Markowanalysen stochastisch fluktuierender Zeitserien - Turbulenz ...

18 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Ein ebenfalls häufig verwendeter Begriff zur Charakterisierung der gegenseitigen
Abhängigkeiten zweier Zufallsvariablen U i und U j ist ihre Kovarianz oder Korrelation
R ij :
R ij =
+∞ ∫
−∞
. . .
+∞ ∫
−∞
(u i − E(U j )) (u j − E(U j )) p(u 1 , u 2 , . . . , u N )du 1 du 2 . . . du N .
(3.17)
U i und U j heissen unkorreliert, wenn ihre Kovarianz Null ist. Aus der statistischen
Unabhängigkeit zweier Zufallsgrößen folgt Unkorreliertheit, der Umkehrschluß gilt
aber im allgemeinen nicht.
Aus der gemeinsamen Dichte zweier Zufallsvariablen kann die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte
definiert werden:
p(u 1 |u 2 ) = p(u 1, u 2 )
. (3.18)
p(u 2 )
Die bedingte Dichte p(u 1 |u 2 ) misst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable
U 1 einen bestimmten Wert annimmt, unter der Voraussetzung, dass der Wert
u 2 für die Größe U 2 bekannt ist. Sind U 1 und U 2 unabhängig, so faktorisiert p(u 1 , u 2 ),
und die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte p(u 1 |u 2 ) ist gleich der eindimensionalen
Dichte p(u 1 ).
Im streng mathematischen Sinn muss zwischen einer Zufallsvariablen U und den
Werten u, die sie annehmen kann, unterschieden werden. Diese Trennung wird im
folgenden allerdings nicht aufrecht erhalten werden; so werden z.B. die Dichten der
turbulent fluktuierenden Geschwindigkeit ⃗v vereinfachend mit p(⃗v) bezeichnet.
3.2.2 Stationarität, Homogenität und Isotropie
Alle in den folgenden Kapiteln besprochenen Turbulenzmodelle behandeln den Spezialfall
stationärer, homogener und isotroper Strömungen. Die mit diesen Einschränkungen
einhergehenden Vereinfachungen sollen hier kurz dargestellt werden.
Aufgrund der angenommenen Stationarität des Geschwindigkeitsfeld ⃗w(⃗x, t) hängt
der Mittelwert ⃗ W (⃗x) = 〈⃗w(⃗x, t)〉 nicht von der Zeit ab (der Mittelwert < . . . > ist
hierbei das Ergebniss einer Ensemblemittelung). Für die hier untersuchten statistischen
Eigenschaften turbulenter Geschwindigkeitsfluktutionen bedeutet es daher
keine Einschränkung, wenn man anstelle des Geschwindigkeitsvektors ⃗w nur seinen
fluktuierenden Anteil ⃗v(⃗x, t) betrachtet:
⃗v(⃗x, t) = ⃗w(⃗x, t) − ⃗ W (⃗x). (3.19)
Aus der Definition (3.19) der Geschwindigkeitsfluktuationen folgt sofort, dass der
Mittelwert von ⃗v(⃗x, t) verschwindet.
Die Statistik des Geschwindigkeitsfeldes ⃗v(⃗x, t) kann als vollständig erfasst gelten,
wenn eine allgemein gültige Beschreibung für den Korrelationstensor von N
Komponenten des Geschwindigkeitsvektors an M verschiedenen Orten, die sogenannte
M–Punkt–Korrelation N-ter Stufe, gefunden ist [11, 74]. Der erste Schritt