Markowanalysen stochastisch fluktuierender Zeitserien - Turbulenz ...

22 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Die aus der Navier–Stokes–Gleichung folgende Gleichung für die Energiebilanz
des Strömungsfeldes liefert für die Energiedissipationsrate den folgenden Ausdruck
[60, 74, 85]:
ɛ(⃗x, t) = ν (
3∑ ∂vi
+ ∂v ) 2
j
. (3.30)
2 ∂x j ∂x i
i,j=1
Um die Energiedissipationsrate gemäß ihrer Definition (3.30) berechnen zu können,
müssen die Ableitungen aller Komponenten des Geschwindigkeitsfeldes nach allen
Raumrichtungen bekannt sein. Eine experimentelle Bestimmung aller neun Ableitungen
∂ i u j des Geschwindigkeitsfelds ist aber nur mit sehr hohem Aufwand möglich
[56, 44].
In homogenen und isotropen Geschwindigkeitsfeldern kann die Energiedissipationsrate
näherungsweise aber auch aus einem eindimensionalen Schnitt durch dieses
Feld berechnet werden. Dieses in der Literatur oft auch ”
Energiesurrogat“genanntes
Dissipationsfeldberechnet sich zu [85]:
ɛ(x, r) = 15 ν
( ∂vi
∂x i
) 2
, (3.31)
wobei die Wahl der Komponenten i in isotroper Turbulenz beliebig ist. Die Verwendung
des Surrogats hat sich in der Literatur weitgehend durchgesetzt und wird
allgemein akzeptiert (siehe z.B. [78, 77, 72]). Es sei aber auch erwähnt, dass Untersuchungen
an Daten aus direkten numerischen Simulationen signifikante Unterschiede
zwischen der nach (3.30) definierten Dissipationsrate und ihrem gemäß (3.31) bestimmten
Surrogat ergeben [52]. Andererseits wurde auch argumentiert [106], dass
die in [52] beobachteten Abweichungen zwischen beiden Raten klein sind gegen die
im Experiment üblicherweise auftretenden Messfehler.
Das Bild der turbulenten Kaskade motiviert die Wahl einiger charakteristischer
Längenskalen, die den Gültigkeitsbereich des Modells eingrenzen. Die obere Grenze
für den Bereich relevanter Längenskalen ist durch die Korrelationslänge oder integrale
Längenskala L gegeben:
L =
+∞ ∫
0
R(r) dr. (3.32)
L ist ein Maß dafür, wie schnell die Autokorrelation mit wachsender Skala r auf Null
abfällt (für exponentiell abfallende Autokorrelationsfunktionen etwa gilt R(L) =
1/e). L kann daher anschaulich als die typische Abmessung des größten einheitlich
bewegten Flüssigkeitsvolumens, also des größten Wirbels, interpretiert werden.
Tatsächlich zeigt sich im Experiment, dass die Größenordnung der nach Gleichung
(3.32) definierten integralen Länge mit der Skala der die Kaskade treibenden externen
Kräfte übereinstimmt [64, 90, 41].
Die Kolmogorovsche Dissipationslänge η kann durch eine Dimensionsanalyse abgeschätzt
werden. In diese Analyse geht neben der mittleren Energiedissipationsrate
¯ɛ nur noch die kinematische Viskosität ν ein, da der Mechanismus der Dissipation
dem Modell zufolge nicht vom Antrieb der Kaskade auf großer Skala abhängt. Die