Antike Mathematik: Euklid und die Elemente - Mathematik.de

Buch XI – Anfänge der Stereometrie
In Buch XI erfolgt der Einstieg in die Stereometrie (Theorie räumlicher Figuren). Das Buch
beginnt mit einer langen Reihe von Definitionen. Neben den jetzt erforderlichen Klärungen
zu Ebenen und Winkeln im Raum, wird eine Vielzahl von Körpern (Würfel, Pyramide,
Prisma, Kugel, Zylinder, Kegel, etc.) definiert. Die hier gelieferten Definitionen liefern auch
bereits den Großteil des begrifflichen Rahmens für die ebenfalls stereometrischen Bücher
XII und XIII.
Euklid hält es nicht für erforderlich beim hier erfolgenden Übergang von der Planimetrie
zur Stereometrie neue Postulate einzuführen. Spezielle Axiome (Postulate) des Raums
gibt es in den Elementen nicht. Euklid geht vielleicht irriger Weise davon aus, dass die
Axiome und Postulate aus Buch I auch eine ausreichende Grundlage für seine
Stereometrie darstellen. In der Folge ist die Grundlegung der Stereometrie bei Euklid
längst nicht so streng wie die der Planimetrie.
Als erstes beschäftigt sich Euklid mit den grundlegenden Beziehungen von Geraden und
Ebenen im Raum. Einige Beispiele:
(i) Wenn zwei gerade Linien einander schneiden, liegen sie in einer Ebene; und
jedes Dreieck liegt in einer Ebene (Satz 2, Buch XI);
(ii) Der Schnitt zweier Ebenen liefert eine Gerade (Satz 3, Buch XI);
(iii) Wenn zwei Geraden senkrecht auf einer Ebene stehen, dann sind sie parallel
(Satz 6, Buch XI);
(iv) Ebenen, auf denen dieselbe Gerade senkrecht steht, sind zueinander parallel
(Satz 14, Buch XI).
Die Sätze (i) und (ii) hätte Euklid besser als Postulate gefordert, statt sich an deren Beweis
zu versuchen. Es gelingen ihm nur Scheinbeweise. Heute werden solche Eigenschaften
axiomatisch gefordert. Der Sachverhalt (i) erhält dabei meist die wohl etwas vertrauter
wirkende Form: 3 nicht auf einer Geraden angeordneten Punkte liegen stets in einer
gemeinsamen Ebene.
Abbildung 19: Beim Parallelflach sind alle Seiten
Parallelogramme und gegenüberliegende Seiten
liegen in parallelen Ebenen
Die erste räumliche Figur die von Euklid
genauer untersucht wird, ist das
Parallelflach oder auch Parallelepiped (s.
Abb. 19).
Drei bei Euklid in unmittelbarer Folge
bewiesene Sätze sollen einen Eindruck
von seiner Vorgehensweise vermitteln.
Er zeigt als erstes, dass Paralleflache auf
der gleichen Grundfläche und mit der
gleichen Höhe das gleiche Volumen
haben (Satz 31, Buch XI).
Da auch ein Quader nur eine spezielle
Form eines Parallelflachs ist, ist dieser
Satz durchaus ergiebig:
Ein Parallelflach hat dasselbe Volumen wie ein Quader mit gleicher Grundfläche und
Höhe.
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