Antike Mathematik: Euklid und die Elemente - Mathematik.de

Mit dem Nachweis der Möglichkeit, dass man zu jeder geradlinig begrenzten Figur ein
flächengleiches Quadrat erzeugen kann, ist für Euklid die Behandlung der Flächen
derartiger Figuren abgeschlossen. Damit ist für ihn alles, was von theoretischem Interesse
sein könnte, geklärt. Und über das Theoretische hinausgehende, anwendungsbezogene
Fragen interessieren ihn (zumindest in den Elementen) nicht.
Nachbemerkung zu den Voraussetzungen derartiger Konstruktionen:
Zur Sicherung der Durchführbarkeit solcher Konstruktionen hat Euklid seine Postulate
(Axiome) formuliert.
Hat man ein Rechteck von der Größe der USA wird das obige Verfahren zwar praktisch
scheitern, aber das interessiert Euklid nicht. Er hat in seinen Postulaten schließlich
gefordert, dass man
von jedem Punkt zu jedem Punkt die Strecke ziehen kann (Postulat 1);
jede Strecke beliebig verlängern kann (Postulat 2);
um jeden Punkt einen Kreis mit beliebigem Radius schlagen kann (Postulat 3).
Euklid beschäftigt sich eben mit der Theorie idealer Objekte und nicht mit den Tücken der
wirklichen Welt. Das Postulat 3 einerseits, sowie die Postulate 1 und 2 anderseits
repräsentieren die beiden klassisch gewordenen Werkzeuge der euklidischen
Konstruktionen: Zirkel und Lineal. Wortwörtlich kommen Zirkel und Lineal in Euklids
Elementen allerdings nirgends vor. Es sind nur Metaphern (oder Metonymien) für die drei
ersten euklidischen Postulate. 19
Die beiden weiteren Postulate 4 und 5 lassen sich nicht so schön verbildlichen.
Postulat 4 fordert, dass alle rechten Winkel einander gleich sind;
Postulat 5 ist das berühmte Parallelenaxiom.
19 Wenn im Umfeld der euklidischen Konstruktionen vom Lineal die Rede ist, muss man übrigens immer an ein
markierungsfreies Lineal denken. Es geht ja nur darum, Punkte zu verbinden und Strecken zu verlängern. Fürs
Abmessen und Maßnehmen kennt der euklidische Werkzeugkasten nur den Zirkel. Die Idee, dass man sich bei
geometrischen Konstruktionen bewusst auf die beiden Werkzeuge Zirkel und Lineal beschränken sollte, geht
übrigens auf Platon zurück. Siehe hierzu auch: Platon – Mathematik, Ideenlehre und totalitäre Staatsutopien unter
http://www.antike-griechische.de/Platon.pdf
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