Antike Mathematik: Euklid und die Elemente - Mathematik.de

Buch VIII und IX – Zahlentheorie (Satz von Euklid)
Die Bücher VIII und IX der Elemente lassen sich thematisch nicht natürlich gegeneinander
abgrenzen. Sie werden deswegen gemeinsam behandelt.
Wie schon bei Buch VII werden auch in den beiden letzten Büchern der Elemente zur
Arithmetik ausschließlich natürliche Zahlen behandelt. Das Thema der den Griechen sehr
wohl bekannten Bruchzahlen wird gemieden. Dadurch werden viele interessante Resultate
der antiken Mathematik ausgespart. Es ist deswegen nicht verwunderlich, dass die
Elemente trotz ihrer Stellung als Referenzwerk im Bereich Geometrie, im Bereich
Arithmetik niemals die gleiche Bedeutung erreichten. Bis zum Erscheinen des antiken
Standardwerks für Arithmetik - der Arithmetika des Diophantes von Alexandria - vergingen
allerdings noch mehr als 500 Jahre. Um 250 n.Chr. erschien dessen ebenfalls in 13
Bücher gegliedertes Werk. Es war eine der Grundlagen der späteren Reifung
arithmetischer und algebraischer Methoden im arabischen Raum. Hier war das Werk ab
dem 10. Jahrhundert in arabischer Übersetzung verfügbar und beflügelte (neben den
Werken von Euklid, Archimedes und anderen) die islamische Blütezeit der Mathematik.
Der Blickwinkel, unter dem Euklid Arithmetik (genauer: Zahlentheorie) betreibt, ist
offensichtlich durch zwei Aspekte tief geprägt:
(a) Die Neigung Arithmetik in Anlehnung an die Geometrie zu betreiben und schon
allein deswegen geometrisch gut deutbaren Konzepten wie Quadrat- und Kubikzahlen
besondere Aufmerksamkeit zu schenken;
(b) Die Wertschätzung besonders ästhetischer Proportionen, wie der geometrischen
Proportion. 28
Das Konzept der geometrischen Proportion spielt in der Mathematik auch heute noch eine
sehr wichtige Rolle. Hingegen hat die Aufmerksamkeit, die solche Konzepte wie Quadrat-
oder Kubikzahlen erhalten, mittlerweile deutlich nachgelassen.
Zu (a): Euklid definiert nicht nur die noch heute gängigen Begriffe der Quadrat- und
Kubikzahl, sondern er kennt auch noch die ebene Zahl (darstellbar als Produkt
zweier natürlicher Zahlen) und die körperliche Zahl (darstellbar als Produkt dreier
natürlicher Zahlen). Insbesondere zu ebenen Zahlen beweist Euklid eine Vielzahl
von Sätzen. Wie stark der geometrische Zugang zur Zahlentheorie bei Euklid ist,
erkennt man auch daran, dass er selbst in seinen arithmetischen Büchern zur
Beweiserläuterung gern geometrische Skizzen verwendet. Zahlen werden dabei als
Strecken dargestellt.
Zu (b): Vier natürliche Zahlen a, b, c, d heißen in Proportion stehend, wenn
a : b = c : d. Sie stehen in geometrischer Proportion, wenn zusätzlich a : b = b : c
(und damit auch b : c = c : d) erfüllt ist.
Das Konzept der geometrischen Proportion für 4 Zahlen lässt sich ganz natürlich
zum Konzept der geometrischen Folge für beliebig viele Zahlen verallgemeinern.
Hat man eine Folge von Zahlen a, b, c, d, e, f, ... so spricht man von einer
geometrischen Folge 29 falls:
a : b = b : c = c : d = d : e = e : f und so fort gilt.
28 Zur Begriffsklärung siehe weiter unten.
29 Euklid (bzw. die verwendete Übersetzung der Elemente) benutzt hier den Terminus geometrische Reihe. Ich ziehe
den aus moderner Sicht passenderen Begriff der geometrischen Folge vor.
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