Markowanalysen stochastisch fluktuierender Zeitserien - Turbulenz ...

88 KAPITEL 6. MARKOWANALYSE EXPERIMENTELLER DATEN
ergeben sich allerdings auch hier in den numerischen Werten: Für den hier untersuchten
Datensatz mit λ/L ≈ 0, 1 erhält man aus der Theorie gemäss Gleichung
(6.45) für δ 0 einen Wert von δ 0 ≈ 0, 003, der experimentell gefundene Wert dagegen
liegt bei δ 0 = 0, 014 (siehe Gleichung (6.19)).
Abschliessend sei noch bemerkt, dass die Theorie Yakhots, obwohl sie nur für den
Spezialfall unendlich hoher Reynoldszahlen gilt, in der Darstellung (6.45) über das
Verhältnis λ/L eine Reynoldszahlabhängigkeit des linearen Terms δ enthält. Dem
Kaskadenmodell der Turbulenz zufolge sollte das Verhältnis λ/L mit Re −1/2 skalieren
[85, 108]. Gibt man die Skala r in Einheiten der Taylorlänge λ an, müsste man
demnach also erwarten können, dass der Faktor δ 0 mit der Wurzel der Reynoldszahl
abnimmt. Wiederum im Vorgriff auf Kapitel 7 sein erwähnt, dass experimentell
tatsächlich eine Abnahme von δ 0 mit der Reynoldszahl beobachtet wird, allerdings
lässt sich der beobachtete Abfall besser mit einem Skalenexponenten von −3/8 beschreiben:
δ 0 ∝ Re −3/8 .
Auch zu dem in Kapitel 3.6 diskutierten thermodynamischen Ansatz kann eine
Verbindung gefunden werden. Die Anwendung dieses verallgemeinerten thermodynamischen
Ansatzes von Tsallis auf die Turbulenz führt zu folgender Vorhersage für
die Wahrscheinlichkeitsdichten des Geschwindigkeitsinkrements:
p(u, r) =
m 1
. (6.46)
(1 + m 2 u 2 k(r)
)
Die beiden (skalenabhängigen) Koeffizienten m 1 und m 2 sind durch die Normierungsbedingung
für p(u, r) und die Standardabweichung des Geschwindigkeitsinkrements
u(r) gegeben, der Skalenexponent k(r) berechnet sich zu:
k(r) = 1 + log 2
r
η . (6.47)
Eine Erweiterung dieses Konzeptes auf asymmetrische Verteilungen wurde zwar
ebenfalls vorgeschlagen [12], der Einfachheit halber beschränkt sich die folgende
Diskussion aber auf den Fall symmetrischer Verteilungen. Um einen wenigstens
qualitativen Vergleich mit dem Experiment durchführen zu können, soll hier die
symmetrisierte Dichte p ± betrachtet werden:
p ± (u, r) = 1 (p(u, r) + p(−u, r)) . (6.48)
2
In Abbildung 6.23 ist diese symmetrisierte Dichte auf die Skala r = 2, 25l mar dargestellt.
Der ebenfalls mit eingezeichnete Fit belegt, dass sich die Daten tatsächlich in
guter Näherung durch eine Verteilung der Form (6.46) beschreiben lassen. Für den
Skalenexponenten k liefert der Fit einen Wert von:
k F it (r = 2, 25l mar ) = 7, 5. (6.49)
Dieser Wert stimmt recht gut mit dem nach Gleichung (6.47) berechneten Wert
überein:
k T sallis (r = 2, 25l mar ) = 1 + log 2
2, 25l mar
η
≈ 1 + log 2
2λ
= 6, 7. (6.50)
0, 038λ