Glücksspiel ist. E<strong>in</strong>e an<strong>der</strong>e Studie von Borm et al. (2008) prüft<br />
aus ähnlichen Motiven e<strong>in</strong>e an<strong>der</strong>e leicht vere<strong>in</strong>fachte Version des 5-Card-<br />
Draw <strong>Poker</strong>s, auch 2-Personen Straight <strong>Poker</strong> genannt. Im Gegensatz zum<br />
vorherigen Ansatz lassen sie die drei <strong>Spiel</strong>ertypen gegen e<strong>in</strong>en Anfänger<br />
antreten, welcher sich e<strong>in</strong>er natürlichen Messlatte besser fügt als e<strong>in</strong><br />
ausgereifter optimaler <strong>Spiel</strong>er. Die wichtigsten Ergebnisse s<strong>in</strong>d zum e<strong>in</strong>en, dass<br />
<strong>Poker</strong> die 0,2 Grenze überschreitet <strong>und</strong> RS im Setzbetrag B steigt. Außerdem<br />
wird deutlich, dass RS gegenüber <strong>der</strong> Anzahl möglicher Erhöhungen pro<br />
R<strong>und</strong>e <strong>in</strong>variant ist <strong>und</strong> dies ke<strong>in</strong>en signifikanten E<strong>in</strong>fluss hat.<br />
Tabelle 3: Simulationsergebnisse für 2-Personen Straight <strong>Poker</strong><br />
(Quelle: Borm et al., 2008, S. 17)<br />
Die <strong>in</strong>tuitive Erklärung für diesen Sachverhalt ist, dass sich <strong>der</strong> erwartete<br />
Gew<strong>in</strong>n des fiktiven <strong>Spiel</strong>ers um die Verän<strong>der</strong>ung des Setzbetrages B (∆B)<br />
verän<strong>der</strong>t, woh<strong>in</strong>gegen <strong>der</strong> optimale <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e Strategie <strong>der</strong>art verän<strong>der</strong>t,<br />
dass sich nur erwartete Gew<strong>in</strong>ne um den Faktor ∆B än<strong>der</strong>n wenn er Hände mit<br />
e<strong>in</strong>em positiven Erwartungswert hält. Schlechte Hände s<strong>in</strong>d beim optimalen<br />
<strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong>variant gegenüber ∆B <strong>und</strong> verän<strong>der</strong>n nicht se<strong>in</strong>e Strategie.<br />
Zudem stechen noch weitere Determ<strong>in</strong>anten von RS heraus, beson<strong>der</strong>s die<br />
E<strong>in</strong>führung e<strong>in</strong>es sog. Rakes <strong>und</strong> die Anzahl <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er am Tisch.<br />
Die E<strong>in</strong>führung e<strong>in</strong>es Rakes, d.h. <strong>der</strong> Gew<strong>in</strong>ner des Pots tritt e<strong>in</strong>en<br />
prozentualen Teil des Pots immer an den Ausrichter ab, trifft den fiktiven<br />
<strong>Spiel</strong>er am Härtesten, da er den höchsten erwarteten Gew<strong>in</strong>n hat. Dadurch s<strong>in</strong>kt<br />
die Differenz zum optimalen <strong>Spiel</strong>er <strong>und</strong> damit auch RE, was RS steigen lässt.<br />
44
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Wenn die Anzahl <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er am Tisch sich erhöht, gew<strong>in</strong>nt das <strong>Spiel</strong> an<br />
Komplexität, genauso als wenn man die Anzahl <strong>der</strong> Setzr<strong>und</strong>en erhöht.<br />
Dadurch wird mehr Potential für den optimalen <strong>Spiel</strong>er geschaffen, um durch<br />
Informationsgew<strong>in</strong>nung die Informationsasymmetrie zu überbrücken <strong>und</strong> die<br />
Differenz zum fiktiven <strong>Spiel</strong>er schmelzen zu lassen. Dadurch s<strong>in</strong>kt wie<strong>der</strong> RE,<br />
wodurch RS ansteigt. Diese Erkenntnisse lassen sich ebenfalls <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Grafik<br />
abbilden:<br />
Abbildung 16: Messung von RS bei 3 <strong>Spiel</strong>ern<br />
(Quelle: Borm et al., 2008, S.21)<br />
Abbildung 17: Messung von RS bei 4 <strong>Spiel</strong>ern<br />
(Quelle: Borm et al., 2008, S. 21).<br />
45
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
4.2.2 Probabilistischer Ansatz von Fiedler <strong>und</strong> Rock 62<br />
Das Gesetz <strong>der</strong> großen Zahlen beschreibt e<strong>in</strong>en Zusammenhang zwischen e<strong>in</strong>er<br />
relativen Häufigkeit <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Stichprobe <strong>und</strong> <strong>der</strong> zugr<strong>und</strong>e liegenden<br />
theoretischen Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit. Die relative Häufigkeit nähert sich demnach<br />
bei e<strong>in</strong>em h<strong>in</strong>reichend großen Umfang e<strong>in</strong>er Stichprobe <strong>der</strong> tatsächlichen<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit an. In e<strong>in</strong>em 2-Personen-<strong>Poker</strong> mit e<strong>in</strong>em Umfang von n-<br />
R<strong>und</strong>en wurde obiger These bereits nachgegangen <strong>und</strong> getestet, wie stark die<br />
erwarteten Gew<strong>in</strong>ne zweier unterschiedlicher <strong>Spiel</strong>er (Optimal vs. Beg<strong>in</strong>ner)<br />
im Duell divergieren. Da bereits bekannt ist, dass die optimale Strategie <strong>der</strong><br />
naiven Strategie des Anfängers superior ist, wurde angenommen, dass<br />
Gew<strong>in</strong>ne des Anfängers schlicht auf die Glückskomponente des <strong>Poker</strong>s<br />
zurückzuführen s<strong>in</strong>d. Hierbei wurde festgestellt, dass mit zunehmen<strong>der</strong> Dauer<br />
des <strong>Spiel</strong>es (mit steigendem n) die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit, dass <strong>der</strong> Anfänger im<br />
Mittel mehr Gew<strong>in</strong>ne erzielt als <strong>der</strong> optimale <strong>Spiel</strong>er, rapide abnimmt. In<br />
diesem Ansatz wurde die Glückskomponente als e<strong>in</strong>e Art Fehlerterm gesehen,<br />
welcher bei e<strong>in</strong>em h<strong>in</strong>reichend großen Sample gegen se<strong>in</strong>en Erwartungswert<br />
von 0 strebt. Je mehr Hände gespielt werden, umso deutlicher werden dann die<br />
Unterschiede <strong>in</strong> den Fähigkeiten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er. Je größer diese Unterschiede <strong>in</strong><br />
den Fähigkeiten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er s<strong>in</strong>d, desto schneller verliert die<br />
Glückskomponente an Bedeutung. 63<br />
Auf diesen Erkenntnissen beruhend, entstand e<strong>in</strong> an<strong>der</strong>es relatives Maß,<br />
welches <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Kennziffer mündet, die angibt wie viel Hände man spielen<br />
muss, um die Glückskomponente im <strong>Spiel</strong> zu dom<strong>in</strong>ieren. Da es sich hier um<br />
e<strong>in</strong> relatives Maß handelt, wurde es jeweils für verschiedene Nutzer-Gruppen<br />
im Onl<strong>in</strong>e-<strong>Poker</strong> berechnet <strong>und</strong> nimmt verschiedene Größen an.<br />
Das Maß für die relative Dom<strong>in</strong>anz <strong>der</strong> Fähigkeiten im <strong>Poker</strong> gibt an, wie viele<br />
Hände man spielen muss, um den E<strong>in</strong>fluss <strong>der</strong> Glückskomponente zu<br />
dom<strong>in</strong>ieren. Der Punkt bzw. die Anzahl <strong>der</strong> Hände die dazu führen heißt<br />
Critical Repetition Frequency (CRF), anhand dessen <strong>der</strong> Vergleich zu<br />
rechtlichen Regularien herangezogen wird. Strebt dieser Term gegen Null, so<br />
handelt es sich tendenziell um e<strong>in</strong> Glücksspiel <strong>und</strong> bedeutet, dass die<br />
Glückskomponente immer e<strong>in</strong>en elementaren E<strong>in</strong>fluss auf den <strong>Spiel</strong>ausgang<br />
62 Vgl. Fiedler & Rock (2009), S.50-57<br />
63 Vgl. Alon (2007), S. 13ff.<br />
46
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
hat. Aus diesem Ansatz geht e<strong>in</strong>e gr<strong>und</strong>legende Bewertungsgleichung hervor,<br />
welche Glück <strong>und</strong> Fähigkeiten verb<strong>in</strong>det:<br />
(30).<br />
Skill<br />
* 100%<br />
� 50%<br />
Skill � Chance<br />
In diesem Zusammenhang wird Skill als Erwartungswert pro Hand <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
R<strong>und</strong>e def<strong>in</strong>iert <strong>und</strong> Chance als Varianz des Profits e<strong>in</strong>er Hand. Wenn die<br />
Ungleichung (30) wahr ist, so ist <strong>Poker</strong> eher von den Fähigkeiten determ<strong>in</strong>iert<br />
als vom Glück e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers. Die Fähigkeiten e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers i nach n<br />
gespielten Händen seien Skilli = Eni (X) <strong>und</strong> das Glück als Chance i � �� ni<br />
def<strong>in</strong>iert, so än<strong>der</strong>t sich Ungleichung (30) zu:<br />
E<br />
ni<br />
E<br />
( X )<br />
( X )<br />
ni<br />
� �� ni<br />
* 100%<br />
�<br />
50%<br />
(31).<br />
Die Kennziffer CRF gibt nun an, ab welcher Zahl an gespielten Händen das<br />
<strong>Spiel</strong> h<strong>in</strong>sichtlich se<strong>in</strong>er Kategorisierung <strong>in</strong>determ<strong>in</strong>iert ist, d.h. wenn aus <strong>der</strong><br />
Ungleichung (30) e<strong>in</strong>e Gleichung <strong>und</strong> nach n aufgelöst wird. Nach e<strong>in</strong>igem<br />
Umformen ergibt sich für die CRF des <strong>Spiel</strong>ers i schließlich:<br />
(32).<br />
n * �<br />
i<br />
� �<br />
� �2 2<br />
�� 1i<br />
E ( X )<br />
1i<br />
Im Zuge e<strong>in</strong>er empirischen Studie wurde die CRF für verschiedene Nutzer-<br />
Gruppen im Onl<strong>in</strong>e-<strong>Poker</strong> untersucht. Die Gr<strong>und</strong>gesamtheit belief sich hierbei<br />
auf 51761 <strong>Spiel</strong>erprofile <strong>der</strong> Onl<strong>in</strong>e-Plattformen Partypoker <strong>und</strong> <strong>Poker</strong>stars.<br />
Als Erfolgsmaß <strong>und</strong> Indiz für gehobene Fähigkeiten wurde <strong>der</strong> erwartete Profit<br />
pro Hand gewählt. Die Differenzierung <strong>der</strong> Nutzergruppen erfolgte anhand<br />
ihrer gezahlten E<strong>in</strong>trittsgebühren (nur <strong>in</strong> Turnieren) <strong>und</strong> präferierten Bl<strong>in</strong>d-<br />
Level (nur <strong>in</strong> Cash-Games).<br />
47
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Tabelle 4: Überblick über die differenzierten Nutzergruppen<br />
(Quelle: Fiedler & Rock, 2009, S. 54).<br />
Anhand <strong>der</strong> obigen Tabelle wird deutlich, dass <strong>der</strong> Homogenitätsgrad <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er h<strong>in</strong>sichtlich <strong>der</strong> Fähigkeiten mit zunehmenden E<strong>in</strong>trittsgebühren bzw.<br />
Bl<strong>in</strong>d-Levels zunimmt. Auf Basis <strong>der</strong> Erkenntnisse am Anfang des Teilkapitels<br />
ist demnach zu erwarten, dass mit zunehmen<strong>der</strong> Homogenität unter den<br />
<strong>Spiel</strong>ern mehr Hände gespielt werden müssen, um den E<strong>in</strong>fluss <strong>der</strong><br />
Glückskomponente zu m<strong>in</strong>imieren. Wenn zwei <strong>Spiel</strong>er sich auf e<strong>in</strong>em relativ<br />
gleichem Niveau begegnen, verlieren die Fähigkeiten mangels Effizienz an<br />
Bedeutung <strong>und</strong> das Glück bee<strong>in</strong>flusst den <strong>Spiel</strong>ausgang mehr. Es muss dann<br />
länger gespielt werden (höheres n), damit die anfangs marg<strong>in</strong>alen Unterschiede<br />
deutlich werden <strong>und</strong> die Glückskomponente an E<strong>in</strong>fluss verliert.<br />
Mit steigenden E<strong>in</strong>trittsgebühren s<strong>in</strong>kt demnach die relative Bedeutung <strong>der</strong><br />
Fähigkeiten, da die Homogenität unter den <strong>Spiel</strong>ern zunimmt <strong>und</strong> weniger<br />
befähigte <strong>Spiel</strong>er die Partizipation an e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e vermeiden. Dies<br />
bedeutet ebenso, dass das Erfolgsmaß s<strong>in</strong>ken muss, da weniger schlechte<br />
<strong>Spiel</strong>er am Tisch s<strong>in</strong>d <strong>und</strong> <strong>der</strong> erwartete Gew<strong>in</strong>n pro Hand stärkeren<br />
Schwankungen unterworfen ist, da das Glück an E<strong>in</strong>fluss gew<strong>in</strong>nt. Diese<br />
Implikationen gew<strong>in</strong>nen durch die empirische Studie an Relevanz, da die<br />
Ergebnisse qualitativ <strong>in</strong> dieselbe Richtung gehen:<br />
48
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Tabelle 5: Empirische Ergebnisse <strong>der</strong> Onl<strong>in</strong>e-Studie<br />
(Quelle: Fiedler & Rock, 2009, S.55)<br />
In <strong>der</strong> obigen Tabelle werden die Nutzergruppen anhand <strong>der</strong> Erfahrung<br />
differenziert <strong>und</strong> ihre spezifischen Kennzahlen aufgelistet. Hier ist zu<br />
beobachten, dass <strong>der</strong> erwartete Gew<strong>in</strong>n pro Hand abnimmt, je erfahrener die<br />
Nutzergruppe bzw. die Gegner s<strong>in</strong>d. Dies lässt sich beson<strong>der</strong>s auf die<br />
gestiegene Qualität <strong>der</strong> Gegner zurückführen. Zudem nimmt die CRF mit<br />
steigen<strong>der</strong> Erfahrung <strong>der</strong> Nutzergruppen zu, was sich auf die zuvor genannten<br />
Implikationen zurückführen lässt. Die steigende Homogenität unter den<br />
<strong>Spiel</strong>ern sorgt dafür, dass <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>en immer mehr durch Glück entschieden<br />
werden, weil sich die Fähigkeiten unter den <strong>Spiel</strong>ern zu stark ähneln, um <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>er R<strong>und</strong>e entscheidend zu se<strong>in</strong>. Es bedarf unter sehr erfahrenen <strong>Spiel</strong>ern an<br />
bis zu 50mal mehr Wie<strong>der</strong>holungen o<strong>der</strong> Händen als bei Anfängern, damit das<br />
<strong>Spiel</strong> <strong>in</strong> diesem Bereich als Strategiespiel anerkannt wird.<br />
4.3 Lernverhalten im <strong>Poker</strong>: Experimente <strong>und</strong> Resultate<br />
In diesem Teilkapitel sollen verschiedene experimentelle Ansätze vorgestellt<br />
werden, <strong>in</strong> denen das Lernverhalten e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers im Fokus steht. Dies betrifft<br />
primär die Entwicklung <strong>der</strong> Strategie e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers, welche sich über die Zeit<br />
durch Sammlung von Erfahrung verän<strong>der</strong>t.<br />
In dem ersten Experiment 64 werden die Probanden <strong>in</strong> zwei Gruppen unterteilt<br />
<strong>und</strong> die Lerneffekte sollen anhand e<strong>in</strong>es “Vorher-Nachher“-Vergleichs <strong>der</strong><br />
beiden Gruppen verdeutlicht werden. Dieses Experiment lässt sich ferner <strong>in</strong><br />
64 Vgl. Dedonno & Detterman (2008), S. 31- 36.<br />
49
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
zwei Studien (Studie 1 <strong>und</strong> Studie 2) unterteilen, wobei die zweite Studie die<br />
erste leicht spezifiziert. Das Experiment wurde <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Computerlabor<br />
durchgeführt, wo die Teilnehmer die <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>en an e<strong>in</strong>er Software <strong>der</strong><br />
Version Texas Hold`em simulierten.<br />
Studie 1: In dieser Studie spielen alle Teilnehmer 8 <strong>Spiel</strong>e Texas Holden,<br />
wobei jedes <strong>Spiel</strong> aus 25 Händen besteht. Nach <strong>der</strong> Hälfte <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>e wurde das<br />
Experiment kurz unterbrochen <strong>und</strong> die Teilnehmer wurden <strong>in</strong> zwei Gruppen<br />
unterteilt. Diesen Gruppen wurden <strong>in</strong> getrennten Räumen Informationen über<br />
<strong>Poker</strong> vermittelt <strong>und</strong> diese Informationen hatten verschiedene Inhalte. Die erste<br />
Gruppe (Treatment Group) hat relativ nützliche Informationen über das <strong>Spiel</strong><br />
erhalten, dazu gehörten im Wesentlichen die Wertigkeitstabelle <strong>der</strong><br />
<strong>Poker</strong>hände, das Rank<strong>in</strong>g <strong>der</strong> Starthände sowie Ratschläge den Gegner zu<br />
beobachten <strong>und</strong> relativ konservativ zu spielen. Die an<strong>der</strong>e Gruppe (Control<br />
Group) wurde über historische Fakten des <strong>Poker</strong>s unterrichtet, wozu die<br />
Geschichte <strong>und</strong> Entwicklung des <strong>Spiel</strong>es sowie die verschiedenen Varianten<br />
des <strong>Poker</strong>s gehörten. Nachdem die Sitzungen vorbei waren, setzten die<br />
Teilnehmer ihre restlichen <strong>Spiel</strong>e am Computerlabor fort.<br />
Um den Effekt <strong>der</strong> Instruktionen nach <strong>der</strong> Hälfte <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>e zu bestimmen,<br />
wurde die durchschnittliche Profitabilität <strong>in</strong>nerhalb <strong>der</strong> Gruppen bestimmt <strong>und</strong><br />
als Vergleichsmaßstab herangezogen. Entscheidend ist die Differenz vor (T1)<br />
<strong>und</strong> nach (T2) nach den gruppenspezifischen Instruktionen. Die Ergebnisse <strong>der</strong><br />
ersten Studie s<strong>in</strong>d <strong>in</strong> <strong>der</strong> nachfolgenden Abbildung dargestellt:<br />
Abbildung 18: Ergebnisse <strong>der</strong> ersten experimentellen Studie<br />
(Quelle: Dedonno & Detterman, 2008, S.33)<br />
50
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Als Resultat <strong>der</strong> ersten Studie lässt sich ableiten, dass die Instruktionen über<br />
die Strategie effizient waren <strong>und</strong> <strong>in</strong> ihrer Wirkung den historischen <strong>und</strong> nicht-<br />
anwendbaren Informationen überlegen waren. Bei den Teilnehmern <strong>der</strong> ersten<br />
Gruppe wurde e<strong>in</strong> Lerneffekt erzielt, woh<strong>in</strong>gegen die zweite Gruppe zwar mit<br />
relativ unwichtigen Informationen überladen wurde, aber dennoch profitabler<br />
spielte nach den Sitzungen. Beide Gruppen spielten dennoch <strong>in</strong>sgesamt<br />
unprofitabel, wobei die erste Gruppe h<strong>in</strong>terher im Mittel fast ke<strong>in</strong>e Verluste zu<br />
verbuchen hatte.<br />
Studie 2: In <strong>der</strong> zweiten Studie wurde die Komplexität <strong>und</strong> Dauer des<br />
Experimentes erhöht. Es wurden 3 Sitzungen im Computerlabor vere<strong>in</strong>bart,<br />
welche jeweils aus 6 <strong>Spiel</strong>en bestanden. E<strong>in</strong> e<strong>in</strong>zelnes <strong>Spiel</strong> wurde aus 40<br />
Händen gebildet, sodass die Teilnehmer <strong>in</strong>sgesamt 720 Hände spielten. Das<br />
Schema des Experimentes war gleich geblieben (Vergleich Treatment vs.<br />
Control Group), <strong>der</strong> Ablauf wurde nur komplexer. Die erste Sitzung wurde <strong>in</strong><br />
drei Abschnitte geglie<strong>der</strong>t, <strong>in</strong> denen die <strong>Spiel</strong>er nützlichen o<strong>der</strong> weniger<br />
nützliche Informationen vermittelt wurden. Nach 2 <strong>Spiel</strong>en wurde jeweils<br />
immer e<strong>in</strong> Treffen <strong>der</strong> beiden Gruppen e<strong>in</strong>berufen, sodass e<strong>in</strong>e Sitzung im<br />
Computerlabor mit zwei gruppenspezifischen Treffen verb<strong>und</strong>en war. 65<br />
Während <strong>der</strong> ersten Sitzung wurde den Teilnehmer <strong>in</strong> <strong>der</strong> Treatment-Group<br />
spezifisches Wissen über das Hände-Rank<strong>in</strong>g (T2) <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e Basisstrategie<br />
sowie die Bedeutung <strong>der</strong> Position (T3) vermittelt. In <strong>der</strong> zweiten Sitzung<br />
wurden den Teilnehmern zwischen den <strong>Spiel</strong>en das Konzept <strong>der</strong> Pot-Odds (T5)<br />
<strong>und</strong> e<strong>in</strong>e elementare Pre-Flop Strategie nahe gebracht (T6). Die Instruktionen<br />
während <strong>der</strong> letzten Sitzung be<strong>in</strong>halteten e<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Post-Flop<br />
Strategie (T8) sowie e<strong>in</strong>e spezifische Turn& River-Strategie (T9). Den<br />
Teilnehmer <strong>der</strong> zweiten Gruppe (Control Group) wurden wie<strong>der</strong> historische<br />
<strong>und</strong> nicht-anwendbare Information vermittelt. Im Unterschied zur ersten Studie<br />
wurden den Teilnehmern Sachpreise <strong>in</strong> Aussicht gestellt, welche sie abhängig<br />
von ihrer <strong>in</strong>dividuellen Performance gew<strong>in</strong>nen konnten.<br />
Ähnlich wie <strong>in</strong> <strong>der</strong> ersten Studie schnitten die Teilnehmer <strong>der</strong> ersten Gruppe<br />
(Treatment Group) im Mittel besser ab, jedoch bewegten sich beide Gruppen <strong>in</strong><br />
<strong>der</strong> Verlustzone. Es fällt zudem auf, dass beson<strong>der</strong>s die ersten Instruktionen die<br />
besten Lerneffekte erzielen, welche durch die gesteigerten durchschnittlichen<br />
65 Nach dem Ende e<strong>in</strong>er Sitzung im Computerlabor erfolgte ke<strong>in</strong> weiteres Gruppentreffen.<br />
51
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Gew<strong>in</strong>ne <strong>in</strong> <strong>der</strong> ersten Gruppe impliziert werden. Auffällig ist zudem, dass<br />
Lerneffekte leicht verspätet e<strong>in</strong>treten können, was positive Sprünge zwischen<br />
zwei Sitzungen im Computerlabor implizieren (zwischen T3 <strong>und</strong> T4). Die<br />
Teilnehmer müssen die aufgenommene Information erst ver<strong>in</strong>nerlichen <strong>und</strong><br />
können leicht mit Information überladen werden. In diesem Kontext erwiesen<br />
sich beson<strong>der</strong>s die Kenntnisse über das Hände-Rank<strong>in</strong>g <strong>und</strong> Ratschläge für das<br />
Verhalten nach dem Flop als hilfreich, da nach diesen Instruktionen die größten<br />
Sprünge gemacht wurden.<br />
Abbildung 19: Ergebnisse <strong>der</strong> zweiten experementellen Studie<br />
(Quelle: Dedonno & Detterman, 2008, S. 35)<br />
Zudem wurde <strong>in</strong> <strong>der</strong> zweiten Studie deutlich, dass die Teilnehmer <strong>der</strong> ersten<br />
Gruppe deutlich weniger Hände spielten als die <strong>der</strong> Vergleichsgruppe.<br />
Beson<strong>der</strong>s deutlich wurde diese Tatsache nach <strong>der</strong> ersten Instruktion über das<br />
Hände-Rank<strong>in</strong>g <strong>und</strong> den H<strong>in</strong>tergurnd, dass das Rank<strong>in</strong>g auf <strong>der</strong> Profitabilität<br />
<strong>der</strong> Hände basiert <strong>und</strong> manche Hände Verluste br<strong>in</strong>gen. Das gleiche Phänomen,<br />
nur nicht so stark, trat auch bei <strong>der</strong> Vergleichsgruppe auf <strong>und</strong> impliziert<br />
“Learn<strong>in</strong>g by Do<strong>in</strong>g“.<br />
52
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Abbildung 20: Verän<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Frequenz gespielter Hände<br />
(Quelle: Dedonno & Detterman, 2008, S.36)<br />
Im zweiten Experiment 66 stehen die gemischten Strategien <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er im<br />
Fokus, wie sie z.B. im Basis-Modell des Von Neumann/Morgenstern <strong>Poker</strong>s<br />
unter optimalen Verhalten entstehen. In diesem Ansatz soll die beobachtete<br />
Strategie <strong>der</strong> Teilnehmer <strong>der</strong> theoretischen bzw. prognostizierten Strategie<br />
gegenüber gestellt werden. Jede Verän<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Strategie wird als Lerneffekt<br />
gesehen, da diese Verän<strong>der</strong>ung nicht willkürlich erfolgt, son<strong>der</strong>n auf Basis von<br />
Erfahrungen.<br />
Aufbau : In diesem Experiment spielten die Teilnehmer e<strong>in</strong>e stark vere<strong>in</strong>fachte<br />
Version des <strong>Poker</strong>s, welche pr<strong>in</strong>zipiell dieselben Eigenschaften besitzt wie das<br />
Basismodell aus Kap. 3.1.2. Die beiden zu untersuchenden Größen <strong>in</strong> diesem<br />
Experiment waren zum e<strong>in</strong>en die Bluff-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit p durch den <strong>Spiel</strong>er<br />
A (frühe Position) <strong>und</strong> zum an<strong>der</strong>en die Call-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit q durch den<br />
<strong>Spiel</strong>er B (späte Position). Die Teilnehmer schlüpften zufällig <strong>in</strong> die Rolle <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er <strong>und</strong> spielten gegene<strong>in</strong>an<strong>der</strong> bis e<strong>in</strong>er <strong>der</strong> beiden ke<strong>in</strong>e Chips mehr hatte<br />
o<strong>der</strong> die Periode (bzw. die Anzahl <strong>der</strong> R<strong>und</strong>en) vorrüber war. H<strong>in</strong>terher<br />
wurden die Ausrichter über die Stacks <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er unterrichtet <strong>und</strong> das <strong>Spiel</strong><br />
wurde <strong>in</strong> vertauschten Rollen bzw. Positionen zwischen <strong>Spiel</strong>ern wie<strong>der</strong>holt.<br />
Anschließend wurden die <strong>Spiel</strong>er gemäß e<strong>in</strong>es Wechselkurses ausgezahlt <strong>und</strong><br />
damit war das Experiment zu Ende. Dieses Verfahren wurde mit verschiedenen<br />
Setzgrößen wie<strong>der</strong>holt (C2 = 2 Chips, C4 = 4 Chips <strong>und</strong> C6 = 6 Chips), um zu<br />
prüfen <strong>in</strong>wiefern e<strong>in</strong> experimenteller Zusammenhang zwischen <strong>der</strong> Größe des<br />
Setzens mit den relevanten strategischen Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten besteht. Ebenso<br />
66 Vgl. Rapoport et al. (1997), S.31-49.<br />
53
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
wurde die Dauer des Experimentes variiert (C2 = 72 R<strong>und</strong>en, C4 = C6 = 120<br />
R<strong>und</strong>en).<br />
Resultate : Als erstes lässt sich festhalten, dass je höher <strong>der</strong> Setzbetrag ist,<br />
desto niedriger ist die Call-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit q. Zudem werden theoretisch<br />
als dom<strong>in</strong>iert bezeichnete Strategien tatsächlich durch die Teilnehmer nicht<br />
gewählt. Die Bluff-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit ersche<strong>in</strong>t dagegen als <strong>in</strong>variant<br />
gegenüber des Setzbetrages.<br />
Tabelle 6: Übersicht <strong>der</strong> Wahrsche<strong>in</strong>lickeiten unter den verschiedenen<br />
Bed<strong>in</strong>gungen<br />
(Quelle: Rapoport et al., 1997, S. 36)<br />
Die Betrachtung <strong>der</strong> Resultate wurde weiter spezifiziert, <strong>in</strong>dem sequentielle<br />
Abhängigkeiten <strong>in</strong> den Aktionen (<strong>und</strong> damit den relativen Häufigkeiten) <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er unterstellt wurden. Wenn e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er e<strong>in</strong>e Entscheidung trifft <strong>und</strong> diese<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>er gewissen Art signifikant von dem Ausgang vorheriger Entscheidungen<br />
abhängig ist, so spricht man von sequentieller Abhängigkeit. Wenn e<strong>in</strong>e<br />
Erfahrung mit e<strong>in</strong>er vorherigen Entscheidung ke<strong>in</strong>en E<strong>in</strong>fluss auf die aktuelle<br />
Entscheidung hat, so lässt sich Lernverhalten aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> sequentiellen<br />
Unabhängigkeit ausschließen. So spielt es bspw. ke<strong>in</strong>e Rolle, dass wenn man<br />
sehr oft blufft, die Gegner daraus lernen <strong>und</strong> als Folge öfter mitgehen. Die<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>es Bluffs ist demnach sequentiell unabhängig, wenn die<br />
<strong>Spiel</strong>er gedächtnislos agieren. Um diesen Zusammenhang näher zu beleuchten,<br />
rücken anstatt <strong>der</strong> e<strong>in</strong>fachen unbed<strong>in</strong>gten Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten p <strong>und</strong> q die<br />
bed<strong>in</strong>gten Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten P(R /...) <strong>und</strong> P(C / .....) erster <strong>und</strong> zweiter<br />
Ordnung <strong>in</strong> den Fokus. Sie beschreiben die realtive Häufigkeit e<strong>in</strong>er Aktion <strong>in</strong><br />
Abhängigkeit von e<strong>in</strong>er o<strong>der</strong> mehreren vorigen Aktionen, wobei R für e<strong>in</strong>e<br />
Erhöhung mit e<strong>in</strong>er schlechten Hand steht (Bluff) <strong>und</strong> C symbolisiert, dass <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er 2 mitgeht.<br />
54
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Für den Fall e<strong>in</strong>er Erhöhung stellte sich heraus, dass die bed<strong>in</strong>gte<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit höher ausfiel, wenn die vorherige Aktion e<strong>in</strong> “drop“ bzw.<br />
check war. Dieser Effekt verstärkte sich, wenn die beiden vorherigen Aktionen<br />
e<strong>in</strong> check waren. Die <strong>Spiel</strong>er neigen immer mehr dazu ihr Verhalten <strong>in</strong> die<br />
entgegengesetzte Richtung zu verän<strong>der</strong>n, je öfter e<strong>in</strong> bestimmtes Verhalten <strong>in</strong><br />
<strong>der</strong> jüngsten Vergangenheit aufgetreten ist (Overalternation Bias). Für <strong>Spiel</strong>er<br />
ist es demnach wünschenswert, nach bestimmten Serien von<br />
Verhaltensmustern ihr Verhalten zu verän<strong>der</strong>n, um nicht zu berechenbar für<br />
ihre Gegner zu se<strong>in</strong>. Diese Tatsache ist <strong>in</strong> allen Experimenten zu beobachten<br />
(C2, C4, C6).<br />
Tabelle 7: Bed<strong>in</strong>gte Bluff-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeieten 1. <strong>und</strong> 2. Ordnung<br />
(Quelle: Rapoport et al., 1997, S.38)<br />
Bei <strong>der</strong> Bestimmung <strong>der</strong> bed<strong>in</strong>gten Call-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten ist dasselbe<br />
Phänomen zu beobachten wie bei <strong>Spiel</strong>er 1. Der <strong>Spiel</strong>er neigt auch hier zum<br />
sog. Overalternation Bias <strong>und</strong> dies umso stärker nach e<strong>in</strong>er Serie von<br />
Verhaltensmustern <strong>in</strong> <strong>der</strong> jüngsten Vergangenheit. Diese Erkenntnisse erweisen<br />
sich <strong>in</strong> den Konditionen C2 <strong>und</strong> C6 als signifikant.<br />
Tabelle 8: Bed<strong>in</strong>gte Call-Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten 1. <strong>und</strong> 2. Ordnung<br />
(Quelle: Rapoport et al., 1997, S.38)<br />
Als Ergebnis <strong>der</strong> Studie stellte sich heraus, dass <strong>Spiel</strong>er 1 zu selten blufft <strong>und</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er 2 zu oft mitgeht im Vergleich zu den Prognosen aus <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>theorie.<br />
Beide <strong>Spiel</strong>er weichen von ihrem optimalen Verhalten ab.<br />
55
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Zur Erklärung dieser Resultate werden Ansätze des adaptiven Lernverhaltens<br />
herangezogen. In diesen Ansätzen legt <strong>der</strong> e<strong>in</strong>zelne <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e relevante<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit fest, <strong>in</strong>dem er aus Erfahrungen aus Situationen mit e<strong>in</strong>er<br />
ähnlichen Aufgabe se<strong>in</strong>e Lehren zieht. Diese Erfahrungen s<strong>in</strong>d im<br />
Wesentlichen von Gew<strong>in</strong>nen o<strong>der</strong> Verlusten gekennzeichnet, die den <strong>Spiel</strong>er<br />
für se<strong>in</strong> künftiges Verhalten prägen. Der <strong>Spiel</strong>er aktualisiert se<strong>in</strong>e Strategie<br />
nachdem er e<strong>in</strong>e Erfahrung <strong>und</strong> e<strong>in</strong>en Gew<strong>in</strong>n/Verlust mit e<strong>in</strong>er gegebenen<br />
Strategie erlangt hat. Zur Bewertung <strong>der</strong> Gew<strong>in</strong>ne o<strong>der</strong> Verluste wird e<strong>in</strong><br />
Referenzpunkt herangezogen, welcher durch die Anwendung e<strong>in</strong>er Strategie<br />
unter- o<strong>der</strong> überschritten wird. Der Referenzpunkt wird ebenfalls stetig<br />
aktualisiert. Je besser die Erfahrungen mit e<strong>in</strong>er gewissen Strategie s<strong>in</strong>d, desto<br />
wahrsche<strong>in</strong>licher ist e<strong>in</strong>e Anwendung dieser Strategie. Formal nimmt dieses<br />
Modell folgende Gestalt an:<br />
�v, ( 1�<br />
) q ( t)<br />
� E ( j,<br />
R ( )) �<br />
qnj nj nk t<br />
( t �1) � max � y<br />
(32)<br />
�<br />
p nj<br />
R t<br />
nk � qnk<br />
/ q ( t)<br />
(33)<br />
( y)<br />
� y � �(<br />
t)<br />
(34)<br />
�<br />
�(<br />
t � 1)<br />
� ( 1�<br />
w ) �(<br />
t)<br />
für y � �(t)<br />
�<br />
� ( 1�<br />
w ) �(<br />
t)<br />
für y � �(t)<br />
(35)<br />
In diesem Modell stellt v e<strong>in</strong>e positive Konstante dar, um immer e<strong>in</strong>en postiven<br />
Wert für die Strategie j zu erhalten. Gleichung (32) gibt die Neigung des<br />
<strong>Spiel</strong>ers n wie<strong>der</strong> die Strategie j <strong>in</strong> <strong>der</strong> Periode t+1 zu spielen. Diese Neigung<br />
hängt davon ab, <strong>in</strong>wieweit <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er n sich an die Strategie j aus <strong>der</strong><br />
Vorperiode er<strong>in</strong>nern kann ( mit � als Vergesslichkeitsparameter). Der<br />
Ausdruck Enk(....) ist e<strong>in</strong>e Funktion, mit <strong>der</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er nach <strong>der</strong> Erfahrung mit<br />
<strong>der</strong> k-ten Strategie <strong>und</strong> Erhalt des Pay-Offs Rt(y) aus dieser Erfahrung se<strong>in</strong>e<br />
Strategie j aktualisiert. Gleichung (33) gibt die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit an, dass <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er n se<strong>in</strong>e k-te Strategie <strong>in</strong> t spielt. Die Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste werden <strong>in</strong><br />
Belohnungen o<strong>der</strong> Pay-Offs mittels Gleichung (34) transformiert, welche die<br />
E<strong>in</strong>zahlung y mit e<strong>in</strong>em Referenzpunkt �(t) vergleicht. Dieser Referenzpunkt<br />
56
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
wird ebenfalls aktualisiert, was aus Gleichung (35) hervorgeht, wobei w + bzw.<br />
w - die Gewichte für e<strong>in</strong>e positive bzw. negative Belohnung s<strong>in</strong>d. 67<br />
Der E<strong>in</strong>bau <strong>der</strong> sequentiellen Abhängigkeit lässt sich auf die Anwendung<br />
sequentieller kognitiver Strategien zurückführen, wobei für dieses Verhalten<br />
nur zwei Strategien <strong>in</strong> Frage kommen. Da wären die sog. Alternation-<br />
Strategien (ALT), welche die aktuelle Entscheidung von <strong>der</strong> unmittelbar vorher<br />
getroffenen Entscheidung abhängig machen. Auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite ersche<strong>in</strong>en<br />
sog. Gamblers Fallacy- Strategien (GF) sehr passend, um das Verhalten <strong>der</strong><br />
Teilnehmer zu beschreiben. Im Gegensatz zu ALT hängt unter GF die aktuelle<br />
Entscheidung von dem Resultat <strong>der</strong> vorherigen Entscheidung ab <strong>und</strong> nicht von<br />
<strong>der</strong> Entscheidung an sich. Durch den E<strong>in</strong>bau von sequentiellen kognitiven<br />
Strategien ergeben sich folgende aktualisierte bed<strong>in</strong>gte Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten 1.<br />
Ordnung für den Fall e<strong>in</strong>es Bluffs bzw. Calls:<br />
Tabelle 9: Bed<strong>in</strong>gte Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten 1. Ordnung mit sequentiellen<br />
Strategien<br />
(Quelle: Rapoport et al., 1997, S. 45)<br />
Wie <strong>in</strong> obiger Tabelle zu sehen tritt das Phänomen des Overalternation Bias<br />
stärker auf, wenn man sequentielle Strategien unterstellt. Sowohl die Differenz<br />
p(R/D) – p(R/R) als auch die Differenz p(C/F) – p(C/C) ist positiv, wenn man<br />
die sequentielle Strategien unterstellt unabhängig von <strong>der</strong> Art des<br />
Lernverhaltens. Hier wurde dies bzgl. angenommen, dass die <strong>Spiel</strong>er lernen<br />
67 Vgl. Bereby-Meyer & Erev (1998), S. 270-273.<br />
57
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
während sie spielen o<strong>der</strong> nur jeweils nach dem Ende e<strong>in</strong>er Periode. Die Art <strong>und</strong><br />
Weise des Lernens sche<strong>in</strong>t dagegen unerheblich zu se<strong>in</strong>.<br />
Abschließend wurde das Lernverhalten mit <strong>und</strong> ohne sequentiellen Strategien<br />
simuliert <strong>und</strong> festgestellt (Vgl. Abbildung 32 <strong>und</strong> 33 ), dass die <strong>Spiel</strong>er sich im<br />
Uhrzeigers<strong>in</strong>n (UZS) bewegen, wenn man ihr Verhalten <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em<br />
P(Bluff)/P(Call)-Diagramm abbildet. Es lässt sich ableiten, dass anfangs <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er 1 zu selten blufft <strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>er 2 zu oft mitgeht, wenn man die<br />
Gleichgewichtsstrategie als Messlatte heranzieht. Mit <strong>der</strong> Zeit ist e<strong>in</strong>e<br />
Konvergenz zu den Gleichgewichtsstrategien im UZS zu beobachten, was<br />
bedeutet, dass langfristig <strong>Spiel</strong>er 1 mehr bluffen wird <strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>er 2 weniger<br />
mitgeht. Zudem passt sich die Annahme, dass <strong>Spiel</strong>er lernen während sie<br />
spielen (“Learn<strong>in</strong>g by Do<strong>in</strong>g“), besser an die Simulationsergebnisse an.<br />
5 Risk-Tak<strong>in</strong>g im <strong>Poker</strong><br />
Der Schwerpunkt <strong>in</strong> diesem Kapitel liegt <strong>in</strong> <strong>der</strong> Untersuchung des Verhaltens<br />
von <strong>Poker</strong>spielern h<strong>in</strong>sichtlich ihrer Risikobereitschaft <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em dynamischen<br />
Umfeld. Die gr<strong>und</strong>legende Annahme hierbei ist, dass die <strong>Spiel</strong>er nicht mehr<br />
gedächtnislos <strong>und</strong> risikoneutral am Tisch agieren <strong>und</strong> ihre optimale Strategie<br />
<strong>und</strong> <strong>Spiel</strong>stil über R<strong>und</strong>en h<strong>in</strong>weg beibehalten. Mehr Inanspruchnahme von<br />
Risiko bedeutet für den Fall des <strong>Poker</strong>s, dass die <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong> o<strong>der</strong> nach<br />
bestimmten Situationen ihren <strong>Spiel</strong>stil wechseln (“tight“ → “loose“ o<strong>der</strong><br />
“passive“ → “aggressive“).<br />
Die Abweichungen o<strong>der</strong> Verän<strong>der</strong>ungen <strong>der</strong> optimalen Strategie sollen zum<br />
e<strong>in</strong>en als Resultate kognitiver Verzerrungen <strong>in</strong> dem Entscheidungsprozess des<br />
<strong>Spiel</strong>ers betrachtet werden. Da es sich beim <strong>Poker</strong> um e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong><br />
asymmetrischer Information handelt <strong>und</strong> das Umfeld e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers von<br />
Unsicherheit geprägt ist, soll primär mithilfe <strong>der</strong> Prospect Theory die<br />
Entscheidungsf<strong>in</strong>dung e<strong>in</strong>es <strong>Poker</strong>spielers erklärt <strong>und</strong> beobachtete<br />
Abweichungen <strong>in</strong>terpretiert werden. In diesem Zusammenhang spielen<br />
Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vergangenheit e<strong>in</strong>e große Rolle <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
Entscheidungsf<strong>in</strong>dung des <strong>Spiel</strong>ers. Der <strong>Spiel</strong>er hat jedoch nicht nur monetäre<br />
58
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Werte im Gedächtnis, son<strong>der</strong>n ebenso Realisationen <strong>der</strong> Zufallselemente im<br />
<strong>Spiel</strong> (Austeilung <strong>der</strong> Private & Community Cards) vorheriger R<strong>und</strong>en. Durch<br />
die Bildung von Erwartungen über künftige Realisationen dieser<br />
Zufallselemente auf Basis <strong>der</strong> Vergangenheit entstehen ebenfalls kognitive<br />
Verzerrungen, da <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er hierbei die stochastischen Eigenschaften des<br />
<strong>Spiel</strong>es komplett ausblendet.<br />
E<strong>in</strong> an<strong>der</strong>er Ansatz, welcher die Verän<strong>der</strong>ungen des <strong>Spiel</strong>stils genauer<br />
fokussiert, baut auf den Eigenschaften e<strong>in</strong>es Turniers auf <strong>und</strong> nicht auf<br />
kognitiven Verzerrungen beim <strong>Spiel</strong>er. Aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Preisstruktur <strong>und</strong> <strong>der</strong><br />
Relevanz <strong>der</strong> ord<strong>in</strong>alen Rangfolge <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er bei <strong>der</strong> Ausschüttung des<br />
Geldes, können ggf. beim <strong>Spiel</strong>er Anreize entstehen, se<strong>in</strong>en <strong>Spiel</strong>stil zu<br />
verän<strong>der</strong>n. Zudem s<strong>in</strong>d <strong>in</strong> diesem Kontext die Abstände <strong>der</strong> Stacks zwischen<br />
den <strong>Spiel</strong>ern e<strong>in</strong>e wesentliche Determ<strong>in</strong>ante, was beson<strong>der</strong>s an <strong>der</strong> sog. Small-<br />
Stack Strategie deutlich wird.<br />
5.1 Risk Tak<strong>in</strong>g durch Kognitive Verzerrungen<br />
In diesem Teilkapitel soll das Risikoverhalten des <strong>Poker</strong>spielers im Fokus<br />
stehen, welches beson<strong>der</strong>s durch Verzerrungen <strong>in</strong> <strong>der</strong> Entscheidungsf<strong>in</strong>dung<br />
e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers bee<strong>in</strong>flusst wird. Diese Verzerrungen entstehen durch e<strong>in</strong>e<br />
vergangenheitsorientierte Entscheidungsf<strong>in</strong>dung des <strong>Spiel</strong>ers, wobei entwe<strong>der</strong><br />
monetäre Werte o<strong>der</strong> Realisationen <strong>der</strong> Zufallselemente im <strong>Spiel</strong> die<br />
Ankerpunkte <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vergangenheit darstellen.<br />
E<strong>in</strong>leitend sollen die wichtigsten <strong>und</strong> im Zusammenhang mit <strong>Poker</strong> relevanten<br />
Erkenntnisse <strong>der</strong> Prospect Theory vorgestellt werden, um e<strong>in</strong>en Gr<strong>und</strong>ste<strong>in</strong> für<br />
die weitere Analyse zu legen. H<strong>in</strong>terher werden zwei Phänomene dargestellt,<br />
welche <strong>in</strong>sb. durch Gew<strong>in</strong>ne o<strong>der</strong> Verluste des <strong>Spiel</strong>ers <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vergangenheit<br />
ausgelöst werden, nämlich die Break-Even Hypothese <strong>und</strong> den House-Money<br />
Effekt. Abschließend soll aus e<strong>in</strong>em an<strong>der</strong>en Aspekt das Risikoverhalten <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er betrachtet werden, welcher auf e<strong>in</strong>er gestörten Wahrnehmung <strong>der</strong><br />
Realisationen <strong>der</strong> Zufallselemente im <strong>Spiel</strong> (Gamblers Fallacy) <strong>und</strong> <strong>der</strong><br />
eigenen Fähigkeiten (Hot-Hand Fallacy) beruht.<br />
59
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
5.1.1 E<strong>in</strong>e kurze E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> die Prospect Theory 68<br />
Im Gegensatz zur bisherigen Analyse wird nun die Annahme aufgegeben, dass<br />
e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e Entscheidungen nach re<strong>in</strong>en Erwartungswerten trifft, da <strong>in</strong><br />
diesen Werten Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste genau gemäß ihrer Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
<strong>in</strong>tegriert werden. Im Folgenden wird e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e Partizipation an e<strong>in</strong>er<br />
<strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e o<strong>der</strong> das <strong>Spiel</strong>en e<strong>in</strong>er Starthand nicht mehr risikoneutral bewerten,<br />
da mögliche Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste unterschiedlich <strong>in</strong> diese Bewertung<br />
e<strong>in</strong>gehen, wenn e<strong>in</strong> Entscheidungsträger (ET) unter Unsicherheit <strong>und</strong> Risiko<br />
agiert.<br />
Wenn e<strong>in</strong> ET vor <strong>der</strong> Wahl e<strong>in</strong>es Erwerbs e<strong>in</strong>er Lotterie steht, was bedeutet,<br />
dass ihm unsichere <strong>und</strong> zustandsabhängige E<strong>in</strong>kommen zustehen, wägt er den<br />
Erwerb anhand se<strong>in</strong>er subjektiven Bewertung <strong>der</strong> Lotterie ab. Die subjektive<br />
Bewertung durch den ET vollzieht sich pr<strong>in</strong>zipiell <strong>in</strong> zwei Phasen, nämlich <strong>in</strong><br />
den sog. Edit<strong>in</strong>g <strong>und</strong> Valuation Phasen.<br />
Im Mittelpunkt <strong>der</strong> ersten Phase steht die Formulierung des<br />
Entscheidungsproblems durch den ET, welche auf Basis e<strong>in</strong>es mentalen Kontos<br />
durchgeführt wird. Zuerst legt <strong>der</strong> ET e<strong>in</strong>en Referenzpunkt fest, ab welchem<br />
die zustandsabhängigen E<strong>in</strong>kommen als Verluste bzw. Gew<strong>in</strong>ne gesehen<br />
werden (Cod<strong>in</strong>g). Dieser Referenzpunkt ist nicht fix, son<strong>der</strong>n kann sich <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>em dynamischen Umfeld je nach Erwartungen <strong>und</strong> Erfahrungen des ET<br />
verschieben.<br />
Außerdem spielt die Codierung früherer E<strong>in</strong>kommen für die Attraktivität e<strong>in</strong>er<br />
aktuellen Lotterie e<strong>in</strong>e große Rolle, da frühere Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste <strong>in</strong> die<br />
aktuelle Entscheidungsf<strong>in</strong>dung <strong>in</strong>tegriert werden können, was e<strong>in</strong>em<br />
gedächtnisbasierten Verhalten des ET entsprechen würde. 69 In Experimenten<br />
zur Verarbeitung früherer E<strong>in</strong>kommen <strong>in</strong> die aktuelle Entscheidung wurde<br />
deutlich, dass ET nach dem Pr<strong>in</strong>zip des Quasi- Hedonic Edit<strong>in</strong>g handeln, was<br />
bedeutet, dass <strong>der</strong> ET se<strong>in</strong> Problem <strong>der</strong>art formuliert, sodass ihm Lotterien<br />
möglichst attraktiv ersche<strong>in</strong>en. 70 Demnach werden frühere Verluste nicht <strong>in</strong><br />
68<br />
Vgl. Kahneman & Tversky (1979), S. 263-291 <strong>und</strong> Tversky & Kahneman (1992), S. 297-<br />
323.<br />
69<br />
Vgl. Gärl<strong>in</strong>g & Romanus (1997), S. 289f.<br />
70<br />
Dies spielt lediglich für den House-Money Effekt e<strong>in</strong>e beson<strong>der</strong>e Rolle.<br />
60
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
mögliche Verluste <strong>der</strong> aktuellen Lotterie <strong>in</strong>tegriert, woh<strong>in</strong>gegen frühere<br />
Gew<strong>in</strong>ne <strong>in</strong> mögliche Verluste <strong>in</strong>tegriert werden <strong>und</strong> diese schmälern. 71<br />
Zudem werden <strong>in</strong> <strong>der</strong> Problemformulierung sichere Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste von<br />
<strong>der</strong> Lotterie abgetrennt (Segregation) <strong>und</strong> Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten <strong>der</strong> jeweiligen<br />
Zustände werden aufger<strong>und</strong>et (Simplifikation). Schließlich werden, ähnlich<br />
wie <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>theorie, stochastisch dom<strong>in</strong>ierte Alternativen ausgeschlossen<br />
<strong>und</strong> s<strong>in</strong>d <strong>in</strong> <strong>der</strong> weiteren Betrachtung irrelevant.<br />
Die zweite Phase <strong>der</strong> Entscheidungsf<strong>in</strong>dung setzt sich mit <strong>der</strong> f<strong>in</strong>alen<br />
Bewertung e<strong>in</strong>er Lotterie ause<strong>in</strong>an<strong>der</strong>, was voraussetzt, dass <strong>der</strong> ET se<strong>in</strong><br />
Problem bereits passend formuliert hat. E<strong>in</strong>e Lotterie habe zwei Zustände,<br />
nämlich x <strong>und</strong> y mit P(x) = p <strong>und</strong> P(y) = q, so lautet die Notation e<strong>in</strong>er Lotterie<br />
(x, p; y, q) mit x � 0 � y <strong>und</strong> p + q < 1. Die letzte Bed<strong>in</strong>gung ist für den Fall<br />
des <strong>Poker</strong>s beson<strong>der</strong>s wichtig, da immer zum<strong>in</strong>dest die marg<strong>in</strong>ale Möglichkeit<br />
e<strong>in</strong>es Unentschieden besteht <strong>und</strong> nicht jede Hand entwe<strong>der</strong> gewonnen o<strong>der</strong><br />
verloren wird.<br />
Für die Bewertung <strong>der</strong> Lotterie wird e<strong>in</strong>e Bewertungsfunktion V(..)<br />
herangezogen, welche Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste unterschiedlich <strong>und</strong> relativ zu<br />
e<strong>in</strong>em Referenzpunkt bewertet. Demnach s<strong>in</strong>d Verän<strong>der</strong>ungen im Vermögen<br />
des ET wichtiger als Endvermögenspositionen an sich. In dieser<br />
Bewertungsfunktion werden, wie e<strong>in</strong>gangs erwähnt, Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste<br />
unterschiedlich gewichtet. Diese Tatsache liegt dar<strong>in</strong> begründet, dass <strong>der</strong> ET<br />
e<strong>in</strong>e unterschiedliche Risikoe<strong>in</strong>stellung aufweist <strong>und</strong> sich nicht neutral<br />
gegenüber Gew<strong>in</strong>nen <strong>und</strong> Verlusten verhält. E<strong>in</strong> ET präferiert e<strong>in</strong>e sichere<br />
Zahlung gegenüber e<strong>in</strong>er Lotterie mit gleichem Erwartungswert, wenn diese<br />
Zahlung positiv ist <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e Lotterie gegenüber <strong>der</strong> sicheren Zahlung, wenn die<br />
Zahlung negativ ist. Hieraus lässt sich ableiten, dass <strong>der</strong> ET im Gew<strong>in</strong>nbereich<br />
risikoavers ist, woh<strong>in</strong>gegen er im Verlustbereich e<strong>in</strong>e Streuung <strong>der</strong> Zahlung<br />
bevorzugt. Ferner haben beide Bereiche geme<strong>in</strong>, dass <strong>der</strong> marg<strong>in</strong>ale Wert <strong>der</strong><br />
Zahlung abnehmend ist, je höher die Zahlung ausfällt (dim<strong>in</strong>ish<strong>in</strong>g sensitivity).<br />
Dieses Phänomen bedeutet bspw., dass die Wertdifferenz zwischen Gew<strong>in</strong>nen<br />
von 200 GE <strong>und</strong> 100 GE größer ist als die Wertdifferenz zwischen 1200 GE<br />
<strong>und</strong> 1100 GE, für den Verlustbereich gilt dasselbe Pr<strong>in</strong>zip. Als Ergebnis lässt<br />
sich festhalten, dass die Wertfunktion im Gew<strong>in</strong>nbereich konkav ist <strong>und</strong> im<br />
71 Vgl. Thaler & Johnson (1990), S. 650 ff. <strong>und</strong> Yu & Wang (2009), S. 6f.<br />
61
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Verlustbereich konvex. Außerdem ist h<strong>in</strong>zuzufügen, dass Verluste <strong>und</strong><br />
Gew<strong>in</strong>ne, wenn sie im denselben Betrag ausfallen, nicht gleich bewertet<br />
werden, son<strong>der</strong>n e<strong>in</strong> Verlust im absoluten Wert die Bewertung e<strong>in</strong>es Gew<strong>in</strong>ns<br />
übersteigt, sodass für x = y gilt, v(x) < – v (– x). E<strong>in</strong> Verlust wird demnach<br />
höher bestraft als e<strong>in</strong> Gew<strong>in</strong>n gleichen Betrages belohnt würde. Als Folge ist<br />
die Wertfunktion im Verlustbereich steiler als im Gew<strong>in</strong>nbereich, was e<strong>in</strong>e<br />
Verlustaversion des ET impliziert.<br />
Abbildung 21: Bewertungsfunktion <strong>in</strong> <strong>der</strong> Prospect Theory<br />
(Quelle: Yu & Wang, 2009, S. 6)<br />
Um die Bewertung <strong>der</strong> Lotterie zum Abschluss zu br<strong>in</strong>gen, ist es notwendig,<br />
dass die e<strong>in</strong>zeln identifizierten <strong>und</strong> bewerteten Zustände nun gewichtet werden,<br />
um e<strong>in</strong> Gesamturteil über die Lotterie zu fällen. Ähnlich wie <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em<br />
risikoneutralen Ansatz werden die e<strong>in</strong>zelnen Zustände mit den dazugehörigen<br />
E<strong>in</strong>trittswahrsche<strong>in</strong>lichkeiten gewichtet, woraus sich e<strong>in</strong>e Art Erwartungswert<br />
ergibt. E<strong>in</strong> weiterer Unterschied zum risikoneutralen Ansatz liegt dar<strong>in</strong>, dass<br />
nicht primär die E<strong>in</strong>trittswahrsche<strong>in</strong>lichkeiten <strong>der</strong> Zustände genutzt werden,<br />
son<strong>der</strong>n diese <strong>in</strong> Entscheidungsgewichte transformiert werden. Die<br />
Entscheidungsgewichte s<strong>in</strong>d z.B. als subjektive Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten zu<br />
<strong>in</strong>terpretieren <strong>und</strong> spiegeln die Attraktivität e<strong>in</strong>er Lotterie wi<strong>der</strong>. Die<br />
Entscheidungsgewichte summieren sich (im Gegensatz zu den objektiven<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten) nicht zu 1 <strong>und</strong> unterliegen systematischen<br />
Verzerrungen. Diese Verzerrungen resultierten aus experimentellen Studien<br />
62
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
<strong>und</strong> implizieren, dass ET dazu neigen kle<strong>in</strong>e Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten zu über-<br />
bzw. große Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten zu unterschätzen. Außerdem werden<br />
Zustände mit sehr kle<strong>in</strong>en E<strong>in</strong>trittswahrsche<strong>in</strong>lich gänzlich ausgeschlossen. Die<br />
E<strong>in</strong>trittswahrsche<strong>in</strong>lichkeiten p(..) werden mittels e<strong>in</strong>er Gewichtungsfunktion<br />
� ( p(..))<br />
zu Entscheidungsgewichten transformiert.72<br />
Abbildung 22: Gewichtungsfunktion <strong>in</strong> <strong>der</strong> Prospect Theory<br />
(Quelle: Yu & Wang, 2009, S. 6)<br />
Wie im Schaubild 22 zu sehen ist, bewegt sich die Gewichtungsfunktion<br />
zwischen 0 <strong>und</strong> 1, was bedeutet, dass <strong>in</strong> es diesen Punkten nicht zu<br />
Verzerrungen kommt, wenn man vom Schnittpunkt absieht. Diese Bereiche<br />
s<strong>in</strong>d jedoch für die Entscheidungsf<strong>in</strong>dung irrelevant, da es sich entwe<strong>der</strong> um<br />
relativ sichere (Certa<strong>in</strong>ty Effekt) o<strong>der</strong> um relativ rare Zustände handelt. Für die<br />
e<strong>in</strong>gangs vorgestellte Lotterie (x, p; y, q) folgt für die Bewertung V(..)<br />
schließlich:<br />
mit<br />
<strong>und</strong><br />
V( x,<br />
p;<br />
y,<br />
q)<br />
� �( p)<br />
v(<br />
x)<br />
��<br />
( q)<br />
v(<br />
y)<br />
(36)<br />
v �<br />
�<br />
( x)<br />
x<br />
für x ≥ 0 (37)<br />
v( x)<br />
�x<br />
72 Vgl. Tversky & Fox (1995), S. 279ff.<br />
�<br />
� �c(<br />
)<br />
für x < 0 (38)<br />
63
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
mit v(0) = 0, � ( 0)<br />
� 0,<br />
� ( 1)<br />
� 1,<br />
c ≥ 1 <strong>und</strong> 0 � � �1<br />
Risikoe<strong>in</strong>stellung.<br />
als Grad <strong>der</strong><br />
In den nachfolgenden Teilkapiteln 5.1.2 <strong>und</strong> 5.1.3 sollen jeweils Effekte<br />
aufgezeigt werden, welche sich aus <strong>der</strong> Prospect Theory ableiten lassen <strong>und</strong><br />
e<strong>in</strong>e hohe Relevanz zum Verhalten im <strong>Poker</strong> aufweisen.<br />
5.1.2 House-Money Effekt <strong>und</strong> Break-Even Hypothese<br />
In diesem Kapitel sollen zwei Effekte vorgestellt werden, die resultieren<br />
können, wenn e<strong>in</strong> ET gedächtnisbasiert agiert <strong>und</strong> frühere E<strong>in</strong>kommen <strong>in</strong> se<strong>in</strong><br />
Entscheidungskalkül zieht. Diese Effekte prognostizieren jeweils <strong>in</strong> ihrer<br />
Richtung e<strong>in</strong>e verschiedene Verän<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Risikoe<strong>in</strong>stellung <strong>und</strong> haben<br />
ebenso <strong>in</strong> ihrer subjektiven Rechtfertigung nichts geme<strong>in</strong>. Abschließend<br />
werden e<strong>in</strong> Experiment <strong>und</strong> e<strong>in</strong>e empirische Analyse zu den relevanten<br />
Inhalten vorgestellt.<br />
House-Money Effekt: Die Entwicklung des House-Money Effektes beg<strong>in</strong>nt<br />
bereits <strong>in</strong> <strong>der</strong> Edit<strong>in</strong>g Phase <strong>der</strong> Entscheidungsf<strong>in</strong>dung <strong>und</strong> folgt auf Basis <strong>der</strong><br />
Quasi-Hedonic Edit<strong>in</strong>g Regeln. Die wichtigsten Erkenntnisse s<strong>in</strong>d zum e<strong>in</strong>en,<br />
dass frühere Gew<strong>in</strong>ne <strong>in</strong> mögliche Verluste e<strong>in</strong>er Lotterie <strong>in</strong>tegriert <strong>und</strong> frühere<br />
Verluste dagegen nicht <strong>in</strong> die Lotterie <strong>in</strong>tegriert werden, we<strong>der</strong> <strong>in</strong> möglichen<br />
Gew<strong>in</strong>nen noch <strong>in</strong> Verlusten. Die Idee hierbei ist, dass frühere Verluste bei<br />
dem ET die Verlustaversion erhöhen <strong>und</strong> dieser Effekt verstärkt wird, wenn die<br />
aktuelle Lotterie nicht die Möglichkeit e<strong>in</strong>es Verlustausgleichs bietet. E<strong>in</strong><br />
früherer Verlust sensibilisiert den ET bzgl. potentieller Verluste <strong>in</strong> <strong>der</strong> Zukunft,<br />
z.B. kann <strong>der</strong> Parameter � aus Gleichung (38) steigen, sodass potentielle<br />
Verluste noch schlechter bewertet werden als vor dem Verlust. 73<br />
Im Gegensatz zu e<strong>in</strong>em früheren Verlust, wird e<strong>in</strong> Gew<strong>in</strong>n <strong>in</strong> die möglichen<br />
Verluste e<strong>in</strong>er Lotterie <strong>in</strong>tegriert, was den potentiellen Verlust schmälert <strong>und</strong><br />
dadurch die Attraktivität <strong>der</strong> Lotterie erhöht. Solange <strong>der</strong> Gew<strong>in</strong>n noch nicht<br />
vollständig erschöpft ist, gelten potentielle Verluste als Reduktion früherer<br />
Gew<strong>in</strong>ne o<strong>der</strong> Verlust “fremden“ Geldes. Durch diesen Prozess s<strong>in</strong>kt die<br />
73 Vgl. Thaler & Johnson (1990), S. 656 f. <strong>und</strong> Gärl<strong>in</strong>g & Romanus (1997), S. 291f.<br />
64
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Verlustaversion beim ET <strong>und</strong> er agiert nach e<strong>in</strong>em Gew<strong>in</strong>n risikoaff<strong>in</strong>er, weil<br />
Verluste nicht mehr so schmerzvoll s<strong>in</strong>d wie nach e<strong>in</strong>em vorherigen Verlust. 74<br />
In Experimenten zum E<strong>in</strong>fluss frühere Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste auf das aktuelle<br />
Risikoverhalten wurde das e<strong>in</strong>geleitete Phänomen evident, <strong>in</strong> denen die<br />
Teilnehmer auf ihre Präferenzen gegenüber Pfer<strong>der</strong>ennen untersucht worden.<br />
Das E<strong>in</strong>kommen <strong>der</strong> Vorperiode wurde <strong>in</strong> drei Szenarien variiert (ke<strong>in</strong><br />
E<strong>in</strong>kommen, Gew<strong>in</strong>n <strong>und</strong> Verlust <strong>in</strong> Periode t – 1) <strong>und</strong> die Teilnehmer sollten<br />
auf e<strong>in</strong>er Skala von 10 bis 90 ihre Zufriedenheit mit dem E<strong>in</strong>kommen (10 =<br />
unzufrieden <strong>und</strong> 90 = sehr zufrieden) sowie die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit des<br />
Erwerbs e<strong>in</strong>er weiteren Lotterie (hier = Pfer<strong>der</strong>ennen; 10 = sehr<br />
unwahrsche<strong>in</strong>lich <strong>und</strong> 90 = sehr wahrsche<strong>in</strong>lich) dokumentieren.<br />
Anschließend wurden die e<strong>in</strong>zelnen Werte mit 50 subtrahiert.<br />
Tabelle 10: Rat<strong>in</strong>gs <strong>der</strong> Zufriedenheit mit den E<strong>in</strong>kommen <strong>und</strong><br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit weiterer Wetten<br />
(Quelle: Gärl<strong>in</strong>g & Romanus, 1997, S. 8)<br />
In den Ergebnissen wird ersichtlich, dass die Bereitschaft <strong>der</strong> Teilnehmer zum<br />
Erwerb e<strong>in</strong>er weiteren Lotterie nach e<strong>in</strong>em Gew<strong>in</strong>n höher ist, als wenn man <strong>in</strong><br />
<strong>der</strong> Vorperiode ke<strong>in</strong> E<strong>in</strong>kommen gehabt o<strong>der</strong> verloren hätte. Die Bereitschaft<br />
zur Lotterie s<strong>in</strong>kt h<strong>in</strong>gegen, wenn man <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vorperiode e<strong>in</strong>en Verlust<br />
h<strong>in</strong>nehmen musste im Vergleich zur Inaktivität. Zudem wird deutlich, dass e<strong>in</strong><br />
Verlust weniger Unzufriedenheit stiftet, wenn die Periode o<strong>der</strong> R<strong>und</strong>e zuvor<br />
gewonnen wurde. In dem Fall e<strong>in</strong>es Gew<strong>in</strong>ns <strong>in</strong> <strong>der</strong> aktuellen Periode wird<br />
ke<strong>in</strong> signifikanter E<strong>in</strong>fluss des vorgelagerten E<strong>in</strong>kommens deutlich, jedoch die<br />
Tendenz ersichtlich, dass e<strong>in</strong> Gew<strong>in</strong>n <strong>in</strong> <strong>der</strong> aktuellen Periode e<strong>in</strong>en Verlust <strong>in</strong><br />
<strong>der</strong> Vorperiode nicht vollständig kompensiert. Die Teilnehmer waren im Mittel<br />
zufriedener, wenn sie <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vorperiode <strong>in</strong>aktiv waren statt e<strong>in</strong>en Verlust zu<br />
74 Vgl. Thaler & Johnson (1990), S.656 f. <strong>und</strong> Fernandes et al. (2006), S. 1f. <strong>und</strong> 8f.<br />
65
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
erleiden. Der Gr<strong>und</strong> kann dar<strong>in</strong> liegen, dass Verluste stärker im Gedächtnis<br />
bleiben <strong>und</strong> deshalb die Zufriedenheit im Erfolgsfall trüben. Jedoch weist<br />
<strong>in</strong>sgesamt <strong>der</strong> House-Money Effekt e<strong>in</strong>e gewisse Relevanz auf.<br />
Break-Even Hypothese: Der folgende Effekt hat e<strong>in</strong>e genau umgekehrte<br />
Wirkung auf das Risikoverhalten e<strong>in</strong>es ET als <strong>der</strong> e<strong>in</strong>gangs vorgestellte House-<br />
Money Effekt. Im Unterschied zum House-Money Effekt steigt unter gewissen<br />
Umständen die Neigung zum Erwerb e<strong>in</strong>er Lotterie nicht nach e<strong>in</strong>em<br />
vorgelagerten Gew<strong>in</strong>n, son<strong>der</strong>n nach e<strong>in</strong>em Verlust <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vorperiode, wenn<br />
die aktuelle Lotterie die Möglichkeit e<strong>in</strong>es Ausgleichs des Verlustes bietet<br />
(Break-Even Hypothese). Die gesteigerte Attraktivität <strong>der</strong> Lotterie ist zudem<br />
auf die Unfähigkeit <strong>der</strong> ET zurückzuführen, Verluste zu akzeptieren <strong>und</strong> zu<br />
verdrängen. 75<br />
Am besten lässt sich <strong>der</strong> Effekt anhand e<strong>in</strong>es Beispiels unter E<strong>in</strong>bezug des<br />
Referenzpunktes erläutern, welcher e<strong>in</strong> wichtiges Element <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
Entscheidungsf<strong>in</strong>dung bildet. E<strong>in</strong> ET hat die Wahl zum Erwerb e<strong>in</strong>er Lotterie,<br />
welche mit gleicher Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>en Gew<strong>in</strong>n von 1000 GE <strong>und</strong> e<strong>in</strong>en<br />
Verlust von 1000 GE generiert. Der Referenzpunkt betrage 0 GE. Die Lotterie<br />
wird nicht angenommen, da <strong>der</strong> Verlust den Wert <strong>der</strong> Lotterie stärker schmälert<br />
als <strong>der</strong> mögliche Gew<strong>in</strong>n ihn steigert (Verlustaversion). Wenn nun von e<strong>in</strong>em<br />
ET <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vorperiode e<strong>in</strong>en Verlust von 1000 GE h<strong>in</strong>genommen wurde,<br />
verän<strong>der</strong>t sich auch <strong>der</strong> Referenzpunkt von 0 GE Richtung – 1000 GE. In<br />
diesem Punkt ist <strong>der</strong> ET e<strong>in</strong>em Verlust von 1000 GE nicht mehr so sensibel<br />
gegenüber wie <strong>in</strong> dem Referenzpunkt von 0 GE (dim<strong>in</strong>ish<strong>in</strong>g sensitivity).<br />
Wenn <strong>der</strong> ET jetzt wie<strong>der</strong> die Wahl <strong>der</strong> Lotterie (0,5, 1000; 0,5, - 1000) hätte,<br />
würde aufgr<strong>und</strong> des vorherigen Verlustes die Attraktivität <strong>der</strong> Lotterie steigen,<br />
da <strong>der</strong> Verlust von 1000 GE nach e<strong>in</strong>em Verlust <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vorperiode nicht mehr<br />
so stark <strong>in</strong>s Gewicht fällt, da v(- 1000) + v (-1000) > v (-2000). Wenn <strong>der</strong> ET<br />
die Lotterie nicht annimmt, so ist er e<strong>in</strong>em sicheren Verlust von 1000 GE<br />
ausgesetzt. Wenn er sie annimmt, so macht er mit gleicher Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
entwe<strong>der</strong> gar ke<strong>in</strong>en o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>en Verlust von 2000 GE <strong>und</strong> streut damit se<strong>in</strong>e<br />
Verluste. Aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Risikoaff<strong>in</strong>ität <strong>in</strong> <strong>der</strong> Verlustzone würde <strong>der</strong> ET damit<br />
75 Vgl. Smith et al. (2009), S. 3 f <strong>und</strong> Thaler & Johnson (1990), S. 657 f.<br />
66
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
die Lotterie tendenziell annehmen. 76 Dieser beschriebene Sachverhalt lässt sich<br />
ebenso <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Grafik abbilden:<br />
Abbildung 23: Abhängigkeit des Wertes e<strong>in</strong>er Lotterie vom Referenzpunkt<br />
(Quelle: Smith et al., 2009, S. 32)<br />
Im obigen Schaubild stehen die Punkte 1 <strong>und</strong> 2 für verschiedene<br />
Referenzpunkte, nämlich 0 GE (Punkt 1) <strong>und</strong> – 1000 GE (Punkt 2). Die<br />
gestrichelte L<strong>in</strong>ie stellt die Lotterie <strong>und</strong> ihre Berührungspunkte mit <strong>der</strong> S-<br />
Kurve stellen jeweils die zustandsabhängigen Vermögenspositionen des ET<br />
dar.<br />
Abgesehen von den beiden bereits vorgestellten Effekten, können weitere<br />
Verhaltensmuster bzgl. des Risikoverhaltens auftreten, welche sich aus <strong>der</strong><br />
Prospect Theory ableiten <strong>und</strong> im weiteren Verlauf auf den Fall des <strong>Poker</strong>s<br />
anwenden lassen. Diese Verhaltensmuster s<strong>in</strong>d Erweiterungen des zweiten<br />
bekannten Effektes <strong>und</strong> liefern nähere Erklärungen für die Sachverhalte.<br />
76 Vgl. Smith et al. (2009), S. 4 f <strong>und</strong> Fernandes et al. (2006), S. 8 f.<br />
67
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Das erste Phänomen knüpft direkt an die Erkenntnisse aus <strong>der</strong> Break-Even<br />
Hypothese an <strong>und</strong> beschreibt die Attraktivität <strong>in</strong> solch e<strong>in</strong>er Situation auf<br />
Außenseiter zu setzen, d.h. auf Positionen mit e<strong>in</strong>em hohen Rendite –<br />
Risikoverhältnis (Favorite-Longshot Bias). Um e<strong>in</strong>en gegebenen Verlust von<br />
bspw. 10 GE auszugleichen kann <strong>der</strong> ET e<strong>in</strong>e relativ “sichere“ Lotterie wählen,<br />
<strong>in</strong> <strong>der</strong> er e<strong>in</strong>en Setzbetrag von 10 GE verdoppeln kann <strong>und</strong> somit se<strong>in</strong>en<br />
Verlust ausgleicht. Auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite kann er e<strong>in</strong>e relativ “unsichere“<br />
Lotterie wählen, womit er e<strong>in</strong>en Setzbetrag von 2 GE versechsfachen müsste,<br />
um se<strong>in</strong>en Verlust auszugleichen. Die beiden Lotterien unterscheiden sich <strong>in</strong><br />
zwei Aspekten, nämlich <strong>in</strong> <strong>der</strong> Höhe des Setzbetrages <strong>und</strong> <strong>in</strong> den<br />
Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeiten im Erfolgsfall, da diese <strong>in</strong> <strong>der</strong> ersten Lotterie<br />
höher ausfällt. 77<br />
Jedoch sche<strong>in</strong>t gerade <strong>in</strong> Situationen, <strong>in</strong> denen e<strong>in</strong> Verlustausgleich möglich<br />
ist, die billigere Lotterie e<strong>in</strong>en größeren Anreiz für den ET zu haben als die<br />
Lotterie mit <strong>der</strong> höheren Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit, sodass <strong>der</strong> ET lieber auf<br />
den Außenseiter o<strong>der</strong> den sog. Longshot setzt. E<strong>in</strong> weiterer Gr<strong>und</strong> für die<br />
Präferenz e<strong>in</strong>er billigeren Lotterie liegt <strong>in</strong> <strong>der</strong> generell gestiegenen<br />
Verlustaversion nach e<strong>in</strong>em Verlust. Außerdem wird dieser Effekt umso<br />
stärker, je eher sich e<strong>in</strong>e <strong>Spiel</strong>periode zum Ende neigt. 78<br />
Die Ausprägung dieses Verhaltensmusters wird durch an<strong>der</strong>e Erkenntnisse <strong>der</strong><br />
Prospect Theory ebenfalls impliziert, wenn man annimmt, dass <strong>der</strong> ET se<strong>in</strong>e<br />
Entscheidungen auf Basis subjektiver Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten bzw.<br />
Entscheidungsgewichte trifft, welche systematischen Verzerrungen unterliegen<br />
( Vgl. Abbildung 22). Diese Verzerrungen gehen mit <strong>der</strong> Überschätzung von<br />
Außenseitern o<strong>der</strong> kle<strong>in</strong>en (Gew<strong>in</strong>n-)Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten durch den ET<br />
e<strong>in</strong>her, woraus wie<strong>der</strong> e<strong>in</strong>e gesteigerte Attraktivität <strong>der</strong> “unsicheren“ Lotterie<br />
resultiert, da sie nicht nur billiger ist, son<strong>der</strong>n auch die Abstände zwischen den<br />
Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeiten <strong>der</strong> Lotterien auf subjektiver Ebene schrumpfen.<br />
Ferner resultieren Verzerrungen zum e<strong>in</strong>en daraus, dass relativ<br />
unwahrsche<strong>in</strong>liche Ereignisse umso stärker im Gedächtnis verharren, wenn sie<br />
plötzlich doch e<strong>in</strong>treten. Auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite er<strong>in</strong>nert sich <strong>der</strong> ET ebenso<br />
77<br />
Hier gilt die Annahme, dass die Quote <strong>der</strong> Lotterie <strong>der</strong> <strong>in</strong>versen Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
entspricht.<br />
78<br />
Vgl. Smith et al. (2009), S. 5 <strong>und</strong> Thaler & Johnson (1990), S. 658.<br />
68
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
besser an Ereignisse, welche a-priori sehr wahrsche<strong>in</strong>lich waren <strong>und</strong> später<br />
nicht e<strong>in</strong>traten. 79<br />
Im <strong>Poker</strong> steigt die Attraktivität auf die Außenseiter setzen mit <strong>der</strong> Höhe des<br />
Pots, was <strong>der</strong> Fall ist, wenn z.B. viele <strong>Spiel</strong>er bei e<strong>in</strong>er Hand dabei s<strong>in</strong>d <strong>und</strong><br />
ke<strong>in</strong>er erhöht hat. Die Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit, die den <strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong>different<br />
zwischen e<strong>in</strong>em call <strong>und</strong> fold macht, s<strong>in</strong>kt je höher die aktuelle Potgröße ist.<br />
Typische Starthände, welche als Außenseiter klassifiziert werden können, s<strong>in</strong>d<br />
bspw. <strong>der</strong> dritten Spalte <strong>der</strong> Tabelle 3 (Rank<strong>in</strong>g <strong>der</strong> Starthände nach Bill<strong>in</strong>gs et<br />
al., 2002, S. 214) zu entnehmen.<br />
Außerdem ist es im <strong>Poker</strong> von elementarer Bedeutung, se<strong>in</strong>e<br />
Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit korrekt e<strong>in</strong>zuschätzen. Die Überschätzung <strong>der</strong><br />
Longshots führt ebenso zu mehr “looseness“ im <strong>Spiel</strong>stil, da auf Basis <strong>der</strong> Pot-<br />
Odds e<strong>in</strong>e Entscheidung zwar oft subjektiv plausibel ersche<strong>in</strong>t, aber objektiv<br />
gesehen e<strong>in</strong>e Hand zu teuer ist. Im Gegensatz hierzu werden die verme<strong>in</strong>tlichen<br />
Favoriten (z.B. AA, KK) unterschätzt, weil verlorene Hände mit diesen<br />
Starthänden länger im Gedächtnis verharren, weil die Enttäuschung aufgr<strong>und</strong><br />
zu hoher Erwartungen im Vorfeld größer ist. Die Unterschätzung <strong>der</strong> eigenen<br />
Gew<strong>in</strong>nchancen ersche<strong>in</strong>t <strong>in</strong> diesem Aspekt als e<strong>in</strong>e Prävention gegen e<strong>in</strong>e<br />
Enttäuschung für den <strong>Spiel</strong>er <strong>und</strong> diese steigt mit <strong>der</strong> Unsicherheit unter den<br />
<strong>Spiel</strong>ern. 80<br />
E<strong>in</strong>e zweite Beson<strong>der</strong>heit ergibt sich, wenn man das Verhalten aus <strong>der</strong> Break-<br />
Even Hypothese aus dem Aspekt betrachtet, <strong>in</strong>dem man vorgelagerte Verluste<br />
des ET versunkenen Kosten gleichsetzt <strong>und</strong> man e<strong>in</strong>en sog. Sunk-Cost Effekt<br />
unterstellt. Dieser Effekt besticht durch e<strong>in</strong>e fortlaufende <strong>und</strong> hohe B<strong>in</strong>dung an<br />
Ressourcen, um e<strong>in</strong>e anfangs getätigte Investition zu rechtfertigen. Oft wird an<br />
Investitionen festgehalten, weil anfangs e<strong>in</strong>e sehr große Summe aufgebracht<br />
wurde <strong>und</strong> man es zu Ende br<strong>in</strong>gen will, obwohl die zusätzlichen Investitionen<br />
nur die Verluste vergrößern (“throw<strong>in</strong>g good money after bad“). Die <strong>in</strong>tuitive<br />
Erklärung <strong>in</strong> <strong>der</strong> subjektiven Entscheidungsf<strong>in</strong>dung liegt dar<strong>in</strong>, dass <strong>der</strong> ET<br />
glaubt e<strong>in</strong>en Punkt erreicht zu haben, an dem e<strong>in</strong> Abbruch <strong>der</strong> Investition e<strong>in</strong>en<br />
kompletten Verlust <strong>der</strong> Anfangs<strong>in</strong>vestition darstellt <strong>und</strong> dadurch als e<strong>in</strong> hoher<br />
Verlust wahrgenommen wird. Ferner möchte <strong>der</strong> ET den E<strong>in</strong>druck vermeiden<br />
79<br />
Vgl. Qiu (2009), S. 4 <strong>und</strong> 13 f <strong>und</strong> Looijmans et al. (2008), S. 3.<br />
80<br />
Vgl. Uske (2008), S. 27.<br />
69
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
verschwen<strong>der</strong>isch zu se<strong>in</strong> <strong>und</strong> dadurch se<strong>in</strong> Image zu schwächen. Dieser Effekt<br />
wird unter sozialen Aspekten noch verstärkt, wenn <strong>der</strong> ET z.B. <strong>in</strong> Interaktionen<br />
o<strong>der</strong> im Wettbewerb mit an<strong>der</strong>en Individuen steht <strong>und</strong> e<strong>in</strong>em Publikum<br />
ausgesetzt ist. Die übertriebene B<strong>in</strong>dung e<strong>in</strong>es ET an Anfangs<strong>in</strong>vestitionen<br />
wird daher auch Escalation of Commitment genannt, was e<strong>in</strong>e Risikoaff<strong>in</strong>ität <strong>in</strong><br />
<strong>der</strong> Verlustzone voraussetzt. 81<br />
Im Fall des <strong>Poker</strong>s kann <strong>der</strong> obige Effekt durchaus aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> multiplen<br />
Setzr<strong>und</strong>en <strong>in</strong> Ersche<strong>in</strong>ung treten, da <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er <strong>Poker</strong>r<strong>und</strong>e bis zu vier<br />
Entscheidungen über Investitionen getroffen werden müssen. Der <strong>Spiel</strong>er kann,<br />
wie <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em dynamischen Investitionsprojekt, von vorgelagerten Investitionen<br />
bee<strong>in</strong>trächtigt werden, welche bei e<strong>in</strong>em Abbruch <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>hand (fold)<br />
zwangsläufig e<strong>in</strong>en Verlust des <strong>Spiel</strong>ers darstellen. Zudem erwirkt <strong>der</strong> Sunk-<br />
Cost Effekt bei dem <strong>Spiel</strong>er, dass er se<strong>in</strong>e Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
suboptimal nutzt <strong>und</strong> aufgr<strong>und</strong> vorheriger Investments riskanter spielt, d.h. zu<br />
teure Hände aus dem Pot-Odds Kalkül werden gespielt <strong>und</strong> im Mittel verloren.<br />
Dieser Effekt stellt e<strong>in</strong> relativ gängiges empirisches Phänomen im <strong>Poker</strong><br />
namens Pot-Commited dar, welches die emotionale B<strong>in</strong>dung e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers an<br />
die <strong>in</strong>vestierten Chips im Pot ausdrückt. Diese emotionale B<strong>in</strong>dung entsteht<br />
durch den Irrglauben des <strong>Spiel</strong>ers, dass die <strong>in</strong>vestierten Chips noch ihm<br />
gehören. 82 Solch e<strong>in</strong>e Situation kann bspw. Auftreten, wenn e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er um<br />
e<strong>in</strong>en relativ hohen Betrag vor dem Flop erhöht hat <strong>und</strong> noch Gegner im <strong>Spiel</strong><br />
s<strong>in</strong>d. Wenn se<strong>in</strong>e Starthand vor dem Flop sehr stark war, die Erhöhung<br />
rechtfertigte <strong>und</strong> nach dem Flop jedoch e<strong>in</strong> sehr hohes NPot hatte, kann e<strong>in</strong>e<br />
emotionale B<strong>in</strong>dung des <strong>Spiel</strong>ers zum Pot entstehen, auch wenn es<br />
offensichtlich ist, dass er nicht die beste Hand hält. E<strong>in</strong> hohes NPot kann durch<br />
höhere Karten im Flop (mögliche Overpairs), Karten gleicher Farben<br />
(mögliche Flush Draws) o<strong>der</strong> Karten <strong>in</strong> exakter ord<strong>in</strong>aler Rangfolge (wie z.B. 9<br />
10 J) entstehen <strong>und</strong> stellt für den <strong>Spiel</strong>er ggf. e<strong>in</strong>e hohe Gefahr dar, gerade<br />
wenn noch Karten folgen, was den PPot für den Gegner erhöht. E<strong>in</strong> Beispiel<br />
wäre e<strong>in</strong>e Erhöhung mit <strong>der</strong> Starthand (J J) <strong>und</strong> dem Flop (5 Q K) <strong>in</strong> gleicher<br />
Farbe.<br />
81 Vgl. Hoelzl & Loewenste<strong>in</strong> (2005), S. 16 <strong>und</strong> Looijmans et al. (2008), S. 3.<br />
82 Vgl. Looijmans et al. (2008), S. 4<br />
70
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Empirische Studie 83 : In dieser empirischen Studie soll anhand von Daten aus<br />
dem Onl<strong>in</strong>e-<strong>Spiel</strong>raum die Relevanz von <strong>der</strong> Break-Even Hypothese <strong>und</strong> dem<br />
House-Money Effekt prognostiziert werden. Hierzu wurden als Datenbasis<br />
<strong>Poker</strong>spieler des Anbieters Full Tilt herangezogen, nämlich sämtliche <strong>Spiel</strong>er<br />
aus Cash-Games im Heads-Up <strong>und</strong> Shorthanded (maximal 6 <strong>Spiel</strong>er am Tisch)<br />
Modus, wobei <strong>der</strong> Zeitraum <strong>der</strong> Datenerhebung zwischen Januar 2008 – Mai<br />
2008 lag. Außerdem wurde bei <strong>der</strong> Analyse anhand <strong>der</strong> freien Positionen am<br />
Tisch differenziert, sodass <strong>in</strong> <strong>in</strong>sgesamt sechs Kategorien die <strong>Spiel</strong>er im Fokus<br />
standen.<br />
Die Daten wurden für den Zweck <strong>der</strong> Analyse weiter selektiert <strong>und</strong><br />
ausgedünnt, da das Verhalten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er unmittelbar nach e<strong>in</strong>em großen<br />
Gew<strong>in</strong>n o<strong>der</strong> Verlust analysiert werden sollte <strong>und</strong> nicht während des gesamten<br />
Zeitraumes. Es wurde e<strong>in</strong> Schwellenwert für e<strong>in</strong>en e<strong>in</strong>zelnen Gew<strong>in</strong>n bzw.<br />
Verlust festgelegt <strong>und</strong> bei Überschreitung wurde das Verhalten e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers<br />
während <strong>der</strong> nächsten 12 darauf folgenden Hände beobachtet. Dieser<br />
Schwellenwert wurde auf 1000 $ <strong>und</strong> die M<strong>in</strong>destzahl an erfahrenen Gew<strong>in</strong>nen<br />
o<strong>der</strong> Verlusten pro <strong>Spiel</strong>er auf 50 festgelegt.<br />
Nachdem die Datenbasis spezifiziert wurde, g<strong>in</strong>g man <strong>der</strong> Frage <strong>der</strong> e<strong>in</strong>gangs<br />
vorgestellten Effekte nach. Aus diesem Zweck entstanden zwei Messvariablen,<br />
die das Verhalten des <strong>Spiel</strong>ers h<strong>in</strong>sichtlich se<strong>in</strong>er Risikobereitschaft stark<br />
charakterisieren.<br />
Die erste Variable besteht aus dem prozentualen Anteil gespielter Hände,<br />
welche unmittelbar nach e<strong>in</strong>em großen Gew<strong>in</strong>n o<strong>der</strong> Verlust folgen, <strong>und</strong> wurde<br />
als “looseness“ bezeichnet. Wenn <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er weniger als 20 % se<strong>in</strong>er Hände<br />
spielt, so gilt er als “tight“. Wenn er mehr als die Hälfte se<strong>in</strong>er Hände spielt, ist<br />
er h<strong>in</strong>gegen sehr “loose“ <strong>und</strong> spielt riskanter, weil er se<strong>in</strong>e Hände tendenziell<br />
optimistischer e<strong>in</strong>schätzt (Vgl. Kapitel 4.1).<br />
Die zweite Variable befasst sich eher mit dem Setzverhalten als e<strong>in</strong>e<br />
Partizipation an sich <strong>und</strong> wird aus dem Verhältnis <strong>der</strong> Summe von<br />
Erhöhungen <strong>und</strong> e<strong>in</strong>fachen Setzens zu <strong>der</strong> Summe <strong>der</strong> gecallten <strong>und</strong> gepassten<br />
Hände. Die zweite Variable sollte die Aggressivität e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers<br />
dokumentieren <strong>und</strong> wurde danach benannt. Für den Zweck <strong>der</strong> Studie galt e<strong>in</strong><br />
83 Vgl. Smith et al. (2009), S. 10- 15.<br />
71
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er als “passive“ wenn das obige Verhältnis kle<strong>in</strong>er E<strong>in</strong>s <strong>und</strong> “aggressive“<br />
wenn das Verhältnis > 1,5 war.<br />
Für jeden <strong>Spiel</strong>er wurden <strong>in</strong> <strong>der</strong> spezifizierten Datenerhebung je nach<br />
Kategorie Durchschnittswerte berechnet <strong>und</strong> h<strong>in</strong>terher <strong>der</strong> Median unter den<br />
Durchschnittswerten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er als repräsentativ für die Kategorie gewählt.<br />
Außerdem wurden unabhängig vom ersten Verfahren für jede Kategorie die<br />
Anzahl <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er aufsummiert, welche mehr “loose“ bzw. aggressiver nach<br />
e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>zelnen Gew<strong>in</strong>n <strong>und</strong> nach e<strong>in</strong>em Verlust spielen. Hier wurde <strong>der</strong><br />
Nullhypothese nachgegangen, dass mehr “looseness“ nach e<strong>in</strong>em Verlust<br />
genauso wahrsche<strong>in</strong>lich ist wie nach e<strong>in</strong>em Gew<strong>in</strong>n, was ke<strong>in</strong>en e<strong>in</strong>deutigen<br />
Effekt implizieren würde. In dieselbe Richtung geht die Nullhypothese auch im<br />
ersten Verfahren.<br />
Die Datenbasis beschränkte sich nunmehr auf 346 <strong>Spiel</strong>er, welche die<br />
gesamten Kriterien erfüllten. Zuerst lässt sich festhalten, dass die<br />
durchschnittliche “looseness“ am Tisch abnimmt, je höher die Anzahl <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er am Tisch. Diese Tatsache ist wohl auch darauf zurückzuführen, dass<br />
<strong>der</strong> Wert e<strong>in</strong>er Hand mit steigen<strong>der</strong> Anzahl <strong>der</strong> Gegner abnimmt, was z.B. auch<br />
durch Gleichung (25) impliziert wird. Woh<strong>in</strong>gegen die Aggressivität dies bzgl.<br />
<strong>in</strong>variant ist. Diese Resultate werden aus Tabelle 11 ersichtlich:<br />
Tabelle 11: Werte <strong>der</strong> durchschnittlichen “looseness“ <strong>und</strong> Aggressivität<br />
(Quelle: Smith et al., S.26)<br />
Die Neigung <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er nach e<strong>in</strong>em Verlust riskanter bzw. mehr Hände zu<br />
spielen als nach e<strong>in</strong>em Gew<strong>in</strong>n wird aus Tabelle 12 deutlich. In je<strong>der</strong> Kategorie<br />
hat <strong>der</strong> Median-<strong>Spiel</strong>er mehr Hände nach e<strong>in</strong>em Verlust gespielt als nach<br />
72
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
e<strong>in</strong>em Gew<strong>in</strong>n. Außerdem spielen absolut gesehen mehr <strong>Spiel</strong>er loose nach<br />
e<strong>in</strong>em Verlust als nach e<strong>in</strong>em Gew<strong>in</strong>n. Hierdurch wird die Break-Even<br />
Hypothese e<strong>in</strong>mal mehr bestätigt (überall signifikant außer bei 2 <strong>Spiel</strong>ern am<br />
6er Tisch; überall signifikant außer bei 2 <strong>und</strong> 3 <strong>Spiel</strong>ern am 6er Tisch). 84<br />
Tabelle 12: “Looseness“ nach Gew<strong>in</strong>nen <strong>und</strong> Verlusten im Vergleich<br />
(Quelle: Smith et al., 2009, S. 27)<br />
Die qualitativen Ergebnisse für den Fall des Grades <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>frequenz lassen<br />
sich ebenso auf die Art des Setzverhaltens anwenden, da ebenso deutlich wird,<br />
dass <strong>Spiel</strong>er nach e<strong>in</strong>em Verlust aggressiver spielen als nach e<strong>in</strong>em Gew<strong>in</strong>n.<br />
Auch absolut gesehen agieren die <strong>Spiel</strong>er aggressiver nach e<strong>in</strong>em Verlust,<br />
sodass die Nullhypothese e<strong>in</strong>es unbestimmten Effektes sowohl bei “looseness“<br />
als auch bei Aggressivität verworfen werden muss, da die Break-Even<br />
Hypothese zum<strong>in</strong>dest e<strong>in</strong>e schwache empirische Relevanz aufweist (signifikant<br />
jeweils bei Heads-Up <strong>und</strong> 2 o<strong>der</strong> 6 <strong>Spiel</strong>er am 6er Tisch).<br />
84 Das Signifikanzniveau liegt <strong>in</strong> allen Messungen bei 5%.<br />
73
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Tabelle 13: Aggressivität nach Gew<strong>in</strong>nen <strong>und</strong> Verlusten im Vergleich<br />
(Quelle: Smith et al., 2009, S. 28)<br />
Experimentelle Studie 85 : In dieser experimentellen Studie standen zwei<br />
Aspekte im Vor<strong>der</strong>gr<strong>und</strong>, welche für den qualitativen Effekt <strong>der</strong> Break-Even<br />
Hypothese nähere Erklärungen liefern <strong>und</strong> am Beispiel des <strong>Poker</strong>s gemessen<br />
wurden. 86 Die Experimente wurden über das Internet durchgeführt <strong>und</strong> je<strong>der</strong><br />
Teilnehmer tat dies über se<strong>in</strong>en privaten Computer. Den Probanden wurden<br />
jeweils <strong>in</strong> H<strong>in</strong>blick auf den S<strong>in</strong>n <strong>der</strong> Experimente Szenarien dargestellt, worauf<br />
sie dann entwe<strong>der</strong> e<strong>in</strong>e Frage beantworten o<strong>der</strong> e<strong>in</strong> Urteil über das weitere<br />
Vorgehen abgeben mussten.<br />
Als unabhängige Variable wurde <strong>in</strong> den Messungen jeweils e<strong>in</strong> Erfahrungs-<br />
bzw. Skill-Level genutzt, welches sich durch e<strong>in</strong>e Beantwortung e<strong>in</strong>es<br />
Fragebogens anhand e<strong>in</strong>facher demographischer Daten ermitteln ließ. Die<br />
Teilnehmer dokumentierten zudem jeweils ihre Gewohnheiten des<br />
<strong>Poker</strong>spielens (sowohl onl<strong>in</strong>e als auch real) <strong>und</strong> ihre präferierten<br />
E<strong>in</strong>trittsgebühren. Hierdurch sollten Erfahrungseffekte sichtbar werden, sodass<br />
zwischen erfahrenen <strong>und</strong> nicht erfahrenen a-priori differenziert wurde.<br />
85 Looijmans et al. (2008), S. 1-8.<br />
86 Der Fram<strong>in</strong>g Effekt soll nicht weiter behandelt werden.<br />
74
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Die abhängigen Variablen waren <strong>in</strong> zwei separaten Experimenten zum e<strong>in</strong>en<br />
<strong>der</strong> Grad <strong>der</strong> Verzerrung bei <strong>der</strong> E<strong>in</strong>schätzung <strong>der</strong> eigenen<br />
Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeiten <strong>und</strong> zum an<strong>der</strong>en sollte <strong>der</strong> Sunk-Cost Effekt<br />
getestet werden. Es wurde erwartet, dass beide Effekte mit steigendem Grad<br />
<strong>der</strong> Erfahrung abnehmen, was bedeutet, dass erfahrene <strong>Spiel</strong>er die eigene<br />
Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit besser e<strong>in</strong>schätzen <strong>und</strong> sich weniger von<br />
versunkenen Kosten bee<strong>in</strong>flussen lassen. Insgesamt sollte die weniger verzerrte<br />
<strong>und</strong> rationalere <strong>Spiel</strong>weise e<strong>in</strong>es erfahrenen <strong>Spiel</strong>ers nachgewiesen werden.<br />
Im ersten Fall wurde dem Teilnehmer e<strong>in</strong> Szenario präsentiert, <strong>in</strong> <strong>der</strong> er<br />
perfekte Information über das bisherige <strong>Spiel</strong>geschehen besitzt <strong>und</strong> h<strong>in</strong>terher<br />
se<strong>in</strong>e Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit abschätzen sollte. Die Schätzung erfolgte auf<br />
e<strong>in</strong>er 10-Punkte Skala (1 = sehr niedrig <strong>und</strong> 10 = sehr hoch) <strong>und</strong> h<strong>in</strong>terher<br />
sollte e<strong>in</strong>e exakte Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit geschätzt werden, wobei die erste<br />
Schätzung e<strong>in</strong>en Richtwert darstellte.<br />
Abbildung 24: Szenario für die Schätzung <strong>der</strong> Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />
(Quelle: Looijmans et al., 2008, S.4); Teilnehmer = <strong>Spiel</strong>er 1<br />
In <strong>der</strong> zweiten Messung stand <strong>der</strong> Sunk-Cost Effekt im Vor<strong>der</strong>gr<strong>und</strong>, wobei<br />
dem Teilnehmer wie<strong>der</strong> e<strong>in</strong> Szenario vorgestellt wurde, <strong>in</strong> <strong>der</strong> er das weitere<br />
Vorgehen anhand dreier Optionen wählen sollte. Im Szenario setzt <strong>der</strong> Gegner<br />
75
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er bzw. Teilnehmer hat die Möglichkeit auszusteigen o<strong>der</strong><br />
mitzugehen, wobei e<strong>in</strong> Call auf Basis <strong>der</strong> Pot-Odds ke<strong>in</strong>en S<strong>in</strong>n machen würde.<br />
Die erste Option ist e<strong>in</strong> Call mit <strong>der</strong> absichtlich trügerischen Begründung auf<br />
Basis <strong>der</strong> Pot-Odds. Die zweite Option ist e<strong>in</strong> Call mit <strong>der</strong> Begründung, dass<br />
man schon relativ viel <strong>in</strong> den Pot <strong>in</strong>vestiert hat. Diese subjektive Denkweise<br />
würde dem Sunk-Cost Effekt entsprechen. In <strong>der</strong> letzten Option würde sich <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er entschließen auszusteigen <strong>und</strong> die Investitionen zu stoppen (optimale<br />
Wahl).<br />
Abbildung 25: Szenario für die Messung des Sunk-Cost Effektes<br />
(Quelle: Looijmans et al., 2008, S. 5); Teilnehmer = <strong>Spiel</strong>er 1<br />
Als Resultate lassen sich festhalten, dass die Prognosen über das<br />
Schätzverhalten <strong>der</strong> Teilnehmer bzgl. ihrer Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit mit den<br />
Ergebnissen e<strong>in</strong>her gehen, sodass e<strong>in</strong> Erfahrungseffekt evident ist. Die<br />
Schätzfehler <strong>der</strong> relativ erfahrenen <strong>Spiel</strong>er s<strong>in</strong>d kle<strong>in</strong>er als die <strong>der</strong> unerfahrenen<br />
<strong>Spiel</strong>er. Zudem wird deutlich, dass unabhängig von <strong>der</strong> Erfahrung die <strong>Spiel</strong>er<br />
Schätzfehler begehen, welche mit den Prognosen <strong>der</strong> Prospect Theory<br />
harmonieren. Die <strong>Spiel</strong>er neigen dazu kle<strong>in</strong>e Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten zu über-<br />
<strong>und</strong> große Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten zu unterschätzen. Das Resultat nimmt grafisch<br />
folgende Gestalt an:<br />
76
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Abbildung 26: Verzerrungen <strong>der</strong> Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeiten im Experiment<br />
(Quelle: Looijmans et al., 2008, S. 6).<br />
Im Experiment zum Sunk-Cost Effekt wurde klar, dass unabhängig von <strong>der</strong><br />
Erfahrung die <strong>Spiel</strong>er dazu neigen, die zweite Option zu wählen <strong>und</strong> sich<br />
dadurch e<strong>in</strong>e B<strong>in</strong>dung an vorherige Investitionen e<strong>in</strong>zugestehen. Woh<strong>in</strong>gegen<br />
wie<strong>der</strong>rum deutlich wurde, dass <strong>der</strong> Anteil <strong>der</strong> erfahrenen <strong>Spiel</strong>er an <strong>der</strong><br />
optimalen Entscheidung den Anteil <strong>der</strong> unerfahrenen <strong>Spiel</strong>er überbot.<br />
Hierdurch wird e<strong>in</strong>e kle<strong>in</strong>e Tendenz deutlich, dass <strong>der</strong> Effekt mit <strong>der</strong> Erfahrung<br />
abnimmt.<br />
Abbildung 27: Ergebnisse des Sunk-Cost Szenarios im Vergleich<br />
(Quelle: Looijmans et al., 2008, S.7)<br />
77
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
5.1.3 Gamblers Fallacy <strong>und</strong> Hot-Hand Fallacy<br />
Aus dem vorigen Teilkapitel wurden Verzerrungen <strong>in</strong> <strong>der</strong> E<strong>in</strong>schätzung <strong>der</strong><br />
eigenen Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit deutlich, beson<strong>der</strong>s bei sehr kle<strong>in</strong>en <strong>und</strong><br />
sehr großen Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten <strong>und</strong> dadurch mit den Erkenntnissen aus <strong>der</strong><br />
Prospect Theory <strong>in</strong> E<strong>in</strong>klang. Die fehlerhafte E<strong>in</strong>schätzung durch den ET kann<br />
jedoch auch aus e<strong>in</strong>er verzerrten Sichtweise des ET auf die stochastischen<br />
Eigenschaften e<strong>in</strong>es Zufallsprozesses (Austeilung <strong>der</strong> Private <strong>und</strong> Community<br />
Cards) resultieren, gerade wenn er die Erwartungen künftiger Ausprägungen<br />
e<strong>in</strong>er Zufallsvariablen auf Basis vergangener <strong>und</strong> beobachteter Realisationen<br />
bildet.<br />
In diesem Zusammenhang gibt es zwei Effekte, welche jeweils e<strong>in</strong>e Richtung<br />
h<strong>in</strong>sichtlich ihrer Erwartungsbildung haben, jedoch <strong>in</strong> <strong>der</strong> subjektiven<br />
Begründung nicht zwangsläufig konträr s<strong>in</strong>d. Die Erwartungen h<strong>in</strong>sichtlich <strong>der</strong><br />
Realisationen e<strong>in</strong>er Zufallsvariable können den <strong>Spiel</strong>stil im <strong>Poker</strong> <strong>der</strong>art<br />
verän<strong>der</strong>n, so dass bspw. aggressiveres <strong>Spiel</strong> resultieren kann, wenn die<br />
Erwartungen an e<strong>in</strong>e bestimmte Situation hoch s<strong>in</strong>d. Die beiden Effekte lauten<br />
letztendlich Gamblers Fallacy <strong>und</strong> Hot-Hand Fallacy, wobei <strong>in</strong> beiden Fällen<br />
e<strong>in</strong>e Fehl<strong>in</strong>terpretation <strong>der</strong> Glückskomponente e<strong>in</strong>e wichtige Rolle spielt.<br />
Schließlich sollen beide Effekte empirisch geprüft werden.<br />
Gamblers Fallacy: Im Allgeme<strong>in</strong>en stellt dieses Phänomen den Glauben e<strong>in</strong>es<br />
ET an e<strong>in</strong>e negative Autokorrelation von nicht-autokorrelierten Zufallsgrößen<br />
dar. Dies bedeutet, dass die Zufallsprozesse, welche die Größen o<strong>der</strong><br />
Realisationen generieren, unabhängig vone<strong>in</strong>an<strong>der</strong> (<strong>und</strong> ohne Gedächtnis)<br />
s<strong>in</strong>d. 87 E<strong>in</strong>e objektive Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit ist bspw. bei e<strong>in</strong>em<br />
Münzwurf über alle Versuche gleich, wenn die Münze fair ist. Woh<strong>in</strong>gegen die<br />
subjektive Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit für e<strong>in</strong> bestimmtes Ereignis (Kopf o<strong>der</strong> Zahl)<br />
abnimmt, je öfter es <strong>in</strong> <strong>der</strong> jüngsten Vergangenheit aufgetreten ist, obwohl sich<br />
an den Eigenschaften <strong>der</strong> Münze nichts geän<strong>der</strong>t hat. Hier haben die<br />
unmittelbar letzten Ereignisse den größten E<strong>in</strong>fluss auf die subjektive<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit. 88<br />
87 Vgl. Croson & S<strong>und</strong>ali (2005), S. 196 f <strong>und</strong> Rab<strong>in</strong> & Vayanos (2009), S. 2f.<br />
88 Vgl. Rab<strong>in</strong> & Vayanos (2009), S. 6f <strong>und</strong> Dohmen et al. (2009), S. 7ff.<br />
78
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Wenn diese erwarteten Realisationen von Zufallsgrößen zudem noch mit<br />
E<strong>in</strong>kommen o<strong>der</strong> Pay-Offs (wie z.B. im Roulette) verb<strong>und</strong>en s<strong>in</strong>d, wird <strong>der</strong> ET<br />
nicht nur von den vergangenen Realisationen, son<strong>der</strong>n primär von se<strong>in</strong>em<br />
erwarteten E<strong>in</strong>kommen bee<strong>in</strong>flusst. Dadurch führt er nur Alternativen durch,<br />
welche ihm gemäß se<strong>in</strong>en subjektiven Erwartungen ke<strong>in</strong>e Verluste br<strong>in</strong>gen.<br />
Nach e<strong>in</strong>er Serie von Gew<strong>in</strong>nen glauben Individuen daran, dass Verluste <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
Zukunft immer wahrsche<strong>in</strong>licher werden <strong>und</strong> umgekehrt für e<strong>in</strong>e Serie von<br />
Verlusten. Die Erwartungen werden optimistischer o<strong>der</strong> pessimistischer je nach<br />
erfahrenem E<strong>in</strong>kommen <strong>der</strong> Vorperioden. Dieses Verhaltensmuster wird<br />
beson<strong>der</strong>s im Markt für staatliche Lotterien o<strong>der</strong> Pfer<strong>der</strong>ennen deutlich. Die<br />
Marktteilnehmer tendieren oft dazu, auf Zahlen im Lotto, welche <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
jüngsten Vergangenheit Menschen zu großen Gew<strong>in</strong>nen verholfen haben, eher<br />
weniger zu setzen. Außerdem gilt dasselbe für Favoriten im Pfer<strong>der</strong>ennen, die<br />
<strong>in</strong> jüngster Vergangenheit e<strong>in</strong>e Serie von Siegen e<strong>in</strong>gefahren haben, obwohl<br />
sich die objektive Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit nicht geän<strong>der</strong>t hat. 89<br />
Der Hauptgr<strong>und</strong> für die Fehle<strong>in</strong>schätzung <strong>der</strong> Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten liegt dar<strong>in</strong>,<br />
dass Menschen kle<strong>in</strong>e Stichproben e<strong>in</strong>er Zufallsvariablen h<strong>in</strong>sichtlich ihres<br />
Erklärungsgehaltes über die wahren Eigenschaften überschätzen, welche<br />
ansonsten nur <strong>in</strong> unendlich großen Stichproben evident werden. Die Individuen<br />
machen Beobachtungen <strong>und</strong> richten ihre Erwartungen auf Basis <strong>der</strong><br />
Beobachtungen aus. Wenn die Beobachtungen nicht mit den Erwartungen<br />
korrelieren, erwarten die Individuen, dass sich diese Divergenz selbst <strong>in</strong><br />
kle<strong>in</strong>en Stichproben <strong>in</strong> naher Zukunft aufhebt bzw. es sich von selbst korrigiert<br />
(“Gesetz <strong>der</strong> kle<strong>in</strong>en Zahlen“). Selbst bei e<strong>in</strong>er kle<strong>in</strong>en Stichprobe wird<br />
demnach erwartet, dass sie irgendwann ausbalanciert ist. 90<br />
Hot- Hand Fallacy: Im Gegensatz zu Gamblers Fallacy beschreibt dieses<br />
Phänomen den Glauben e<strong>in</strong>es ET an e<strong>in</strong>e positive Autokorrelation von nicht-<br />
autokorrelierten Zufallsgrößen. Dies bedeutet, dass <strong>der</strong> ET erwartet, dass sich<br />
bestimmte Serien aus <strong>der</strong> Vergangenheit immer weiter fortsetzen <strong>und</strong> damit<br />
e<strong>in</strong>e gewisse Persistenz aufweisen. 91<br />
89 Vgl. Croson & S<strong>und</strong>ali (2005), S. 196 f. <strong>und</strong> Dohmen et al. (2009), S. 11ff.<br />
90 Vgl. Tversky & Kahnemann (1974), S. 1125 f <strong>und</strong> Dohmen et al. (2009), S. 1f.<br />
91 Vgl. Rab<strong>in</strong> & Vayanos (2009), S. 1f.<br />
79
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Dies liegt jedoch nicht nur daran, dass die statistischen Eigenschaften e<strong>in</strong>er<br />
Zufallsgröße <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er kle<strong>in</strong>en Stichprobe fehl<strong>in</strong>terpretiert werden, son<strong>der</strong>n eher<br />
an e<strong>in</strong>er Unterschätzung <strong>der</strong> Glückskomponente sowie e<strong>in</strong>e Überschätzung <strong>der</strong><br />
eigenen E<strong>in</strong>flussnahme auf den <strong>Spiel</strong>ausgang an sich. Wenn man nun die<br />
erwarteten Realisationen an bestimmte E<strong>in</strong>kommen knüpft, wird deutlich, dass<br />
Individuen nach e<strong>in</strong>er Serie von Siegen o<strong>der</strong> Gew<strong>in</strong>nen (Hot Streak) glauben,<br />
dass sich die Serien fortsetzen <strong>und</strong> optimistischer agieren. Bei e<strong>in</strong>er Serie von<br />
Verlusten (Cold Streak) gilt dasselbe Pr<strong>in</strong>zip, sodass sich Individuen als Folge<br />
passiver verhalten als nach e<strong>in</strong>er Siegesserie. 92<br />
Die Begründung für diese Verhaltensweise liegt primär <strong>in</strong> <strong>der</strong> Unterschätzung<br />
<strong>der</strong> Glückskomponente <strong>und</strong> <strong>der</strong> Überschätzung des Grades <strong>der</strong> eigenen<br />
E<strong>in</strong>flussnahme auf das <strong>Spiel</strong> durch den ET. Die Individuen hegen <strong>in</strong> diesem<br />
Fall den Irrglauben die Kontrolle über den Ausgang e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>s zu haben,<br />
welches signifikant von Zufallsfaktoren determ<strong>in</strong>iert wird (Illusion of Control).<br />
E<strong>in</strong>e Person glaubt bspw. nicht nur, dass sie den <strong>Spiel</strong>ausgang signifikant<br />
bee<strong>in</strong>flussen kann, son<strong>der</strong>n ferner, dass sie immer die richtige Entscheidung<br />
wählt <strong>und</strong> daher “heiß“ ist. Daher resultiert e<strong>in</strong>e gewisse Selbstüberschätzung,<br />
welche durch Gew<strong>in</strong>ne geför<strong>der</strong>t <strong>und</strong> gefestigt wird. 93<br />
E<strong>in</strong> ET schätzt <strong>in</strong> diesem Kontext se<strong>in</strong>e eigenen Stärken <strong>und</strong> Fähigkeiten<br />
anhand se<strong>in</strong>er Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste <strong>in</strong> <strong>der</strong> Vergangenheit e<strong>in</strong>, womit se<strong>in</strong><br />
Selbstvertrauen mit se<strong>in</strong>em erzielten E<strong>in</strong>kommen steht <strong>und</strong> fällt. E<strong>in</strong> Gew<strong>in</strong>n<br />
bestätigt den <strong>Spiel</strong>er <strong>und</strong> festigt se<strong>in</strong> Selbstvertrauen bzgl. se<strong>in</strong>er Fähigkeiten,<br />
woh<strong>in</strong>gegen e<strong>in</strong> Verlust den <strong>Spiel</strong>er entmutigt <strong>und</strong> ihn dazu verleitet, se<strong>in</strong>e<br />
Fähigkeiten o<strong>der</strong> Strategien zu h<strong>in</strong>terfragen. Je ger<strong>in</strong>ger das Selbstvertrauen ist,<br />
desto ängstlicher agiert <strong>der</strong> ET, da er se<strong>in</strong>e Strategie mit e<strong>in</strong>er gewissen<br />
Skepsis umsetzt. Bei hohem Selbstvertrauen handelt <strong>der</strong> ET aggressiver, da er<br />
großes Vertrauen <strong>in</strong> se<strong>in</strong>e Fähigkeiten hat. Kommt es dennoch zu e<strong>in</strong>em<br />
Verlust, neigen Individuen dazu, es mit Pech zu begründen (negatives Glück).<br />
Im Gegensatz zu Gew<strong>in</strong>nen, welche ebenfalls zum Zweck <strong>der</strong><br />
Selbstprofilierung oft auf beson<strong>der</strong>e eigene Fähigkeiten zurückgeführt<br />
werden. 94<br />
92 Vgl. Croson & S<strong>und</strong>ali (2005), S. 197 ff.<br />
93 Vgl. Park & P<strong>in</strong>to (2007), S. 15f <strong>und</strong> Croson & S<strong>und</strong>ali (2005), S. 207f.<br />
94 Vgl. Smith et al. (2009), S. 2.<br />
80
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Für den Fall des <strong>Poker</strong>s ergibt sich bzgl. <strong>der</strong> beiden Effekte e<strong>in</strong>e gewisse<br />
Relevanz, da <strong>Spiel</strong>er oft Realisationen <strong>der</strong> Zufallsgrößen (Community Cards,<br />
Private Cards) im Gedächtnis behalten <strong>und</strong> auf <strong>der</strong>en Basis subjektive<br />
Erwartungen bilden. Zudem kann es <strong>der</strong> Fall se<strong>in</strong>, dass e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er nach e<strong>in</strong>er<br />
Reihe o<strong>der</strong> Serie von Siegen immer mehr glaubt, dass ihn das Glück bald<br />
“verlässt“ o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>e Reihe ähnlicher Situationen nicht immer gut für ihn<br />
ausgehen (Bsp.: Treffen des Flops wenn man e<strong>in</strong> Ass hält o<strong>der</strong> Vollendung von<br />
Flush- o<strong>der</strong> Straight Draws). Das Gegenteil gilt für e<strong>in</strong>e Serie von Verlusten,<br />
welche man bspw. <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Showdown als Favorit erleiden musste. In beiden<br />
Fällen wäre e<strong>in</strong>e Erwartung <strong>der</strong> Ausbalancierung des Glückes seitens des<br />
<strong>Spiel</strong>ers denkbar.<br />
Auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite erweisen sich die psychologischen Übertragungseffekte,<br />
welche von dem erzielten E<strong>in</strong>kommen auf das Selbstvertrauen ausgehen, für<br />
den Fall des <strong>Poker</strong>s als sehr realistisch. Bezogen auf e<strong>in</strong>e Serie von<br />
E<strong>in</strong>kommen, bedeutet dies, dass sich das Selbstvertrauen langsam auf- <strong>und</strong><br />
abbaut <strong>und</strong> damit <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>stil des <strong>Spiel</strong>ers. Als großes Problem stellt sich<br />
hierbei die ungenügende Kritikfähigkeit o<strong>der</strong> Selbstreflektion <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er<br />
heraus, sodass man nur langsam aus Verlusten “lernt“, da es anfangs nur als<br />
Pech wahrgenommen wurde.<br />
Empirische Studie 95 : In dieser empirischen Studie wurde exakt genauso<br />
verfahren wie <strong>in</strong> <strong>der</strong> bereits vorgestellten Studie aus Kapitel 5.1.2 mit dem<br />
Unterschied, dass zum Zweck <strong>der</strong> untersuchten Effekte die relevanten Daten<br />
<strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er an<strong>der</strong>s selektiert wurden. In <strong>der</strong> vorigen empirischen Studie wurde<br />
<strong>der</strong> Effekt e<strong>in</strong>es e<strong>in</strong>zelnen Events untersucht, woh<strong>in</strong>gegen <strong>in</strong> <strong>der</strong> jetzigen<br />
Studie <strong>der</strong> Effekt e<strong>in</strong>er Serie von gleichen E<strong>in</strong>kommen auf das Risikoverhalten<br />
des <strong>Spiel</strong>ers im Fokus steht. Es wurden nun <strong>Spiel</strong>er während <strong>der</strong> nächsten 12<br />
Hände beobachtet, welche zuvor e<strong>in</strong>en kumulativen Gew<strong>in</strong>n o<strong>der</strong> Verlust von<br />
1000 $ erfahren haben anstatt e<strong>in</strong>es e<strong>in</strong>zelnen Pay-Offs. In diesem Kontext<br />
wurde ebenfalls die Stärke <strong>der</strong> unterschiedlichen Effekte gemessen <strong>und</strong><br />
verglichen ob e<strong>in</strong> kumulativer Gew<strong>in</strong>n/Verlust e<strong>in</strong>en größeren E<strong>in</strong>fluss hat als<br />
e<strong>in</strong>es e<strong>in</strong>zelnen Events.<br />
95 Smith et al. (2009), S. 15-34.<br />
81
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Zuerst wurde <strong>der</strong> prozentuale Anteil gespielter Hände (“looseness“) nach e<strong>in</strong>er<br />
kumulativen E<strong>in</strong>- o<strong>der</strong> Auszahlung von 1000 $ gemessen <strong>und</strong> festgestellt, dass<br />
<strong>Spiel</strong>er nach e<strong>in</strong>em kumulativen Verlust eher lockerer o<strong>der</strong> riskanter spielen als<br />
nach e<strong>in</strong>em kumulativen Gew<strong>in</strong>n (signifikant für Heads-Up; 4, 5 <strong>und</strong> 6 <strong>Spiel</strong>er<br />
am 6-<strong>Spiel</strong>er Tisch). Ebenfalls spielen absolut gesehen mehr <strong>Spiel</strong>er riskanter<br />
nach e<strong>in</strong>em kumulativen Verlust (signifikant für Heads-Up; 4-6 <strong>Spiel</strong>er am 6-<br />
<strong>Spiel</strong>er Tisch). Ferner wird deutlich, dass am vollen 6-<strong>Spiel</strong>er Tisch jedoch<br />
relativ gesehen mehr <strong>Spiel</strong>er nach e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>zelnen Verlust “loose“ spielen als<br />
nach e<strong>in</strong>em kumulativen Verlust (67% vs. 58%; beides signifikant). Hiermit<br />
wird impliziert, dass e<strong>in</strong> e<strong>in</strong>zelner Verlust mehr im Gedächtnis verharrt <strong>und</strong> das<br />
Verhalten bee<strong>in</strong>flusst als e<strong>in</strong>e Serie von Verlusten gleichen Betrages.<br />
Tabelle 14: “Looseness“ nach kumulativen Gew<strong>in</strong>nen <strong>und</strong> Verlusten<br />
(Quelle: Smith et al., 2009, S. 29)<br />
Wenn man die Aggressivität auf kumulierter Ebene betrachtet, ergeben sich<br />
qualitativ ebenfalls ähnliche Ergebnisse wie bei <strong>der</strong> Betrachtung des E<strong>in</strong>flusses<br />
e<strong>in</strong>zelner Events. Auch hier verhalten sich die <strong>Spiel</strong>er nach e<strong>in</strong>em kumulativen<br />
Verlust aggressiver als nach e<strong>in</strong>em kumulativen Gew<strong>in</strong>n (signifikant im Heads-<br />
Up; voller Tisch am 6-<strong>Spiel</strong>er Tisch). Absolut gesehen agieren ebenfalls mehr<br />
<strong>Spiel</strong>er aggressiver nach e<strong>in</strong>em kumulativen Verlust als nach e<strong>in</strong>em Gew<strong>in</strong>n,<br />
wobei dies nur im Heads-Up signifikant ist. Für den Fall <strong>der</strong> Aggressivität im<br />
Heads-Up gilt ebenfalls, dass relativ gesehen mehr <strong>Spiel</strong>er nach e<strong>in</strong>em<br />
82
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
e<strong>in</strong>zelnen Verlust aggressiver spielen als nach e<strong>in</strong>em kumulativen Verlust<br />
gleichen Betrages (79,4 % vs. 71,0 %; beides signifikant).<br />
Tabelle 15: Aggressivität nach kumulierten Gew<strong>in</strong>nen <strong>und</strong> Verlusten<br />
(Quelle: Smith et al., 2009, S.30)<br />
Abschließend wurde e<strong>in</strong> Vergleich zwischen e<strong>in</strong>zelnen Pay-Offs <strong>und</strong><br />
kumulativen Pay-Offs gezogen <strong>und</strong> außerdem noch die Größe des Pay-Offs<br />
variiert. Hierzu wurde als Messvariable <strong>der</strong> relative Anteil <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er<br />
herangezogen, welche nach e<strong>in</strong>em Verlust mehr “Looseness“ gezeigt haben als<br />
nach e<strong>in</strong>em Gew<strong>in</strong>n. Zuerst lässt sich festhalten, dass <strong>in</strong> allen Bed<strong>in</strong>gungen<br />
dieser Anteil > 0,5 war, was bedeutet, dass <strong>in</strong> dieser Stichprobe riskanteres<br />
<strong>Spiel</strong> nach e<strong>in</strong>em Verlust signifikant ist, was e<strong>in</strong>e Relevanz <strong>der</strong> Break-Even<br />
Hypothese <strong>und</strong> Gamblers Fallacy impliziert. Desweiteren fällt auf, dass e<strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>zelner Verlust e<strong>in</strong>en größeren E<strong>in</strong>fluss hat als e<strong>in</strong>e Serie von Verlusten, was<br />
Gamblers Fallacy abschwächt <strong>und</strong> <strong>der</strong> Break-Even Hypothese mehr<br />
Erklärungsgehalt zugesteht. Zudem ist festzustellen, dass die “Looseness“ <strong>in</strong><br />
allen Bed<strong>in</strong>gungen zunimmt, je höher <strong>der</strong> Verlust ist. Schließlich fällt auf, dass<br />
auf kumulativer Betrachtungsebene die <strong>Spiel</strong>er im Heads-Up vergleichsweise<br />
mehr “loose“ spielen als auf e<strong>in</strong>zelner Ebene. Die <strong>Spiel</strong>er tendieren immer<br />
83
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
dazu im Heads-Up riskanter zu spielen 96 , jedoch s<strong>in</strong>d die Abstände auf<br />
kumulativer Ebene größer.<br />
Tabelle 16: Anteil <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er mit riskanterem <strong>Spiel</strong> nach e<strong>in</strong>em Verlust<br />
(Quelle: Smith et al., 2009, S. 31)<br />
5.2 Risk Tak<strong>in</strong>g <strong>in</strong> Turnieren<br />
In diesem Teilkapitel soll das Risikoverhalten e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers untersucht<br />
werden, wenn er unter Wettbewerbsbed<strong>in</strong>gungen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em dynamischen<br />
Umfeld mit Gegnern um e<strong>in</strong>en Turniersieg spielt. Hierdurch ergeben sich<br />
beson<strong>der</strong>e Bed<strong>in</strong>gungen, unter welchen <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er riskanter o<strong>der</strong> weniger<br />
riskant spielt.<br />
Nachfolgend wird e<strong>in</strong>e knappe Darstellung <strong>der</strong> Turniertheorie präsentiert, mit<br />
dem Ziel die relevanten Eigenschaften e<strong>in</strong>es Turniers herauszufiltern.<br />
H<strong>in</strong>terher wird e<strong>in</strong> Risk Tak<strong>in</strong>g Modell vorgestellt, das sich speziell auf den<br />
(relativ e<strong>in</strong>fachen) Fall des <strong>Poker</strong>s bezieht. Das Teilkapitel schließt mit e<strong>in</strong>er<br />
Anwendung <strong>und</strong> empirischer Untersuchung auf professionelle <strong>Poker</strong>turniere<br />
ab.<br />
5.2.1 Turniertheorie <strong>und</strong> Risk Tak<strong>in</strong>g<br />
In <strong>der</strong> klassischen Turniertheorie bewerben sich mehrere <strong>Spiel</strong>er um e<strong>in</strong>en<br />
Siegerpreis w1 <strong>und</strong> vollziehen diese Bewerbung mittels e<strong>in</strong>es bestimmten<br />
96 Bis auf e<strong>in</strong>e Ausnahme: nach e<strong>in</strong>em e<strong>in</strong>zelnen Verlust von 250 $.<br />
84
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Outputs, welchen sie wesentlich mit <strong>der</strong> Wahl e<strong>in</strong>er optimalen Anstrengung<br />
zusätzlich e<strong>in</strong>er Glückskomponente erzielen. In diesem Zusammenhang ist es<br />
wichtig zu erwähnen, dass <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Turnier die ord<strong>in</strong>ale Rangfolge zwischen<br />
den Outputs <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>ern zählt <strong>und</strong> daher die absoluten Outputs weitaus<br />
weniger wichtig s<strong>in</strong>d. E<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er gew<strong>in</strong>nt w1, wenn er gerade besser als se<strong>in</strong>e<br />
Gegner ist. 97<br />
E<strong>in</strong>e zweite wichtige Eigenschaft e<strong>in</strong>es Turniers ist außerdem die Preisstruktur,<br />
welche e<strong>in</strong>en konvexen Verlauf annimmt. Die Preise s<strong>in</strong>d generell abhängig<br />
von <strong>der</strong> Endplatzierung <strong>und</strong> daher gilt für Platzierungen j < k wj > wk, was<br />
bedeutet, dass <strong>der</strong> Preis im Rang des Endklassements steigt. E<strong>in</strong> konvexer<br />
Verlauf bedeutet <strong>in</strong> diesem Kontext, dass die zusätzliche Entlohnung bei<br />
Verbesserung um e<strong>in</strong>en Rang nicht um e<strong>in</strong>en konstanten Faktor, son<strong>der</strong>n<br />
überproportional zunimmt. 98 Für e<strong>in</strong>en Rang i mit k > i > j gilt bspw., dass (wj<br />
– wi) > (wi – wk).<br />
Abbildung 28: Konvexe Preisstrukturen<br />
(Quelle: Lee, 2004, S. 21)<br />
97 Vgl. Eriksson et al. (2006), S. 7.<br />
98 Vgl. Rosen (1986), S. 702.<br />
85
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Die Entscheidungsphase e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers wurde schließlich <strong>der</strong>art erweitert, dass<br />
er sich ebenso auf e<strong>in</strong>e bestimmte Strategie <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Turnier festlegt, bevor er<br />
se<strong>in</strong>e optimale Anstrengung wählt. Diese Strategie kann entwe<strong>der</strong> riskant o<strong>der</strong><br />
sicher se<strong>in</strong>, d.h. entwe<strong>der</strong> nimmt <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er e<strong>in</strong>e gewisse Streuung o<strong>der</strong> gar<br />
ke<strong>in</strong>e Streuung des E<strong>in</strong>kommens durch die Wahl se<strong>in</strong>er Strategie <strong>in</strong> Kauf. 99<br />
Für den Fall des <strong>Poker</strong>s ergibt sich für das Risikoverhalten e<strong>in</strong>e bestimmte<br />
Anwendung o<strong>der</strong> Umsetzung <strong>der</strong> Strategie. E<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er wählt e<strong>in</strong>e riskante<br />
Strategie, <strong>in</strong>dem er se<strong>in</strong>e optimale Strategie riskanter umsetzt <strong>und</strong> aggressiver<br />
bzw. mehr “loose“ spielt. E<strong>in</strong>e sichere Strategie wäre h<strong>in</strong>gegen e<strong>in</strong>e stark<br />
konservative Umsetzung se<strong>in</strong>er Strategie, wobei er kaum setzt <strong>und</strong> nur wenige<br />
(sehr starke) Hände spielt. Jedoch ist bei Wahl <strong>der</strong> sicheren Strategie im<br />
Gegensatz zu den Modellen aus <strong>der</strong> Turniertheorie e<strong>in</strong>e Isolation <strong>der</strong><br />
Glückskomponente nicht möglich, da sie immer e<strong>in</strong> wesentlicher Teil des<br />
<strong>Poker</strong>s se<strong>in</strong> wird.<br />
Die Performance e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em <strong>Poker</strong>turnier hängt im Wesentlichen<br />
von se<strong>in</strong>em Stack ab, welcher die Bemessungsgr<strong>und</strong>lage für den Rang e<strong>in</strong>es<br />
<strong>Spiel</strong>ers <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Turnier bildet. Für <strong>Spiel</strong>er i sei <strong>der</strong> Stack <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Turnier ci<br />
<strong>und</strong> <strong>der</strong> Index i ebenso den aktuellen Rang des <strong>Spiel</strong>ers bezeichnen. Der<br />
Ausgang des Turniers bzw. die Endplatzierung hängt wesentlich von ci ab,<br />
sodass für die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>en bestimmten Rang zu belegen von ci<br />
abhängt. Daraus folgt mit Pj (ci) die subjektive Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit, dass <strong>Spiel</strong>er<br />
i mit Stack ci am Ende den Platz j belegt. Es wurde sich zudem auf Short-<br />
handed Tische beschränkt, sodass gilt j = 1, 2,.....6.<br />
Die wesentliche (<strong>und</strong> leicht vere<strong>in</strong>fachte) Entscheidung des <strong>Spiel</strong>ers i ist<br />
entwe<strong>der</strong> e<strong>in</strong>en Betrag x mitzugehen o<strong>der</strong> auszusteigen. Falls er (<strong>und</strong> n – 1<br />
<strong>Spiel</strong>er) mitgeht <strong>und</strong> gew<strong>in</strong>nt, so steigt se<strong>in</strong> Stack um (n – 1) x. Im Falle e<strong>in</strong>er<br />
Nie<strong>der</strong>lage verliert er x. Die subjektive Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit Rang j zu belegen<br />
verän<strong>der</strong>t sich nun zu Pj (ci + (n – 1) x) bzw. Pj (ci – x). 100 Die gewichtete<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeits- Verteilungsfunktion sei Pj (ci, x) mit Pj (ci, x) ≥ Pj (ci),<br />
was impliziert, dass vermehrtes Setzen o<strong>der</strong> Risk Tak<strong>in</strong>g zum<strong>in</strong>dest die<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit erhöht se<strong>in</strong>e Platzierung zu verbessern. Wenn U(...) den<br />
99<br />
Vgl. Nieken & Sliwka (2008), S. 4f <strong>und</strong> Lee (2004), S. 1f.<br />
100<br />
Diese Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten werden zusätzlich noch mit <strong>der</strong> subjektiven<br />
Gew<strong>in</strong>nwahrsche<strong>in</strong>lichkeit gewichtet, es wird aber vernachlässigt, da an den qualitativen<br />
Ergebnissen nix geän<strong>der</strong>t wird.<br />
86
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Nutzen des <strong>Spiel</strong>ers bei Erhalt e<strong>in</strong>es Preises bezeichnet, so folgt für se<strong>in</strong>e<br />
Partizipationsbed<strong>in</strong>gung:<br />
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welche sich umformen lässt zu:<br />
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(39)<br />
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( P ( c , x)<br />
� P ( c ))<br />
k<br />
i<br />
k<br />
Pj<br />
( ci<br />
, x)<br />
� Pj<br />
( ci<br />
)<br />
U ( wi<br />
� gij<br />
) �<br />
( P ( c , x)<br />
� P ( c ))<br />
k<br />
i<br />
Pj<br />
( ci<br />
, x)<br />
� Pj<br />
( ci<br />
)<br />
U ( wi<br />
� lij<br />
) � U ( wi<br />
)<br />
( P ( c , x)<br />
� P ( c ))<br />
k<br />
i<br />
i<br />
k<br />
k<br />
i<br />
i<br />
(40)<br />
(41)<br />
Die Partizipationsbed<strong>in</strong>gung des <strong>Spiel</strong>ers i vergleicht den Erwartungsnutzen<br />
aus <strong>der</strong> Teilnahme am <strong>Spiel</strong> mit möglichen Gew<strong>in</strong>nen o<strong>der</strong> Verlusten mit dem<br />
Erwartungsnutzen aus <strong>der</strong> Nicht-Teilnahme. Der Erwartungsnutzen gewichtet<br />
jeweils den Nutzen aus <strong>der</strong> Verbesserung <strong>und</strong> Verschlechterung um e<strong>in</strong>en Rang<br />
über alle Ränge mit <strong>der</strong> jeweiligen Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit. Der zusätzliche<br />
Gew<strong>in</strong>n gij bezeichnet den Gew<strong>in</strong>n bei Verbesserung um e<strong>in</strong>en Rang von Platz<br />
i zu Platz j, analog gilt dies für e<strong>in</strong>en Verlust lij wenn man sich von Platz i auf j<br />
verschlechtert. Aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Konvexität <strong>der</strong> Preisstruktur s<strong>in</strong>d die marg<strong>in</strong>alen<br />
Gew<strong>in</strong>ne <strong>und</strong> Verluste bei Verbesserung um e<strong>in</strong>en Rang nicht für alle Ränge<br />
gleich, son<strong>der</strong>n abhängig von dem aktuellen Rang des <strong>Spiel</strong>ers. E<strong>in</strong>e<br />
Verschlechterung von Platz 1 auf Platz 2 generiert e<strong>in</strong>en größeren Verlust als<br />
es zwischen Platz 5 <strong>und</strong> 6 <strong>der</strong> Fall wäre. Zudem s<strong>in</strong>d über alle Ränge die<br />
Gew<strong>in</strong>ne e<strong>in</strong>er Rangverbesserung größer als die Verluste e<strong>in</strong>er<br />
Verschlechterung.<br />
Aus <strong>der</strong> Partizipationsbed<strong>in</strong>gung des <strong>Spiel</strong>ers lassen sich außerdem weitere<br />
Rückschlüsse auf das Risikoverhalten des <strong>Spiel</strong>ers schließen, wenn man die<br />
Gleichungen (40) bzw. (41) betrachtet. Der <strong>Spiel</strong>er ist demnach bereit mehr zu<br />
riskieren o<strong>der</strong> zu spielen, wenn <strong>der</strong> marg<strong>in</strong>ale Lohn e<strong>in</strong>er Rangverbesserung gij<br />
steigt, woh<strong>in</strong>gegen er steigenden marg<strong>in</strong>alen Verlusten e<strong>in</strong>er<br />
87
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Rangverschlechterung lij es immer mehr vorzieht weniger riskant bzw. gar<br />
nicht zu spielen.<br />
Im Falle <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er die sich h<strong>in</strong>sichtlich ihres Ranges am Rand bewegen<br />
lassen diese Tatsachen Implikationen zu. Für den führenden <strong>Spiel</strong>er (i = 1)<br />
lohnt es demnach gar nicht zu spielen <strong>und</strong> zu riskieren, weil se<strong>in</strong> Gew<strong>in</strong>n bei<br />
e<strong>in</strong>er Rangverbesserung 0 beträgt, da er sich nicht mehr verbessern kann. Die<br />
führenden <strong>Spiel</strong>er spielen demnach eher passiv, beson<strong>der</strong>s wenn die subjektive<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit e<strong>in</strong>er Rangverschlechterung sehr hoch ist. Dies wäre dann<br />
<strong>der</strong> Fall, wenn se<strong>in</strong> nächster Verfolger sehr dicht an ihm dran ist <strong>und</strong> er nur<br />
e<strong>in</strong>en kle<strong>in</strong>en Vorsprung hat. Bei e<strong>in</strong>em großen Vorsprung auf den nächsten<br />
Verfolger wäre das Gegenteil denkbar, sodass <strong>der</strong> sog. Chip-Lea<strong>der</strong> riskanter<br />
spielt, da selbst e<strong>in</strong> Verlust se<strong>in</strong>e Führung nicht gefährdet.<br />
Für den letztplatzierten <strong>Spiel</strong>er (Small Stack, i = 6) gilt h<strong>in</strong>gegen genau das<br />
Gegenteil, da er ke<strong>in</strong>e Verluste aufgr<strong>und</strong> e<strong>in</strong>er Rangverschlechterung zu<br />
befürchten hat <strong>und</strong> demnach sehr riskant bzw. viel Hände spielen kann. Auch<br />
<strong>in</strong> diesem Fall steigen die Anreize zu mehr Risiko, wenn die subjektiven<br />
Chancen e<strong>in</strong>er Rangverbesserung steigen, was <strong>der</strong> Fall wäre, wenn <strong>der</strong> nächste<br />
<strong>Spiel</strong>er (i = 5) nur e<strong>in</strong>en kle<strong>in</strong>en Vorsprung <strong>in</strong> se<strong>in</strong>en Chips hat. 101<br />
5.2.2 Applikation auf professionelle <strong>Poker</strong>turniere 102<br />
Das obige Modell für Risk Tak<strong>in</strong>g im <strong>Poker</strong> mit se<strong>in</strong>en Implikationen soll nun<br />
auf empirischer Ebene überprüft werden. Die Datengr<strong>und</strong>lage für diese<br />
Analyse stellen unterschiedliche <strong>Spiel</strong>er im Zeitraum 2002-2004 dar, welche an<br />
offiziellen Turnieren <strong>der</strong> World <strong>Poker</strong> Tour teilgenommen haben <strong>und</strong> es dort<br />
bis unter die letzten Sechs am F<strong>in</strong>altisch geschafft haben. Es wurde sich zudem<br />
auf e<strong>in</strong>e Videoanalyse <strong>der</strong> jeweiligen Events beschränkt.<br />
Schließlich belief sich die Zahl <strong>der</strong> Turniere <strong>in</strong> diesem Zeitraum auf 27 <strong>und</strong> für<br />
die Turniere wurden die relevanten Daten wie die Preisstruktur, die <strong>Spiel</strong>er<br />
sowie <strong>der</strong>en anfängliche Stacks am F<strong>in</strong>altisch <strong>und</strong> <strong>der</strong>en Endplatzierung<br />
dokumentiert. Um dem Modell aus 5.2.1 gerecht zu werden, wurde das<br />
Risikoverhalten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er am F<strong>in</strong>altisch beobachtet, sobald nur noch 6<br />
<strong>Spiel</strong>er am Tisch (bzw. im Turnier) waren.<br />
101 Vgl. Lee (2004), S. 3ff.<br />
102 Vgl. Lee (2004), S. 5-20.<br />
88
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Die Preisstruktur variierte zwischen den Turnieren, es stellte sich jedoch e<strong>in</strong>e<br />
typisch konvexe Struktur heraus. Der Siegerpreis macht im Mittel die Hälfte<br />
<strong>und</strong> die Preise <strong>der</strong> ersten Drei ca. 81 % des gesamten Preispools aus. Im<br />
Vergleich zum Siegerpreis für Platz 6 ist <strong>der</strong> erste Preis 11-mal <strong>und</strong> <strong>der</strong> zweite<br />
Preis 5,4-mal größer.<br />
Tabelle 17: Preisstruktur <strong>der</strong> untersuchten Turniere<br />
(Quelle: Lee, 2004, S.14); alle Werte <strong>in</strong> US-$<br />
Empirisches Modell: Das Risikoverhalten <strong>der</strong> letzten sechs <strong>Spiel</strong>er stand im<br />
Vor<strong>der</strong>gr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Analyse <strong>und</strong> im e<strong>in</strong>leitenden Modell wurde Risk Tak<strong>in</strong>g als<br />
mehr frequentiertes Setzen o<strong>der</strong> generell Aktivität e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers am Tisch<br />
def<strong>in</strong>iert. Durch e<strong>in</strong>e hohe Aktivität am Tisch hat e<strong>in</strong> <strong>Spiel</strong>er e<strong>in</strong>e hohe<br />
Variation <strong>in</strong> se<strong>in</strong>em Stack, was auf durchaus e<strong>in</strong> Indikator für riskantes <strong>Spiel</strong><br />
se<strong>in</strong> kann. Es wurde bspw. angenommen, dass die Small Stacks riskanter<br />
spielen als die an<strong>der</strong>en <strong>Spiel</strong>er, da sie ke<strong>in</strong>e Verluste durch e<strong>in</strong>e<br />
Rangverschlechterung zu befürchten haben. Diese Annahme gew<strong>in</strong>nt an<br />
empirischer Relevanz, wenn man Tabelle 18 <strong>in</strong> Betracht zieht, welche im<br />
Mittelfeld rangierte <strong>Spiel</strong>er mit den letztplatzierten <strong>Spiel</strong>ern vergleicht. Die<br />
Small Stacks haben e<strong>in</strong>e doppelt so hohe prozentuale Variation <strong>in</strong> ihren Stacks<br />
als die im Mittelfeld rangierten <strong>Spiel</strong>er. Obwohl ihre Stacks fast 2,5-mal<br />
kle<strong>in</strong>er s<strong>in</strong>d, ist ihre absolute Variation nicht signifikant kle<strong>in</strong>er.<br />
89
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Tabelle 18: Wesentliche Statistiken für die empirische Analyse<br />
(Quelle: Lee, 2004, S.15); alle absoluten Werte <strong>in</strong> US-$<br />
Als Maß für das <strong>in</strong>dividuelle Risikoverhalten wurde die Variation <strong>in</strong> den Chips<br />
<strong>der</strong> e<strong>in</strong>zelnen <strong>Spiel</strong>er gewählt. Da es sich um e<strong>in</strong>e Videoanalyse handelte, gab<br />
es das Problem, dass die Zwischenstände <strong>der</strong> Chips für Dritte erstens nicht<br />
je<strong>der</strong>zeit verfügbar waren <strong>und</strong> zweitens nur nach großen Verän<strong>der</strong>ungen <strong>in</strong> den<br />
Chip-Stacks o<strong>der</strong> im Rank<strong>in</strong>g e<strong>in</strong>geblendet wurden, um die Spannung beim<br />
Zuschauer aufrecht zu erhalten (Broadcast<strong>in</strong>g Bias). Die Daten unterlagen<br />
damit gewissen Verzerrungen <strong>und</strong> waren nicht stetig verfügbar. Ferner wurde<br />
sich bei <strong>der</strong> weiteren Analyse nur auf die <strong>Spiel</strong>er im Mittelfeld (Rang 2-5)<br />
konzentriert <strong>und</strong> sobald nur noch zwei <strong>Spiel</strong>er im Turnier waren, wurde die<br />
Datenbeschaffung beendet.<br />
Als abhängige Variable wurde die Variation <strong>der</strong> e<strong>in</strong>zelnen Chip-Stacks <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er gewählt <strong>und</strong> wird nachfolgend als ∆c<strong>in</strong>k bezeichnet. Es wurde sich<br />
demnach auf die Verän<strong>der</strong>ungen <strong>der</strong> Chips des <strong>Spiel</strong>ers auf Rang i <strong>in</strong> <strong>der</strong> n-ten<br />
90
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
E<strong>in</strong>blendung im k-ten Turnier konzentriert. Da es sich um e<strong>in</strong>e Verän<strong>der</strong>ung<br />
handelt, wurde die Differenz des Chip-Stacks <strong>in</strong> <strong>der</strong> n-ten <strong>und</strong> (n – 1)-ten<br />
E<strong>in</strong>blendung <strong>der</strong> Stacks im k-ten Turnier gebildet <strong>und</strong> h<strong>in</strong>terher <strong>der</strong> Betrag <strong>der</strong><br />
Differenz verwendet, sodass ∆c<strong>in</strong>k = │ci, n, k – ci, n – 1, k│.<br />
Zur Menge <strong>der</strong> unabhängigen Variablen gehören die erwarteten E<strong>in</strong>kommen<br />
aus e<strong>in</strong>er Rangverän<strong>der</strong>ung, d.h. Gew<strong>in</strong>ne durch Rangverbesserung <strong>und</strong><br />
Verluste durch Rangverschlechterung jeweils um e<strong>in</strong>en Rang. Der erste Fall<br />
soll als gi = (wi – 1 – wi) <strong>und</strong> <strong>der</strong> zweite Fall als li = (wi – wi+1) bezeichnet<br />
werden. Es wird erwartet, dass höhere Gew<strong>in</strong>ne durch Rangverbesserung mehr<br />
Risiko <strong>und</strong> höhere Verluste durch Rangverschlechterung weniger Risiko beim<br />
<strong>Spiel</strong>er <strong>in</strong>duzieren, was Verlustaversion impliziert. Dementsprechend richten<br />
sich die Erwartungen an die Koeffizienten.<br />
Ebenso s<strong>in</strong>d die Abstände zwischen den Stacks <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er e<strong>in</strong> E<strong>in</strong>flussfaktor<br />
für das Risikoverhalten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er. In diesem Kontext ist es relevant, wie hoch<br />
<strong>der</strong> Vorsprung des nächst führenden <strong>Spiel</strong>ers (auf Rang i – 1) auf den <strong>Spiel</strong>er<br />
auf Rang i <strong>und</strong> wie hoch <strong>der</strong> eigene Vorsprung auf den nächsten Verfolger (auf<br />
Rang i+1) ist. Der erste Fall sei konkret mit σ - (c<strong>in</strong>k) = (ci – 1 – ci) <strong>und</strong> <strong>der</strong> zweite<br />
Fall mit σ + (c<strong>in</strong>k) = (ci – ci+1) bezeichnet. Es wird erwartet, dass sich sowohl e<strong>in</strong><br />
großer Rückstand auf den nächst besser rangierten <strong>Spiel</strong>er als auch e<strong>in</strong> großer<br />
Vorsprung auf den nächsten Verfolger positiv auf das Risikoverhalten <strong>der</strong><br />
<strong>Spiel</strong>er auswirkt. Die Intuition liegt dar<strong>in</strong>, dass die aktuelle Position relativ<br />
sicher ist, wenn man e<strong>in</strong>en großen Vorsprung hat <strong>und</strong> daher Risk Tak<strong>in</strong>g<br />
attraktiver wird. Im Falle e<strong>in</strong>es großen Rückstandes steigt <strong>der</strong> Anreiz riskanter<br />
zu spielen, da mit geduldigem <strong>und</strong> relativ konservativem <strong>Spiel</strong> die Aussichten<br />
auf e<strong>in</strong>en höheren Rang nicht unbed<strong>in</strong>gt steigen. Um den Rückstand zu<br />
verkle<strong>in</strong>ern werden dann mehr Hände gespielt, was bei e<strong>in</strong>em kle<strong>in</strong>en<br />
Rückstand nicht <strong>der</strong> Fall ist. Hier setzt <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e relativ aussichtsreiche<br />
Position nicht leichtfertig aufs <strong>Spiel</strong> <strong>und</strong> wartet lieber auf e<strong>in</strong>e gute Chance.<br />
Schließlich wurde e<strong>in</strong>e an<strong>der</strong>e unabhängige Variable <strong>in</strong> das empirische Modell<br />
aufgenommen, welche e<strong>in</strong>en Vektor aus Konstanten <strong>und</strong> Kontrollvariablen<br />
darstellt <strong>und</strong> als X<strong>in</strong>k bezeichnet wird. X<strong>in</strong>k be<strong>in</strong>haltet ci, n – 1, k, n, Nk <strong>und</strong> wnk.<br />
Die beiden letzten Terme stellen zum e<strong>in</strong>en die Gesamtzahl <strong>der</strong> E<strong>in</strong>blendungen<br />
<strong>der</strong> Stacks <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Turnier k dar (Nk) <strong>und</strong> zum an<strong>der</strong>en den M<strong>in</strong>destpreis bei<br />
91
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
<strong>der</strong> n-ten E<strong>in</strong>blendung im Turnier k (wnk) dar, was den Preis bezeichnet, <strong>der</strong><br />
dem aktuell letztplatziertem <strong>Spiel</strong>er zusteht.<br />
Die für die Schätzung relevante Gleichung lautet schließlich:<br />
�c<br />
� � � �<br />
<strong>in</strong>k<br />
�<br />
�<br />
1 g<strong>in</strong>k<br />
��<br />
2l<strong>in</strong>k<br />
� �1�<br />
( c<strong>in</strong>k<br />
) � �2�<br />
( c<strong>in</strong>k<br />
) � �X<br />
<strong>in</strong>k <strong>in</strong>k (42).<br />
Resultate: Die empirische Analyse vollzog sich aus <strong>der</strong> Sicht <strong>der</strong> im Mittelfeld<br />
rangierten <strong>Spiel</strong>er <strong>und</strong> wurde über fünf verschiedene Schätzgleichungen<br />
vollzogen (Spalten (1) – (5) <strong>in</strong> Tabelle 19), wobei nur jeweils die Menge<br />
erklären<strong>der</strong> Variablen erweitert wurde. Die Gleichung (42) bezieht sich auf die<br />
Spalte (4) <strong>in</strong> Tabelle 19.<br />
Wie erwartet haben die Gew<strong>in</strong>ne durch Rangverbesserung <strong>und</strong> Verluste durch<br />
Rangverschlechterung e<strong>in</strong>en unterschiedlichen E<strong>in</strong>fluss auf das Risikoverhalten<br />
des <strong>Spiel</strong>ers, sowohl <strong>in</strong> <strong>der</strong> Stärke als auch <strong>in</strong> <strong>der</strong> Richtung. Steigende g<strong>in</strong>k<br />
haben e<strong>in</strong>en positiven E<strong>in</strong>fluss auf das Risikoverhalten des <strong>Spiel</strong>ers, was sich<br />
<strong>in</strong> mehr Variation se<strong>in</strong>es Stacks äußert. Im Gegensatz dazu haben steigende<br />
Verluste durch Rangverschlechterung e<strong>in</strong>en hemmenden Effekt auf die<br />
Partizipation des <strong>Spiel</strong>ers. Zudem ist dieser gegenläufige Effekt stärker, sodass<br />
│α1│< │α2│ gilt <strong>und</strong> Verlustaversion impliziert. Steigende Verluste haben<br />
e<strong>in</strong>en hemmenden Effekt, welcher durch e<strong>in</strong>en steigenden Gew<strong>in</strong>n gleichen<br />
Betrages nicht kompensiert werden kann.<br />
Die Rolle <strong>der</strong> Abstände <strong>der</strong> Stacks zwischen den <strong>Spiel</strong>ern sollte durch den<br />
Vorsprung bzw. Rückstand auf den nächst rangierten <strong>Spiel</strong>ern verdeutlicht<br />
werden. In diesem Fall erwies sich nur <strong>der</strong> Rückstand auf den nächst rangierten<br />
<strong>Spiel</strong>er als signifikant, ausgedrückt durch σ - (c<strong>in</strong>k) = (ci – 1 – ci). E<strong>in</strong> Vorsprung<br />
wirkt h<strong>in</strong>gegen nicht för<strong>der</strong>nd für riskanteres <strong>Spiel</strong>, was bedeutet, dass <strong>Spiel</strong>er<br />
nicht unbed<strong>in</strong>gt leichtfertig mit ihren Stack umgehen, nur weil sie e<strong>in</strong>en großen<br />
Vorsprung auf den nächsten Verfolger haben. Im Gegensatz dazu agieren<br />
<strong>Spiel</strong>er mehr “loose“, wenn sie e<strong>in</strong>en großen Rückstand auf den nächst besser<br />
platzierten <strong>Spiel</strong>er haben.<br />
Der M<strong>in</strong>destpreis, d.h. <strong>der</strong> Preis <strong>der</strong> dem letzten <strong>Spiel</strong>er unter den verbliebenen<br />
<strong>Spiel</strong>ern zusteht, hat ebenfalls e<strong>in</strong>en positiven E<strong>in</strong>fluss auf das Risikoverhalten<br />
<strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er. Je höher dieser ist, desto riskanter o<strong>der</strong> frequentierter agieren die<br />
<strong>Spiel</strong>er. Die Erklärung liegt wohl dar<strong>in</strong>, dass <strong>der</strong> M<strong>in</strong>destpreis e<strong>in</strong> <strong>in</strong>verses<br />
92
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Verhältnis zu <strong>der</strong> am Tisch verbliebenen Anzahl an <strong>Spiel</strong>ern hat. Je weniger<br />
<strong>Spiel</strong>er am Tisch s<strong>in</strong>d, desto höher ist die EHS <strong>und</strong> damit <strong>der</strong> Anreiz zu<br />
spielen. Diese Tatsache korreliert mit <strong>der</strong> konvexen Preisstruktur <strong>und</strong> führt bei<br />
steigendem M<strong>in</strong>destpreis zu mehr Aktivität unter den <strong>Spiel</strong>ern.<br />
Tabelle 19: Resultate <strong>der</strong> empirischen Analyse<br />
(Quelle: Lee, 2004, S. 17)<br />
Abschließend wurde das Alter (Age) <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er zur weiteren spezifizierten<br />
Erklärung herangezogen <strong>und</strong> e<strong>in</strong> U-förmiger Verlauf durch die Analyse<br />
impliziert. Mit steigendem Alter s<strong>in</strong>kt die die Risikobereitschaft, woh<strong>in</strong>gegen<br />
diese ab e<strong>in</strong>em sehr hohem Alter (Age 2 ) wie<strong>der</strong> zunimmt. Dies impliziert, dass<br />
jüngere <strong>Spiel</strong>er relativ aggressiv spielen. Die Schätzgleichung f<strong>in</strong>det sich <strong>in</strong><br />
93
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Spalte (5) <strong>der</strong> Tabelle 19 wie<strong>der</strong>. Diese Erkenntnis nimmt grafisch folgende<br />
Gestalt an:<br />
Abbildung 29: Zusammenhang zwischen Alter <strong>und</strong> Risk Tak<strong>in</strong>g<br />
(Quelle: Lee, 2004, S.23)<br />
6 Schlussbetrachtung<br />
In den spieltheoretischen Ansätzen zu <strong>Poker</strong>strategien wurde zum e<strong>in</strong>en<br />
deutlich, dass die Modellierung des <strong>Spiel</strong>s <strong>in</strong> extensiver Form aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong><br />
Komplexität nicht e<strong>in</strong>es realistischen Modells gleichkommt. Auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en<br />
Seite wurde <strong>in</strong> diesen Ansätzen jedoch klar, dass es e<strong>in</strong>en Positionsvorteil unter<br />
den <strong>Spiel</strong>ern geben kann <strong>und</strong> das Bluff<strong>in</strong>g als elementarer Teil e<strong>in</strong>er effizienten<br />
Strategie unverzichtbar ist. Letzteres verschärft die für <strong>Poker</strong> charakteristische<br />
asymmetrische Informationsstruktur unter den <strong>Spiel</strong>ern, <strong>in</strong>dem sie <strong>in</strong>sb. die<br />
Unsicherheit für die Gegner erhöht <strong>und</strong> die eigene Berechenbarkeit schmälert.<br />
In den entscheidungstheoretischen Modellen zu <strong>Poker</strong> wird die realistischere<br />
Darstellung des <strong>Spiel</strong>s h<strong>in</strong>gegen besser bewältigt, woh<strong>in</strong>gegen die optimale<br />
Strategie nicht <strong>in</strong> e<strong>in</strong>fachen statischen Handlungsnormen mündet, son<strong>der</strong>n<br />
e<strong>in</strong>en dynamischen Charakter aufweist, was beson<strong>der</strong>s durch das Opponent<br />
Model<strong>in</strong>g entsteht. Hier erwägt <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er se<strong>in</strong>e Entscheidung zwar auch auf<br />
94
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Basis von Erwartungswerten ab, jedoch gelten diese <strong>in</strong>dividuell für die<br />
jeweiligen Gegner. Der E<strong>in</strong>bezug des Gegners stellt dadurch e<strong>in</strong>en Fortschritt<br />
für die Darstellung e<strong>in</strong>er optimalen Strategie dar.<br />
Die Umsetzung <strong>und</strong> Effizienz e<strong>in</strong>er optimalen Strategie hängt im Wesentlichen<br />
von den Fähigkeiten <strong>und</strong> dem <strong>in</strong>dividuellen Stil e<strong>in</strong>es <strong>Spiel</strong>ers ab, wobei beide<br />
Faktoren durch Lernverhalten dynamischen Prozessen unterliegen. Diese<br />
Lernprozesse betreffen hauptsächlich die Verbesserung <strong>der</strong> Fähigkeiten <strong>und</strong> die<br />
Anpassung e<strong>in</strong>er Strategie an den Gegner. Zudem hat die Strategie <strong>in</strong> dem<br />
<strong>Spiel</strong> e<strong>in</strong>en signifikanten E<strong>in</strong>fluss auf den <strong>Spiel</strong>ausgang, auch wenn die<br />
Glückskomponente diesen stark e<strong>in</strong>schränkt. Der Grad des E<strong>in</strong>flusses <strong>und</strong> die<br />
Profitabilität des <strong>Spiel</strong>s für e<strong>in</strong>en optimalen <strong>Spiel</strong>er hängen wie<strong>der</strong>rum von den<br />
Gegnern am Tisch ab. Je heterogener die <strong>Spiel</strong>er am Tisch s<strong>in</strong>d, desto schneller<br />
wird <strong>der</strong> E<strong>in</strong>fluss e<strong>in</strong>er optimalen Strategie deutlich.<br />
Die <strong>Spiel</strong>er können jedoch auch von ihren optimalen Strategie abweichen,<br />
<strong>in</strong>dem sie ihren <strong>Spiel</strong>stil verän<strong>der</strong>n o<strong>der</strong> ihre Fähigkeiten bee<strong>in</strong>trächtigt<br />
werden, was zu unterschiedlich riskantem <strong>Spiel</strong> führen kann. Der Gr<strong>und</strong> hierfür<br />
liegt <strong>in</strong> kognitiven Verzerrungen <strong>in</strong> den Denkstrukturen <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er, welche<br />
beson<strong>der</strong>s durch Gew<strong>in</strong>ne o<strong>der</strong> Verluste ausgelöst werden. In diesem Kontext<br />
weist die Verlustaversion den höchsten Erklärungsgehalt für das beobachtete<br />
Verhalten auf, wobei ebenso die Fehle<strong>in</strong>schätzung von Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten<br />
für den Fall des <strong>Poker</strong>s e<strong>in</strong>e hohe Relevanz aufweist. Ferner wird auch das<br />
Risikoverhalten <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er unter Turnierbed<strong>in</strong>gungen signifikant von <strong>der</strong><br />
Verlustaversion unter den <strong>Spiel</strong>ern geprägt, sodass von <strong>der</strong> Preisstruktur <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>em Turnier e<strong>in</strong> hoher E<strong>in</strong>fluss ausgeht. Die Abstände <strong>der</strong> Stacks zwischen<br />
den <strong>Spiel</strong>ern haben <strong>in</strong> diesem Zusammenhang e<strong>in</strong>en eher schwachen E<strong>in</strong>fluss<br />
<strong>und</strong> liefern weniger Erklärungsgehalt für empirische Beson<strong>der</strong>heiten.<br />
E<strong>in</strong>e <strong>in</strong>teressante Frage wirft sich h<strong>in</strong>gegen auf, wenn man das Verhalten <strong>der</strong><br />
<strong>Poker</strong>spieler zwischen Turnieren <strong>und</strong> Cash-Games differenziert betrachten<br />
würde, da die <strong>Spiel</strong>formen durch unterschiedliche Charakteristika (z.B. <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
Preisstruktur) auffallen. Außerdem kann <strong>der</strong> House-Money Effekt, welcher<br />
bisher e<strong>in</strong>en schwachen Erklärungsgehalt lieferte, nicht auf Basis erfahrener<br />
Gew<strong>in</strong>ne, son<strong>der</strong>n auf Basis von Preis-Promotion Maßnahmen seitens <strong>der</strong><br />
Anbieter von Onl<strong>in</strong>e-<strong>Poker</strong> Seiten untersucht werden, da hier ebenfalls <strong>der</strong><br />
E<strong>in</strong>druck “fremden“ Geldes stark vermittelt wird.<br />
95
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Literaturverzeichnis<br />
- Alon, Noga (2007): <strong>Poker</strong>, Chance and Skill; Work<strong>in</strong>g Paper,<br />
URL: http://www.math.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/skill4.pdf.<br />
- Barone, Luigi; While, Lyndon (1998): Evolv<strong>in</strong>g Adaptive Play for<br />
Simplified <strong>Poker</strong>; Evolutionary Computation Proceed<strong>in</strong>gs, 1998 IEEE World<br />
Congress on Computational Intelligence, pp. 108-113.<br />
- Bereby-Meyer, Yoella; Erev, Ido (1998): On Learn<strong>in</strong>g to Become a<br />
Successful Loser: A Comparison of Alternative Abstractions of Learn<strong>in</strong>g<br />
<strong>in</strong> the Loss Doma<strong>in</strong>; Journal of Mathematical Psychology; 42, pp. 266-286.<br />
- Bill<strong>in</strong>gs, Darse; Burch, N.; Davidson, A.; Holte, R.; Schaeffer, J. ;<br />
Schauenberg, T.; Szafron, D. (2003): Approximat<strong>in</strong>g Game-Theoretic<br />
Optimal Strategies for Full-Scale <strong>Poker</strong>; URL:<br />
http://web.cs.ualberta.ca/~holte/Publications/IJCAI2003.pdf.<br />
- Bill<strong>in</strong>gs, Darse; Davidson, Aaron; Schaeffer, Jonathan; Szafron, Duane<br />
(2002): The Challenge of <strong>Poker</strong>; Artificial Intelligence, 134: (1-2), pp. 201-<br />
240.<br />
- Bill<strong>in</strong>gs, Darse; Papp, Denis; Schaeffer, Jonathan; Szafron, Duane (1998):<br />
Opponent Model<strong>in</strong>g <strong>in</strong> <strong>Poker</strong>; Proceed<strong>in</strong>gs of the 15 th National Conference of<br />
AI, pp. 493-499.<br />
- Borm, Peter; Hendrickx, Ruud; Hilbers, Pim; Van <strong>der</strong> Genugten, Ben (2008):<br />
Measur<strong>in</strong>g Skill <strong>in</strong> More-Person Games with Applications to <strong>Poker</strong>; CentER<br />
Discussion Paper 2008-106, Tilburg University.<br />
- Burns, Kev<strong>in</strong> (2004): Heads-Up Face-Off: On Style and Skill <strong>in</strong> the Game of<br />
<strong>Poker</strong>, URL:<br />
http://www.aaai.org/Papers/Symposia/Fall/2004/FS-04-07/FS04-07- 003.pdf<br />
- Croson, Rachel; S<strong>und</strong>ali, James (2005): The Gamblers Fallacy and the Hot-<br />
Hand: Empirical Data from Cas<strong>in</strong>os; Journal of Risk and Uncerta<strong>in</strong>ty, 30:3,<br />
pp. 195-209.<br />
- Davidson: Aaron (2002): Opponent Model<strong>in</strong>g <strong>in</strong> <strong>Poker</strong>: Learn<strong>in</strong>g and Act<strong>in</strong>g<br />
<strong>in</strong> a Hostile and Uncerta<strong>in</strong> Environment; Master of Science Thesis, University<br />
of Alberta. URL: http://epr<strong>in</strong>ts.kfupm.edu.sa/55918/1/55918.pdf.<br />
- Dedonno, Michael E.; Detterman, Douglas K. (2008): <strong>Poker</strong> Is a Skill;<br />
Gam<strong>in</strong>g Law Review; 12:1, pp. 31-36.<br />
96
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
- Dohmen, Thomas; Falk, Arm<strong>in</strong>; Hufman, David; Markle<strong>in</strong>, Felix; S<strong>und</strong>e,<br />
Uwe (2009): Biased Probability Judgement: Evidence of Incidence and<br />
Relationship to Economic Outcomes From a Representative Sample; Journal<br />
of Economic Behavior and Organization, 72:3, pp. 903-915. Ebenso: IZA<br />
Discussion Paper Series 4170.<br />
- Dreef, Marcel; Borm, Peter; Van <strong>der</strong> Genugten; Ben (2003a): On Strategy<br />
and Relative Skill <strong>in</strong> <strong>Poker</strong>; International Game Theory Review, 5:2, pp. 83-<br />
103.<br />
- Dreef, Marcel; Borm, Peter; Van <strong>der</strong> Genugten, Ben (2003b): Measur<strong>in</strong>g Skill<br />
<strong>in</strong> Games: Several Approaches Discussed; CentER Discussion Paper 2003-09,<br />
Tilburg University.<br />
- Dreef, Marcel; Borm, Peter; Van <strong>der</strong> Genugten, Ben (2001): A New Relative<br />
Skill Measure for Games with Chance Elements; CentER Discussion Paper<br />
2001-106, Tilburg University.<br />
- Eriksson, Tor , Sabr<strong>in</strong>a Teyssier <strong>und</strong> Marie- Claire Villeval (2006). Self-<br />
Selection and the Efficiency of Tournaments; IZA Discussion Paper Series<br />
1983, URL: http://ftp.iza.org/dp1983.pdf.<br />
- Ferguson, Chris; Ferguson, Thomas (2003): On the Borel and von Neumann<br />
<strong>Poker</strong> Models; Game Theory and Applications, 9, pp.17- 32.<br />
- Ferguson, Chris; Ferguson, Thomas; Gawargy, Cephas (2007): U (0, 1)<br />
Two-Person <strong>Poker</strong> Models; Game Theory and Applications, 12, pp.17-37.<br />
- Fernandes, Jose L. B.; Pena, Juan Ignacio; Tabak, Benjam<strong>in</strong> M. (2006):<br />
Myopic Loss Aversion and House-Money Effect Overseas: An Experimental<br />
Approach; Work<strong>in</strong>g Paper Series 115, Central Bank of Brazil, Research<br />
Department.<br />
- Fiedler, Ingo; Rock, Jan-Philipp (2009): Quantify<strong>in</strong>g Skill <strong>in</strong> Games- Theory<br />
and Empirical Evidence from <strong>Poker</strong>; Gam<strong>in</strong>g Law Review and Economics, 13,<br />
pp. 50-57.<br />
- Friedman, Lawrence (1971): Optimal Bluff<strong>in</strong>g Strategies <strong>in</strong> <strong>Poker</strong>;<br />
Management Science; 17:12, pp. 764-771.<br />
- Gärl<strong>in</strong>g, Tommy; Romanus, Joakim (1997): Integration and Segregation of<br />
Prior Outcomes <strong>in</strong> Risky Decisions; Scand<strong>in</strong>avian Journal of Psychology, 38,<br />
pp. 289-296.<br />
- Hoelzl, Erik; Loewenste<strong>in</strong>, George (2005): Wear<strong>in</strong>g Out your Shoes to<br />
97
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Prevent Someone from Stepp<strong>in</strong>g <strong>in</strong>to them: Anticipated Regret and Social<br />
Takeover <strong>in</strong> sequential Decisions; Organizational Behavior and Human<br />
Decision Processes, 98, pp. 15-27.<br />
- Kendall, Graham; Willdig, Mark (2001): An Investigation of an Adaptive<br />
<strong>Poker</strong> Player, URL: http://www.cs.nott.ac.uk/~gxk/papers/ai01poker.pdf.<br />
- Kahnemann, Daniel; Tversky, Amos (1979): Prospect Theory: An Analysis<br />
of Decision un<strong>der</strong> Risk; Econometrica, 47, S. 263-291.<br />
- Korb, Kev<strong>in</strong>; Nicholson, Ann E. <strong>und</strong> Jitnah, Nathalie (1999): Bayesian <strong>Poker</strong>;<br />
Uncerta<strong>in</strong>ty <strong>in</strong> Artificial Intelligence, 1999, S. 343-350.<br />
- Lee, Jungm<strong>in</strong> (2004). Prize and Risk- Tak<strong>in</strong>g <strong>in</strong> Tournaments: Evidence<br />
from Professional <strong>Poker</strong> Players; IZA Discussion Paper Series 1345, URL:<br />
ftp://ftp.iza.org/dps/dp1345.pdf.<br />
- Looijmans, R.P.; Wiersema, J.; van Wijngaarden, J. (2008): Prospect Theory<br />
<strong>in</strong> Texas Hold`em <strong>Poker</strong>; Work<strong>in</strong>g Paper, E<strong>in</strong>dhoven University of<br />
Technology, URL: http://www.love2poker.nl/files/ProspectTheory.pdf.<br />
- Lubet, Steven (2006): Lawyers <strong>Poker</strong>: 52 Lessons that Lawyers can learn<br />
from Card Players; Oxford University Press.<br />
- Nieken, Petra <strong>und</strong> Sliwka, Dirk (2008). Risk- Tak<strong>in</strong>g Tournaments: Theory<br />
and Experimental Evidence; IZA Discussion Paper Series 3400,URL:<br />
http://ftp.iza.org/dp3400.pdf.<br />
- Park, Young-Joon; Santos-P<strong>in</strong>to, Luis (2007): Forecasts of Relative<br />
Performance <strong>in</strong> Tournaments: Evidence from the Field; URL:<br />
http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=999638<br />
- Parke, Adrian; Griffiths, Mark; Parke, Jonathan (2005): Can Play<strong>in</strong>g <strong>Poker</strong><br />
Be Good for You? <strong>Poker</strong> as a Transferable Skill; Journal of Gambl<strong>in</strong>g Issues;<br />
14, URL: http://www.camh.net/egambl<strong>in</strong>g/issue14/jgi_14_parke.html.<br />
- Pearl, Judea (2006): Two Journeys <strong>in</strong>to Human Reason<strong>in</strong>g; UCLA Cognitive<br />
Systems Laboratory, Technical Report (R-331).<br />
URL: http://ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r331.pdf.<br />
- Rab<strong>in</strong>, Matthew; Vayanos, Dimitri (2009): The Gamblers and the Hot-Hand<br />
Fallacies: Theory and Applications; Work<strong>in</strong>g Paper, URL:<br />
http://personal.lse.ac.uk/vayanos/Papers/GHFTA_RESf.pdf.<br />
- Rapoport, Ammon; Erev, Ido; Abraham, Elizabeth V.; Olson, David E.<br />
(1997): Randomization and Adaptive Learn<strong>in</strong>g <strong>in</strong> a Simplified <strong>Poker</strong> Game;<br />
98
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Organizational Behavior and Human Decision Processes; 69, pp. 31-49.<br />
- Qiu, Jiany<strong>in</strong>g (2009): Loss Aversion and Mental Account<strong>in</strong>g: The Favorite-<br />
Longshot Bias <strong>in</strong> Parimutuel Bett<strong>in</strong>g; Work<strong>in</strong>g Papers <strong>in</strong> Economics and<br />
Statistics 2009-15, Universität Innsbruck.<br />
- Riley, David H.; Urbancic, Michael B.; Walker, Mark (2008): Stripped-Down<br />
<strong>Poker</strong>: A Classroom Game with Signal<strong>in</strong>g and Bluff<strong>in</strong>g; Journal of Economic<br />
Education, 39:4, pp. 323-341.<br />
- Rohwer, Paul; Salim, Michel (2005): <strong>Poker</strong> Opponent Model<strong>in</strong>g; URL:<br />
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.578&rep=rep1&t<br />
ype=pdf<br />
- Sklansky, David (2004): The Theory of <strong>Poker</strong>; 6 th Edition, Hen<strong>der</strong>son: Two<br />
Plus Two Publish<strong>in</strong>g.<br />
- Smith, Gary; Kutzman, Robert; Levere, Michael (2008): <strong>Poker</strong> Player<br />
Behavior after Big W<strong>in</strong>s and Losses; Work<strong>in</strong>g Paper, Pomona College, URL:<br />
http://www.economics.pomona.edu/GarySmith/<strong>Poker</strong>Players.pdf; ebenso<br />
erschienen <strong>in</strong>: Management Science, 55:9, pp. 1547-1555.<br />
- Swanson, Jason (2005): Game Theory and <strong>Poker</strong>; Work<strong>in</strong>g Paper, URL<br />
http://www.swansonsite.com/W/<strong>in</strong>structional/game_theory.pdf.<br />
- Thaler, Richard H.; Johnson, Eric J. (1990): Gambl<strong>in</strong>g with the House Money<br />
and Try<strong>in</strong>g to Break-Even: The Effects of Prior Outcomes on Risky Choice;<br />
Management Science, 36:6, pp. 643-660.<br />
- Tversky, Amos; Fox, Craig R. (1995): Weight<strong>in</strong>g Risk and Uncerta<strong>in</strong>ty;<br />
Psychological Review, 102:2, pp.269-283.<br />
- Tversky, Amos; Kahnemann, Daniel (1974): Judgement un<strong>der</strong> Uncerta<strong>in</strong>ty:<br />
Heuristics and Biases; Science, 185, pp. 1124-1131.<br />
- Uske, Tobias (2008): Tournament Fever and the Perception of Strategic<br />
Uncerta<strong>in</strong>ty <strong>in</strong> Performance Contests; Jena Economic Research Papers<br />
2008-057.<br />
- Yu, Kam; Wang, Huan (2009): Economic Analysis of Black-Jack: An<br />
Application of Prospect Theory; Work<strong>in</strong>g Paper, Lakehead University<br />
Thun<strong>der</strong> Bay, URL: http://flash.lakeheadu.ca/~kyu/Papers/Yu-Wang2009.pdf.<br />
99
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
A Appendix<br />
A 1 Mathematischer Anhang<br />
Herleitung optimaler Strategien im Kapitel 3<br />
3.1.2 Von Neumann/Morgenstern <strong>Poker</strong><br />
Die Bestimmung von optimalen Strategien vollzieht sich <strong>in</strong> 2 Schritten. Zuerst<br />
werden die Indifferenzgleichungen <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>er ermittelt <strong>und</strong> h<strong>in</strong>terher wird das<br />
Gleichungssystem gelöst.<br />
Indifferenzgleichungen für a < c < b<br />
1) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> a: bet o<strong>der</strong> check<br />
Payoff (check) = 2a <strong>und</strong> Payoff (bet) = 2c - B(1-c), damit ergibt sich für<br />
Punkt a 2a = 2c - B(1-c).<br />
2) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> b: check o<strong>der</strong> bet<br />
Payoff (check) = 2b <strong>und</strong> Payoff (bet) = 2c + (B+2)(b-c) - B(1-b), damit ergibt<br />
sich für Punkt b 2b= 2c + (B+2)(b-c) – B(1-b), was sich zu 1= 2b-c<br />
vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
3) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> c: fold o<strong>der</strong> call<br />
Payoff (fold) = 0 <strong>und</strong> Payoff(call) = (B+2)(a) - B(1-b), damit ergibt sich für<br />
Punkt c 0 = (B+2)a – B(1-b).<br />
Indifferenzsystem<br />
1) 2a = 2c- B(1-c)<br />
2) c = 2b- 1<br />
3) (B+2)a - B(1-b) = 0<br />
- Schritt 1: E<strong>in</strong>setzen von 2) <strong>in</strong> 1) <strong>und</strong> auflösen nach a ergibt 1`)<br />
1`) a = 2b -1- B + Bb<br />
3) (B+2) a- B (1-b) = 0<br />
- Schritt 2: E<strong>in</strong>setzen von 1`) <strong>in</strong> 3) <strong>und</strong> Auflösen nach b<br />
3) (B+2)( (2b-1)- B+ Bb) - B(1-b)= 0<br />
100
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
-<br />
5Bb + B 2 b + 4b = 4B + B 2 + 2<br />
b( (B+1)(B+4) ) = 4B + B 2 + 2<br />
2<br />
4B<br />
� B � 2<br />
b �<br />
rekursives E<strong>in</strong>setzen von b <strong>in</strong> 2) ergibt c<br />
( B �1)(<br />
B � 4)<br />
B(<br />
B � 3)<br />
c �<br />
E<strong>in</strong>setzen von c <strong>in</strong> 1) ergibt schließlich a<br />
( B �1)(<br />
B � 4)<br />
B<br />
a �<br />
( B �1)(<br />
B � 4)<br />
3.1.3 Erweiterungen des Von Neumann/Morgenstern <strong>Poker</strong><br />
Erweiterung 1<br />
Indifferenzgleichungen für a < e < b < f < c <strong>und</strong> a < d < c<br />
1) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> a: bet o<strong>der</strong> check-fold<br />
Payoff (check-fold) = 0 <strong>und</strong> Payoff (bet) = 2d - B(1-d), damit ergibt sich für<br />
Punkt a die Gleichung 0 = 2d - B(1-d) o<strong>der</strong><br />
B<br />
d � .<br />
( 2 � B)<br />
2) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> b: check-fold o<strong>der</strong> check-call<br />
Payoff (check-fold) = 2(b-e) <strong>und</strong> Payoff (check-call) = (2+B)e + 2(b-e) – B(1-<br />
f), damit ergibt sich für Punkt b 2(b-e)= (2+B)e + 2(b-e) - B(1-f), was sich zu<br />
(2+B)e + Bf = B vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
3)Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> c: check-call o<strong>der</strong> bet<br />
Payoff (check-call) = (2+B)(e+(c-f)) + 2(f-e) - B(1-c) <strong>und</strong> Payoff (bet) = 2d +<br />
(2+B)(c-d) - B(1-c), damit ergibt sich für Punkt c (2+B)(e+(c-f)) + 2(f-e) - B<br />
(1-c)= 2d + (2+B)(c-d) - B(1-c), was sich zu 0 = B(d + e - f) bzw. d + e – f = 0<br />
vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
4) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> d: fold o<strong>der</strong> call<br />
101
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
a 1�<br />
c<br />
Payoff (fold)= 0 <strong>und</strong> Payoff (call) = ( 2 � B)<br />
� B(<br />
) , damit ergibt<br />
1�<br />
c � a 1�<br />
c � a<br />
a 1�<br />
c<br />
sich für Punkt d 0= (2+B) - B ( ) , was sich zu (2+B)a + Bc =B<br />
1 � c � a 1�<br />
c � a<br />
vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
5) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> e: bet o<strong>der</strong> check<br />
b � a c � b<br />
e � a<br />
Payoff (bet) = 2(<br />
) � B(<br />
) <strong>und</strong> Payoff (check) = 2(<br />
) , damit ergibt<br />
c � a c � a<br />
c � a<br />
sich für Punkt e<br />
= 0 vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
b � a c � b e � a<br />
2(<br />
) � B(<br />
) � 2(<br />
, was sich zu (2+B)b – Bc – 2e<br />
c � a c � a c � a)<br />
6) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> f: check o<strong>der</strong> bet<br />
f � a<br />
Payoff (check) = 2(<br />
) <strong>und</strong> Payoff (bet) =<br />
c � a<br />
b � a<br />
2(<br />
) � ( 2<br />
c � a<br />
2(<br />
f<br />
c<br />
f � b c � f<br />
� B)(<br />
) � B(<br />
) , damit ergibt sich für Punkt f<br />
c � a c � a<br />
� a b � a<br />
) � 2(<br />
) � ( 2<br />
� a c � a<br />
bzw. b + c - 2f = 0 vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
Indifferenzsystem<br />
1)<br />
B<br />
d �<br />
2 � B<br />
2) B = (2+B)e + Bf<br />
3) 0 = (d + e – f)<br />
4) B = (2+B)a + Bc<br />
5) 0 = (2+B)b – Bc – 2e<br />
6) 0 = b + c -2f<br />
f � b c � f<br />
� B)(<br />
) � B(<br />
) , was sich zu B(b + c - 2f) = 0<br />
c � a c � a<br />
- Schritt 1: Auflösen von 2) nach e <strong>und</strong> E<strong>in</strong>satz von 2) <strong>und</strong> 1) <strong>in</strong> 3)<br />
B ( 1�<br />
f ) B<br />
3 ) 0 = � � f<br />
2<br />
� B 2 � B<br />
102
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
B<br />
f �<br />
1�<br />
B<br />
- Schritt 2: E<strong>in</strong>setzen von f <strong>und</strong> d <strong>in</strong> 3)<br />
3)<br />
B B<br />
0 � � e �<br />
2 � B 1�<br />
B<br />
B<br />
e �<br />
( 2 � B)(<br />
1�<br />
B)<br />
- Schritt 3: E<strong>in</strong>setzen von f <strong>in</strong> 6) Auflösen von 6) nach b; E<strong>in</strong>setzen von e <strong>und</strong><br />
f <strong>in</strong> 5)<br />
2B<br />
2B<br />
5) ( 2 � B )( � c)<br />
� Bc �<br />
� 0<br />
( 1�<br />
B)<br />
( B �1)(<br />
B � 2)<br />
2 3<br />
4B<br />
� B � 3B<br />
B((<br />
B �1)(<br />
B � 3))<br />
� c(<br />
1�<br />
B)<br />
�<br />
� c<br />
2<br />
( 1�<br />
B)(<br />
2 � B)<br />
( B �1)<br />
( B � 2)<br />
B(<br />
B � 3)<br />
c �<br />
( B � 2)(<br />
B �1)<br />
- Schritt 4 : E<strong>in</strong>setzen von f <strong>und</strong> c <strong>in</strong> 6)<br />
2B<br />
B(<br />
B � 3)<br />
6) b � 2 f � c � b � �<br />
1�<br />
B ( B � 2)(<br />
B �1)<br />
2<br />
2<br />
2B<br />
� 4B<br />
� B � 3B<br />
B<br />
b �<br />
� b �<br />
( B �1)(<br />
B � 2)<br />
B � 2<br />
- Schritt 5 : Auflösen von 4) nach a E<strong>in</strong>setzen von c<br />
4)<br />
( 1�<br />
c)<br />
B<br />
2B<br />
a � � a �<br />
2<br />
( B � 2)<br />
( B � 2)<br />
( B �1)<br />
Erweiterung 2<br />
Indifferenzgleichungen für 0 < a < e < b < c < f < 1 <strong>und</strong> 0 < d < e<br />
1) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> a : bet-fold o<strong>der</strong> check<br />
103
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Payoff (bet-fold) = 2d –B(1-d) <strong>und</strong> Payoff (check) = 2a, damit ergibt sich für<br />
Punkt a 2a = 2d – B(1-d) o<strong>der</strong> B = (2+B)d – 2a<br />
2) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> b : check o<strong>der</strong> bet-fold<br />
Payoff (check) = 2b <strong>und</strong> Payoff (bet-fold) = 2d – B(e-d) – (1-b)B + (2+B)(b-<br />
e), damit ergibt sich Punkt b 2b = 2d – B(e-d) – (1-b)B + (2+B)(b-e), was sich<br />
zu B = 2Bb + (2+B)d – 2(1+B)e vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
3) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> c : bet-fold o<strong>der</strong> bet-call<br />
Payoff (bet-fold) = - (1-f)B <strong>und</strong> Payoff (bet-call) = (e-d)(2+2B+R) – (B+R)(1-<br />
f), damit ergibt sich für Punkt c - (1-f)B = (e-d)(2+2B+R) – (B+R)(1-f), was<br />
sich zu R = (2+2B+R)e + Rf – (2+2B+R)d vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
4) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> d : fold o<strong>der</strong> raise<br />
Payoff (fold) = 0 <strong>und</strong> Payoff (raise) = (B+2)a + (B+2)(c-b) – (1-c)(B+R), damit<br />
ergibt sich für Punkt d : 0 = (B+2)a + (B+2)(c-b) – (1-c)(B+R), was sich zu<br />
B+R = (B+2)a + (2+2B+R)c – (B+2)b vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
5) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> e : raise o<strong>der</strong> call<br />
Payoff (raise) = (2+B)(c-b) – (B+R)(1-c) <strong>und</strong> Payoff (call) = - B(1-b), damit<br />
ergibt sich für Punkt e (2+B)(c-b) – (B+R)(1-c) = - B(1-b), was sich zu R = -<br />
2(1+B)b + (2+2B+R)c vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
6) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> f : call o<strong>der</strong> raise<br />
Payoff (call) = (2+B)a + (2+B)(c-b) + (2+B)(f-c) – B(1-f) <strong>und</strong> Payoff (raise) =<br />
(2+B)a + (2+B)(c-b) + (2+2B+R)(f-c) – (B+R)(1-f), was sich nach<br />
Gleichsetzen zu 0 = R(f-c) – R(1-f) reduziert <strong>und</strong> zu<br />
vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
Indifferenzsystem<br />
1) B = (2+B)d – 2a<br />
2) B = 2Bb + (2+B)d – 2(1+B)e<br />
3) R = Rf + (2+2B+R)e – (2+2B+R)d<br />
( 1 � c)<br />
f �<br />
2<br />
104
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
4) B + R = (B+2)a + (2+2B+R)c – (B+2)b<br />
5) R = - 2(1+B)b + (2+2B+R)c<br />
6) f = (1+c)/2<br />
- Schritt 1: 1) nach d auflösen<br />
B 2<br />
1) d � � a<br />
( 2 � B)<br />
( 2 � B)<br />
- Schritt 2: 5) nach c auflösen <strong>und</strong> E<strong>in</strong>setzen von c <strong>in</strong> 4)<br />
5)<br />
R � 2(<br />
1 � B)<br />
b<br />
c �<br />
( 2 � 2B<br />
� R)<br />
� R � 2(<br />
1�<br />
B)<br />
b �<br />
4) B � R � ( B � 2)<br />
a � ( 2 � 2B<br />
� R)<br />
��<br />
� ( 2 � B)<br />
b<br />
( 2 2B<br />
R)<br />
��<br />
� � � �<br />
- Schritt 3: 4) nach b auflösen<br />
2 � B<br />
4) b �1<br />
� a<br />
B<br />
- Schritt 4: E<strong>in</strong>setzen von d <strong>und</strong> b <strong>in</strong> 2) <strong>und</strong> Auflösen nach e<br />
� ( 2 � B)<br />
� � B 2a<br />
�<br />
2) B � 2B�1 � a�<br />
� ( 2 � B)<br />
� 2(<br />
1 � B)<br />
e<br />
B<br />
�� �<br />
( 2 B)<br />
( 2 B)<br />
��<br />
�<br />
� � � � �<br />
B<br />
e � � a<br />
1 � B<br />
- Schritt 5: E<strong>in</strong>setzen von b <strong>in</strong> 5) <strong>und</strong> von c <strong>in</strong> 6)<br />
5)<br />
6)<br />
R � 2(<br />
1�<br />
B)<br />
b 2(<br />
1�<br />
B)(<br />
2 � B)<br />
a<br />
c �<br />
� c �1<br />
�<br />
( 2 � 2B<br />
� R)<br />
B(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
f<br />
( 1�<br />
c)<br />
( 1�<br />
B)(<br />
2 � B)<br />
a<br />
� � f � 1�<br />
2<br />
B(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
- Schritt 6: E<strong>in</strong>setzen von f, d <strong>und</strong> e <strong>in</strong> 3) <strong>und</strong> Auflösen nach a<br />
R � Rf � ( 2 � 2B<br />
� R)<br />
d � ( 2 � 2B<br />
� R)<br />
e<br />
� ( 1 � B)(<br />
2 � B)<br />
a �<br />
� B � 2a<br />
�<br />
� B �<br />
R � R��<br />
1�<br />
�� � ( 2 � 2B<br />
� R)<br />
�� �� � ( 2 � 2B<br />
� R)<br />
� � a�<br />
� B(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
�<br />
� ( 2 � B)<br />
�<br />
�1<br />
� B �<br />
2<br />
2<br />
B ( 2 � 2B<br />
� R)<br />
2<br />
2<br />
� a �<br />
mit �<br />
� B(<br />
4 � B)(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
� ( 1�<br />
B)(<br />
2 � B)<br />
R<br />
( 1�<br />
B)<br />
�<br />
105
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
- Schritt 7:E<strong>in</strong>setzen von a <strong>in</strong> c(a) bzw. f(a) aus Schritt 5<br />
2<br />
2<br />
2(<br />
1�<br />
B)(<br />
2 � B)<br />
B ( 2 � 2B<br />
� R)<br />
2B(<br />
2 � B)(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
c ( a)<br />
� 1�<br />
� c � 1�<br />
B(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
( 1�<br />
B)<br />
�<br />
�<br />
2<br />
2<br />
( 1�<br />
B)(<br />
2 � B)<br />
B ( 2 � 2B<br />
� R)<br />
f ( a)<br />
� 1�<br />
B(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
( 1�<br />
B)<br />
�<br />
Erweiterung 3<br />
�<br />
B(<br />
2 � B)(<br />
2 � 2B<br />
� R)<br />
f � 1�<br />
�<br />
Indifferenzgleichungen für a < g < b < c < h < d < j < f <strong>und</strong> für a < k < m < d<br />
< e < n < f<br />
1) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> a: bet-fold o<strong>der</strong> check-fold<br />
Payoff (bet-fold) = 2k – 2(1-k) <strong>und</strong> Payoff (check-fold) = 0, damit ergibt sich<br />
für Punkt a 0 = 2k – 2(1-k) o<strong>der</strong> 2k = 1<br />
2) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> b: check-fold o<strong>der</strong> check-raise<br />
Payoff (check-fold) = 0 <strong>und</strong> Payoff (check-raise) = 4g + 4(j-h) – 8(1-j), damit<br />
ergibt sich für Punkt b 0 = 4g + 4(j-h) – 8(1-j) o<strong>der</strong> 2 = g – h + 3j<br />
3) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> c: check-raise o<strong>der</strong> check-call<br />
Payoff (check-raise) = 4g + 4(j-h) – 8 (1-j) <strong>und</strong> Payoff (check-call) = 4g – 2(1-<br />
h), damit ergibt sich für Punkt c 4g + 4(j-h) – 8(1-j) = 4g – 2(1-h), was sich<br />
zu 2j = 1 + h reduziert.<br />
4) Für <strong>Spiel</strong>er gilt <strong>in</strong> d: check-call o<strong>der</strong> bet-fold<br />
Payoff (check-call) = 2(h-g) + 4g + 4(d-h) – 2(1-d) <strong>und</strong> Payoff (bet-fold) = 2k<br />
– 2(m-k) + 4(d-m) – 2(1-d), damit ergibt sich für Punkt d 2(h-g) + 4g + 4(d-<br />
h) – 2(1-d) = 2k – 2(m-k) + 4(d-m) – 2(1-d), was sich zu 2g – 2h = 4k – 6m<br />
bzw. g – h – 2k + 3m = 0 reduzieren lässt.<br />
5) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> e: bet-fold o<strong>der</strong> bet-call<br />
106
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Payoff (bet-fold) = 2k + 4(e-m) – 2(1-e) – 2((m-k) + (1-n)) <strong>und</strong> Payoff (bet-<br />
call) = 2k + 4(e-m) – 2(1-e) + 10(m-k) – 8(1-n), damit ergibt sich für Punkt e<br />
2k + 4(e-m) – 2(1-e) – 2( (m-k) + (1-n)) = 2k + 4(e-m) – 2(1-e) + 10(m-k) –<br />
8(1-n), was sich zu 2m – 2k + n = 1 vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
6) Für <strong>Spiel</strong>er 1 gilt <strong>in</strong> f: bet-call o<strong>der</strong> check-raise<br />
Payoff (check-call) = 2k + 4(n-m) + 10(m-k) + 10(f-n) – 8(1-f) <strong>und</strong> Payoff<br />
(check-raise) = 4g + 2(h-g) + 4(j-h) + 10(f-j) – 8(1-f), damit ergibt sich für<br />
Punkt f 2k + 4(n-m) + 10(m-k) + 10(f-n) – 8(1-f) = 4g + 2(h-g) + 4(j-h) +<br />
10(f-j) – 8(1-f), was sich zu 0 = g – h + 4k – 3m + 3n reduzieren lässt.<br />
7) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> g: bet-fold o<strong>der</strong> check<br />
Payoff (bet-fold) = 2(b-a) – 2(c-b) – 2(d-c) – 2(1-f) <strong>und</strong> Payoff (check) = 2(g-<br />
a), damit ergibt sich für Punkt g 2(g-a) = 2(b-a) – 2(c-b) – 2(d-c) – 2(1-f), was<br />
sich zu 2b + f – g – d = 1 vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
8) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> h: check o<strong>der</strong> bet-fold<br />
Payoff (check) = 2h <strong>und</strong> Payoff (bet-fold) = 2b – 2(c-b) + 4(h-c) – 2(d-h) –<br />
2(1-f), damit ergibt sich für Punkt h 2h = 2b- 2(c-b) + 4(h-c) – 2(d-h) – 2(1-f),<br />
was sich zu 1 = 2h – 3c – d + f + 2b reduziert.<br />
9) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> j: bet-fold o<strong>der</strong> bet-call<br />
Payoff (bet-fold) = 2b – 2(c-b) – 2(1-f) + 4(d-c) <strong>und</strong> Payoff (bet-call) = 2b +<br />
10(c-b) + 4(d-c) – 8(1-f), damit ergibt sich für Punkt j 2b – 2(c-b) – 2(1-f) +<br />
4(d-c) = 2b + 10(c-b) + 4(d-c) – 8(1-f), was sich zu 1 = 2c – 2b + f reduziert.<br />
10) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> k: fold o<strong>der</strong> raise<br />
Payoff (fold) = 0 <strong>und</strong> Payoff (raise) = 4a + 4(e-d) – 8(f-e), damit ergibt sich für<br />
Punkt k 0 = 4a + 4(e-d) – 8(f-e) bzw. a + 3e – d – 2f = 0.<br />
11) Für <strong>Spiel</strong>er 2 gilt <strong>in</strong> m: raise o<strong>der</strong> call<br />
Payoff (raise) = 4a + 4(e-d) – 8(f-e) <strong>und</strong> Payoff (call) = 4a – 2(f-d), damit<br />
ergibt sich für Punkt m 4a + 4(e-d) – 8(f-e) = 4a – 2(f-d), was sich zu d – 2e +<br />
f = 0 vere<strong>in</strong>fachen lässt.<br />
107
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
12) Für <strong>Spiel</strong>er2 gilt <strong>in</strong> n: call o<strong>der</strong> raise<br />
Payoff (call) = 4a + 4(e-d) + 4(n-e) – 2(f-n) <strong>und</strong> Payoff (raise) = 4a + 4(e-d) +<br />
10(n-e) – 8(f-n), damit ergibt sich für Punkt n 4a + 4(e-d) + 4(n-e) – 2(f-n) =<br />
4a + 4(e-d) + 10(n-e) – 8(f-n), was sich zu e + f – 2n = 0 reduzieren lässt.<br />
Indifferenzsysteme 1 <strong>und</strong> 2<br />
L<strong>in</strong>eares Gleichungssystem von 12 Gleichungen soll <strong>in</strong> zwei Systeme gesplittet<br />
werden, welche jeweils aus 6 Gleichungen besteht.<br />
LGS 1<br />
1) 2k = 1 (nach k auflösen <strong>und</strong> <strong>in</strong> 4) – 6) e<strong>in</strong>setzen)<br />
2) g – h + 3j = 2<br />
3) – h + 2j = 1<br />
4) g – h – 2k + 3m = 0<br />
5) – 2k + 2m + n = 1<br />
6) g – h – 3 j + 4k – 3m + 3n = 0<br />
- Schritt 1: 1) nach k auflösen <strong>und</strong> 5) nach n auflösen <strong>und</strong> <strong>in</strong> 6) e<strong>in</strong>setzen<br />
1) k = ½<br />
5) n = 2(1-m)<br />
6) g – h – 3j + 4(1/2) – 3m + 3(2(1-m)) = 0<br />
g – h – 3j – 9m + 8 = 0<br />
- Schritt 2: 4) nach m auflösen <strong>und</strong> <strong>in</strong> 6) e<strong>in</strong>setzen<br />
4)<br />
1� h � g<br />
m �<br />
3<br />
1�<br />
h � g<br />
6) g – h – 3j – 9m + 8 = 0 � g � h � 3 j � 9(<br />
) � 8 � 0<br />
3<br />
4(g – h) – 3j + 5 = 0<br />
- Schritt 3: 2) nach g – h auflösen <strong>und</strong> <strong>in</strong> 6) e<strong>in</strong>setzen<br />
2) g – h = 2 – 3j<br />
108
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
6) 4(2-3j) – 3j + 5 = 0<br />
13<br />
� j �<br />
15<br />
� durch rekursives E<strong>in</strong>setzen erhält man die Werte für g, h, n <strong>und</strong> m!<br />
LGS 2 gegeben: g, h, j, k, m <strong>und</strong> n (E<strong>in</strong>satz <strong>in</strong> die Gleichungen 1), 2) <strong>und</strong> 6))<br />
1) 2b – d + f = 17/15<br />
2) 2b – 3c – d + f = - 7/15<br />
3) – 2b + 2c + f = 1<br />
4) a – d + 3 e – 2 f = 0<br />
5) d – 2e + f = 0<br />
6) e + f = 28/15<br />
- Schritt 1: 6) nach f auflösen <strong>und</strong> E<strong>in</strong>satz <strong>in</strong> 1) – 5)<br />
6) f = 28/15 – e<br />
1) 2b – d – e = - 11/15<br />
2) 2b – 3c – d – e = - 35/15<br />
3) – 2b + 2c – e = - 7/15<br />
4) a – d + 5e = 56/15<br />
5) d – 3e + 28/15 = 0<br />
- Schritt 2: 5) nach d auflösen <strong>und</strong> E<strong>in</strong>satz <strong>in</strong> 1), 2) <strong>und</strong> 4)<br />
5) d = 3e – 28/15<br />
1) 2b – 4e = -39/15<br />
2) 2b – 3c – 4e = - 63/15<br />
4) a + 2e = 28/15<br />
- Schritt 3: 4) nach e auflösen <strong>und</strong> E<strong>in</strong>satz <strong>in</strong> 1) – 3)<br />
4)<br />
14 a<br />
e � �<br />
15 2<br />
1) 2b + 2a = 17/15<br />
2) 2b – 3c + 2a = - 7/15<br />
3) – 2b + 2c + a/2 = 7/15<br />
109
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
- Schritt 4: Auflösen von 1) nach b <strong>und</strong> E<strong>in</strong>satz <strong>in</strong> 2)<br />
17<br />
1) b � � a<br />
30<br />
2)<br />
�17<br />
�<br />
7<br />
2� � a�<br />
� 3c<br />
� 2a<br />
� � � c �<br />
� 30 �<br />
15<br />
- Schritt 5: E<strong>in</strong>setzen von c Ausgangsgleichungen 1) – 5)<br />
1) 2b – d + f = 17/15<br />
2) 2b – 3(8/15) – d + f = - 7/15<br />
2b – d + f = 17/15<br />
3) – 2b + 2(8/15) + f = 1<br />
f – 2b = -1/15<br />
4) a – d + 3e – 2f = 0<br />
5) d – 2e + f = 0<br />
6) f = 28/15 – e<br />
- Schritt 6: E<strong>in</strong>setzen von 6) <strong>in</strong> 1) – 5), Gleichung 2) wird elim<strong>in</strong>iert<br />
1) 2b – d – e = - 11/15<br />
3) – 2b – e = - 29/15<br />
4) a – d + 5e = 56/15<br />
5) d – 3e = -28/15<br />
- Schritt 7: Auflösen von 3) nach e <strong>und</strong> E<strong>in</strong>setzen <strong>in</strong> 1), 4) <strong>und</strong> 5)<br />
3) e = – 2b + 29/15<br />
1) 4b – d = 18/15<br />
4) a – d – 10b = - 89/15<br />
5) d + 6b = 59/15<br />
- Schritt 8: Auflösen von 5) nach d <strong>und</strong> e<strong>in</strong>setzen <strong>in</strong> 1) <strong>und</strong> 4)<br />
5) d = 59/15 – 6b<br />
8<br />
15<br />
110
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
1) 4b – (59/15 – 6b) = 18/15<br />
b = 77/150<br />
4) a – (59/15 – 6b) – 10b = -89/15<br />
a = 8/150<br />
E<strong>in</strong>setzen von b <strong>in</strong> 5) ergibt d <strong>und</strong> von b <strong>in</strong> 3) ergibt e <strong>und</strong> schließlich ergibt<br />
sich f durch E<strong>in</strong>satz von e <strong>in</strong> 6)!<br />
111
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
A 2 Grafischer Anhang<br />
Abbildung 30: E<strong>in</strong>trittsfrequenz <strong>der</strong> Subklassen <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>hände<br />
(Quelle: Dreef et al. 2003, S. 95)<br />
Abbildung 31: approximative Verteilungsfunktion <strong>der</strong> Subklassen <strong>der</strong><br />
<strong>Poker</strong>hände<br />
(Quelle: Dreef et al. 2003, S.95)<br />
112
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Abbildung 32: Simulationen zum Lernverhalten ohne sequentielle Strategien<br />
(Quelle: Rapoport et. al, 1997, S. 41)<br />
113
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
Abbildung 33: Simulationen zum Lernverhalten mit sequentiellen Strategien<br />
(Quelle: Rapoport et al., 1997, S. 42)<br />
114
<strong>Poker</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Spiel</strong>- <strong>und</strong> <strong>Entscheidungstheorie</strong><br />
A 3 Tabellarischer Anhang<br />
Tabelle 20: Klassifikation von <strong>Poker</strong>händen<br />
(Quelle: Dreef et. al 2003, S.94)<br />
Tabelle 21: Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten <strong>der</strong> <strong>Poker</strong>hände am Beispiel 5-Card Draw<br />
(Quelle: Dreef et. al, S.94)<br />
115