Markowanalysen stochastisch fluktuierender Zeitserien - Turbulenz ...

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6 KAPITEL 1. EINLEITUNG Systeme oder der Validierung der verschiedenen Modelle durch einen Vergleich ihrer Vorhersagen mit experimentellen Ergebnissen. Vielmehr wird der Ansatz verfolgt, aus einer statistischen Analyse empirischer Daten möglichst weit reichende Aussagen über den den Daten zugrunde liegenden stochastischen Prozess zu gewinnen. In einem zweiten Schritt soll dann versucht werden, aus den gewonnenen Ergebnissen Rückschlüsse auf die verschiedenen Modelle für die beiden Systeme zu ziehen. Die in dieser Arbeit verwendete Methode ist die der Markowanalyse. Ihre Grundidee ist es, einen stochastischen Prozess durch eine ausschließlich auf beweisbaren mathematischen Zusammenhängen basierende Datenanalyse zu spezifizieren und dadurch schließlich die stochastische Differentialgleichung zu finden, der die analysierten Daten gehorchen. Diese Gleichung wird im Fall der stochastischen Markowschen Prozesse die Fokker-Planck- bzw. Langevin-Gleichung sein. Das bekannteste Beispiel für einen solchen Markowprozess ist die Brownsche Bewegung. Die Diffusionsgleichung, die diesen Prozess beschreibt, ist zugleich der einfachste Spezialfall der Fokker–Planck–Gleichung. Salopp gesagt besteht die Vorgehensweise bei der Markowanalyse darin, zu klären, ob für gegebene Daten die Beschreibung durch einen Diffusionsprozess zulässig ist und, falls dies der Fall ist, den (bzw. die) Diffusionskoeffizienten zu messen. Die Markowanalyse hat zwei wichtige Eigenschaften. Zum einen können, wie bereits erwähnt, mit ihrer Hilfe Aussagen über stochastische Prozesse gemacht werden ohne dass man auf Annahmen über das betrachtete System zurückgreifen muss: Man kann sowohl die Voraussetzungen, unter denen ein Prozess als Markowprozess beschrieben werden kann, mathematisch formulieren und anhand der Daten überprüfen, als auch die (Diffusions-) Koeffizienten der Fokker-Planck-Gleichung gemäß ihrer mathematischen Definition aus den Daten bestimmen. Die Beschreibung des Prozesses, die man auf diese Weise erhält, ist aber zudem auch vollständig: Die Kenntnis der Entwicklungsgleichungen (Fokker–Planck– bzw. Langevin–Gleichung) erlaubt es nicht nur, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der untersuchten Zufallsvariablen zu einem gegebenen Wert des Prozessparameters zu berechnen, sondern ermöglicht auch Aussagen über die Dynamik eines stochastischen Prozesses. Im oben angesprochenen Beispiel der Brownschen Bewegung etwa ermöglicht die Mathematik der Markowprozesse nicht nur die Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens zu einem gegebenen Zeitpunkt, sondern auch Aussagen über die Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein diffundierendes Teilchen in einer Folge von Zeitpunkten jeweils an bestimmten Orten aufhält. Man erhält eine im stochastischen Sinn vollständige Beschreibung der Dynamik des Teilchens. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf den statistischen Eigenschaften voll entwickelter turbulenter Strömungen, denen dementsprechend auch der größere erste Teil der Arbeit gewidmet ist. Hier findt sich in Kapitel 2 zunächst eine kurze Einführung in die Problemstellung der Turbulenz sowie, im folgenden Kapitel 3, auch eine Einführung in die wichtigsten Konzepte und theoretischen Ansätze zur Behandlung des Spezialfalls der voll entwickelten, homogenen, stationären und isotropen Turbulenz. In Kapitel 4 werden die wichtigsten mathematischen Definitionen und Sätze zu Markowprozessen vorgestellt und im Hinblick auf ihre Anwendung in der Analyse experimenteller Daten diskutiert. Nach einer kurzen Beschreibung des
verwendeten experimentellen Systems (Kapitel 5) wird dann in Kapitel 6 die konkrete Anwendung des mathematischen Formalismus der Markowschen Prozesse zur Analyse gemessener turbulenter Daten anhand eines exemplarischen Datensatzes diskutiert. In Kapitel 7 finden sich die Ergebnisse der Markowanalyse für Datensätze unterschiedlicher Reynoldszahlen, und in Kapitel 8 wird eine Erweiterung der Methode auf zweidimensionale stochastische Variablen vorgestellt, die es erlaubt, die gemeinsamen statistischen Eigenschaften des Geschwindigkeits- und Energiedissipationfeldes zu untersuchen. Eine Zusammenfassung der Ergbnisse für die Turbulenz sowie deren Diskussion schließt den ersten Teil ab. Der zweite Teil widmet sich der empirischen Analyse von hochfrequenten Wechselkursdaten. Nach einer kurzen Einführung in das Themengebiet in Kapitel 10 werden in Kapitel 11 die Ergebnisse der Markowanalyse des Wechselkurses des US- Doller gegenüber der deutschen Mark vorgestellt und diskutiert. Daran anschließend wird in Kapitel 12 die vor allem für die Finanzdatenanalyse interessante Frage der Richtungsumkehrung stochastischer Prozesse behandelt. Eine kurze Zusammenfassung und Diskussion werden auch den zweiten Teil der Arbeit abschließen. 7
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6.3. DIE KRAMERS-MOYAL KOEFFIZIENTE
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6.4. DER KOEFFIZIENT VIERTER ORDNUN
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