Antike Mathematik: Euklid und die Elemente - Mathematik.de

Geometrie ist ein schwieriger Prozess. Und auch Euklid gelingt es nicht immer, ohne nur
rein anschaulich begründete Voraussetzungen in seinen Beweisen auszukommen. Ein
Beispiel hierfür sind sich schneidende Kreise. Zwei Kreise mit Radien r1 >= r2 deren
Mittelpunkte einen Abstand d mit r1 – r2 < d < r1 + r2 aufweisen, müssen sich schneiden.
Anschaulich ist das vollkommen klar. Euklid benutzt diese Voraussetzung häufig bei
seinen Konstruktionen. Was allerdings fehlt, ist ein entsprechender Satz, samt
zugehörigem Beweis.
Wenn in einer über 2000jährigen Rezeptionsgeschichte Generation um Generation die
Elemente analysiert, dann fallen auch die kleinen Nachlässigkeiten irgendwann
irgendwem auf.
Eine genauere Analyse hat dann aber gezeigt, dass nicht alle fehlenden Sätze bloß als
kleine Nachlässigkeiten vermerkt werden können. Nicht alle fehlenden Sätze lassen sich
im Rahmen einer wohlmeinenden Sanierung einfach nachträglich einschieben. Manche
können im Rahmen der euklidischen Axiome (und Postulate) schlichtweg nicht hergeleitet
werden.
Fehlende Axiome:
Über eine gründliche Analyse der Probleme mit fehlenden Sätzen stieß man so auf das
Problem der fehlenden Axiome. Euklid gelingt es nicht, die uns so leicht zugängliche
Vorstellung von den idealen Objekten der Geometrie auf vollkommen angemessene
Weise in Axiome zu übersetzen. Dass stereometrische Axiome fehlen wurde bereits
erwähnt.
Ein zusätzliches Beispiel, das auch die Planimetrie berührt, soll genügen: Dass von 3
Punkten auf einer Geraden einer der 3 zwischen den beiden anderen liegen muss, ist
anschaulich vollkommen klar. Aber es lässt sich nicht aus den bei Euklid angegebenen
Axiomen und Postulaten herleiten. Moderne Axiomensysteme zur Geometrie sichern
deswegen diese Eigenschaft durch zusätzliche Axiome.
Obwohl also Euklids Elemente verschiedene Mängel aufweisen, bleibt ihnen doch das
Verdienst, das Leitbild einer strengen axiomatischen Mathematik propagiert zu haben. Die
Elemente haben dies sogar so wirkungsvoll getan, dass an Hand dieses Leitbildes die
Schwächen der Elemente selbst aufgedeckt werden konnten.
Es spricht deutlich für den Lehrmeister, wenn seine Schüler lernen, auch die verdeckten
Fehler und Ungenauigkeiten ihres Lehrers zu erkennen und zu korrigieren. In diesem
Sinne ist die in über 2000 Jahren Rezeptionsgeschichte erstellte Mängelliste der Elemente
letztlich ein Beweis für den durchschlagenden Erfolg der Elemente.
Das implizit propagierte Leitbild der Elemente wurde angenommen und in voller Strenge
auf die Elemente selbst angewendet. Da der Nachweis einer bis dato unbekannten
Schwäche in den Elementen lange Zeit mit besonderem Ansehen und/oder der Aussicht
auf Verbesserung der beruflichen Stellung verbunden war, dürfte kaum eine der
bemerkten Schwächen ohne eine entsprechende Veröffentlichung geblieben sein.
Über 2000 Jahre Elemente heißt also auch: Über 2000 Jahre Kritik der Elemente. Einer
derart lang anhaltenden kritischen Überprüfung dürften nur wenige andere Werke
ausgesetzt gewesen sein.
Die Elemente haben diesen langen Prozess der immer neuen kritischen Durchsicht gut
überstanden. Die gefundenen Mängel haben ihrem Ansehen nicht geschadet. Bei der
Wahl zum segensreichsten Buch der Menschheitsgeschichte hätten die Elemente noch
immer keinen Konkurrenten zu fürchten.
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