Markowanalysen stochastisch fluktuierender Zeitserien - Turbulenz ...

28 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
fache Skalenverhalten nach Kolmogorovs Theorie von 1941 entspricht dem Fall, dass
die Inkremente u einer Gaußverteilung gehorchen, deren Standardabweichung σ mit
r 1/3 skaliert: σ(r) ∝ r 1/3 . Man verifiziert leicht, dass die Momente 〈u(r) n 〉 in diesem
Fall proportional zu r n/3 sind.
Da die Strukturfunktionen dieser einfachen Vorhersage nicht folgen, ist auch nicht
zu erwarten, dass sich die Wahrscheinlichkeitsdichten p(u, r) durch Gaußverteilungen
beschreiben lassen. In der Tat weisen die gemessenen Dichten mit kleiner werdender
Skala r immer stärkere Abweichungen von der Gaußschen Form auf (siehe Abbildung
5.6). Das herausragendste Charakteristikum dieser Dichten sind ihre ausgeprägten
Flügel, die eine im Vergleich zur Gaußverteilung sehr hohe Wahrscheinlichkeit für
große Fluktuationen ausdrücken, ein Effekt, der in der Turbulenzforschung Intermittenz
genannt wird.
Die Intermittenz hat, ebenso wie die nichtlineare Abhängigkeit der Skalenexponenten
ζ n von n, ihren Ursprung in den Fluktuationen der Energiedissipationsrate.
Deren Einfluss auf die Statistik von u(r) kann man berücksichtigen, indem man die
Dichte p(u, r) unter Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeitsdichte p(u, r|ɛ r )
darstellt:
p(u, r) =
+∞ ∫
0
p(u, ɛ r , r) dɛ r =
+∞ ∫
0
p(u, r|ɛ r ) p(ɛ r , r) dɛ r . (3.52)
Die grundlegende physikalische Aussage des Intermittenzmodells von B. Castaing
besteht in der Annahme, dass die bedingten Dichten p(u, r|ɛ r ) Gaußverteilungen
sind, wobei die Standardabweichung s von der gemittelten Energiedissipationsrate
ɛ r abhängt [23]:
( )
1
p(u, r|ɛ r , r) = √
2π s(ɛr ) exp −
u2
. (3.53)
2 s 2 (ɛ r )
Diese Annahme ist im Rahmen der Kolmogorovschen Theorien naheliegend und
konnte auch experimentell verifiziert werden [78]. Die gemittelten Energiedissipationsraten
ɛ r werden, ebenfalls in Anlehnung an K62, als lognormalverteilt angenommen
(vergl. Gleichung (3.44)). Für den Zusammenhang zwischen der Standardabweichung
s der bedingten Dichten und der gemittelten Energiedissipationsrate ɛ r
findet man experimentell ein Potenzgesetz [78]:
s(ɛ r ) ∝ ɛ α r . (3.54)
Wegen ln(s) ∝ α ln(ɛ r ) ist damit auch s lognormalverteilt. Aus den Gleichungen
(3.44), (3.52), (3.53) und (3.54) folgt für die Wahrscheinlichkeitsdichte p(u, r):
p(u, r) =
1
2πλ(r)
+∞ ∫
−∞
exp
(
− ln2 (s/s 0 (r))
2λ 2 (r)
)
exp
(
)
− u2 d ln s
. (3.55)
2s 2 s
Die Dichte p(u, r) wird durch die zwei Parameter s 0 (r) und λ 2 (r) vollständig beschrieben.
s 0 (r) ist das Maximum der Dichte von s und bestimmt im wesentlichen