Markowanalysen stochastisch fluktuierender Zeitserien - Turbulenz ...

12 KAPITEL 2. PROBLEMSTELLUNGEN DER TURBULENZ
Das komplexe Verhalten turbulenter Strömungen rührt wesentlich vom zweiten Term
der linken Seite der Navier–Stokes–Gleichung, dem sogenannten Advektionsterm
(⃗w(⃗x, t) · ∇) ⃗w(⃗x, t), her. Er koppelt die Gleichung einer bestimmten Komponente
des Geschwindigkeitsfelds nichtlinear an die Gleichungen für die anderen beiden
Komponenten an und macht eine analytische Behandlung der Navier-Stokes-
Gleichung praktisch unmöglich.
Der Einfluss des Advektionsterms ist allerdings nicht in allen Fällen gleich groß.
Sehr zähe Fluide bzw. Strömungen bei sehr kleinen Geschwindigkeiten werden vom
Dissipationsterm dominiert, der eine glättende Wirkung hat und dafür sorgt, dass
die Strömung laminar bleibt. Eine erste Charakterisierung einer Strömung hinsichtlich
ihres Verhaltens (turbulent bzw. laminar) ist durch die sog. Reynoldszahl Re
möglich. Man erhält sie, indem man die Navier–Stokes– und die Kontinuitätsgleichung
in eine dimensionslose Form überführt. Dazu werden neben der Viskosität
ν (ihre SI-Einheit ist m 2 /s) eine typische Längenskala L sowie eine typische Geschwindigkeitsskala
W benötigt. Beide sind im Prinzip frei wählbar, also beliebig.
Das jeweils betrachtete konkrete System legt aber meist eine bestimmte Wahl nahe,
für das in dieser Arbeit betrachtete Freistrahlexperiment etwa ist es üblich, den
Düsendurchmesser und die Austrittsgeschwindigkeit des Strahls aus der Düse zu
verwenden, siehe auch Kapitel 5 (diese beiden Größen legen die Randbedingungen
dieser Strömung eindeutig fest).
Die mit Hilfe von ν, L und W in dimensionslose Form überführte Navier-Stokes-
Gleichung enthält als einzigen Parameter die Reynoldszahl
Re = W L
ν
, (2.3)
deren Kehrwert als Vorfaktor des Dissipationsterms in die Gleichung eingeht. Je
grösser die Reynoldszahl wird, desto geringer wird daher der Einfluss des Dissipationsterms
und desto turbulenter wird die Strömung. Der Übergang in turbulentes
Verhalten findet, abhängig vom konkreten Strömungstyp, typischerweise bei
Reynoldszahlen von einigen hundert statt [86].
Die bei großen Reynoldszahlen auftretenden turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen
haben einen entscheidenden Einfluss auf die globalen Eigenschaften der
Strömung. Dies wird deutlich, wenn man die aus der Navier-Stokes-Gleichung resultierende
Gleichung für die Mittelwerte der Geschwindigkeit betrachtet, die sog.
Reynoldsgleichung. Man zerlegt dazu das Geschwindigkeitsfeld ⃗w(⃗x, t) in seinen zeitunabhängigen
Mittelwert ⃗ W (⃗x) = 〈⃗w(⃗x, t)〉 und die zeitabhängigen Fluktuationen
⃗v(⃗x, t) (mit 〈⃗v(⃗x, t)〉 = 0 ) um diesen Mittelwert:
⃗w(⃗x, t) = ⃗ W (⃗x) + ⃗v(⃗x, t) . (2.4)
(Der Mittelwert < . . . > ist hierbei das Ergebniss einer Ensemblemittelung.) Eine
analoge Zerlegung wird für den Druck p(⃗x, t) vorgenommen. Man erhält damit aus
der Navier-Stokes-Gleichung die folgende Gleichung für ⃗ W (⃗x):
( ) ⃗W · ∇ ⃗W
1 = −
ρ ∇ 〈p〉 + 〈 〉 ν∇2 W ⃗ + ⃗f
1 + ∇τ, (2.5)
ρ