MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis

4 Simulation unter Simulink �
Simulink ist eine interaktive grafische Entwicklungsumgebung zur Modellierung und Simulation
linearer und nichtlinearer dynamischer Systeme mittels Signalflussgrafen, wobei u. a. nichtlineare
Zusammenhänge und viele Signalerzeugungen blockorientiert gewonnen werden. Das zu
simulierende mathematische Modell eines dynamischen Systems wird dazu grafisch mit Funktionsblöcken
in dem Modell-Fenster nachgebildet und als MDL-File abgespeichert. Das Simulink-
Tool arbeitet somit gleichungsorientiert im Gegensatz zu den Tools: SimMechanics, SimDriveline,
SimPowerSystems und SimHydraulics, welche auf einer physikalischen Modellierung mechanischer,
elektrischer und hydraulischer Systeme in der Simulink-Umgebung basieren.
Die System-Parameter/Anfangswerte lassen sich direkt in den Funktionsblöcken oder indirekt
mittels Workspace, also durch Tastatureingabe und/oder über ein M-File unter MATLAB, einstellen.
Die Ergebnisse sind wiederum in Simulink und/oder MATLAB darstellbar. Eine Weiterverarbeitung
der Daten in der MATLAB-Umgebung ist somit möglich.
Bezüglich des Handlings beziehen wir uns auf MATLAB 7.0..7.3 und Simulink 6.0..6.5 unter
Windows XP. Die Modellierung der Begleitbeispiele sowie der Ergänzungen in [59] sind weitgehend
so abgefasst, dass sie auch mit Vorgängerversionen, gegebenenfalls mit kleinen Änderungen,
lauffähig sind.
Die für einen Einstieg in Simulink notwendigen Kenntnisse sollen kurz zusammengefasst und
später beispielorientiert ergänzt werden. Zur Vertiefung enthält u. a. Kapitel 8 mehrere Simulink-
Projekte unterschiedlicher Schwerpunkte. In Kapitel 6 werden mit der Stateflow Toolbox sowie
in Kapitel 7 mit der SimMechanics Toolbox weitere Blockelemente für die Simulink-Umgebung
eingeführt.
Ergänzende Erläuterungen zur Handhabung und Syntax sind [6] ,[8], [13], [38] zu entnehmen.
Z. B. sind in [8] Grundlagen mit Beispielen sehr detailliert und übersichtlich zusammengefasst.
Zum wesentlichen Hilfsmittel sollte aber auch hier die Online-Hilfe, die von Beginn an gezielt
einzusetzen ist, werden.
4.1 Zur Funktionsweise
4.1.1 Block-Struktur
Basis eines Simulink-Modells sind Funktionsblöcke mit vektoriellem Eingang u, dem Ausgangsvektor
y, dem Vektor der Zustände x sowie den Parametern p, wie in Bild 4.1 für eine übergeordneter
Struktur dargestellt. Der Zustandsvektor
x =
�
x T c , x T �T dk (4.1)

148 4 Simulation unter Simulink �
u
Zustände x
Parameter p
Eingang Ausgang
Block−Name
Bild 4.1: Simulink Funktionsblock, allgemein
kann zeitkontinuierliche (xc) oder/und zeitdiskrete (xd k ) Zustände enthalten. Es gelten die mathematischen
Beziehungen
y = fo(t, x, u, p) Ausgang (output)
˙xc = fd(t, x, u, p) Ableitungsfunktion (derivative)
xd k+1 = fu(t, x, u, p) Zeitschritt (update).
Derartige Bausteine beschreiben also das Ein- Ausgangsverhalten mit der eindeutigen Signalfluss-Richtung
u → y.
Darüber hinaus existieren Blöcke ohne Eingang (Quellen, Sources), z. B. Constant Blöcke,
Funktionsgeneratoren und solche ohne Ausgang, z. B. To Workspace Block (Senke, Sinks).
Alle Blöcke sind in der Block-Library und in Blocksets zusammengefasst, vgl. Abschn. 4.3.1.
Sie sind gekennzeichnet durch den Block-Namen und das Block-Icon. Bei Links-Doppelmausklick
auf den Block öffnet sich die Block Parameters Dialogbox, in der – neben einer kurzen
Erklärung – spezifische Parameter des Blocks eingestellt werden können (Standard- (Default-)
Werte sind vorgegeben). Darüber hinaus existiert ein Help-Button, über den gezielt die zugehörige
Online-Hilfe geöffnet werden kann. Bei Rechts-Mausklick auf den Block öffnet sich ein
Kontextmenü, in dem u. a. Befehle zum Editieren von Blockeigenschaften und Formatieren des
Blocks ausgewählt werden können.
4.1.2 Simulationsablauf
Entsprechend der mathematischen Formulierung des Problems wird das Simulationsmodell
durch Verbinden geeigneter Funktionsblöcke und deren zugehörigen Parametern aufgebaut. Die
Simulation des Modells setzt sich dann aus den beiden Phasen Initialisierung und Ausführung
bezüglich der Zeit, meist numerische Integration, zusammen.
• Initialisierungsphase:
1. Die Blockparameter werden an MATLAB zur Auswertung übergeben und die sich ergebenden
numerischen Werte werden den Blöcken zugeordnet.
2. Die Modell-Hierarchie wird weitgehend aufgehoben, d. h. die Blöcke jedes Subsystems,
dessen Ausführung nicht an Bedingungen geknüpft ist, werden in das Gesamt-
Modell einbezogen, so dass ein einziges Block-Modell entsteht.
3. Blöcke werden entsprechend dem Ablauf der Berechnung (serielle Arbeitsweise des
Digitalrechners) mittels Sortier-Algorithmus in eine abarbeitbare Reihenfolge
gebracht. Dabei ist zu beachten, dass für jeden Block bei der Berechnung des Ausgangs
der dazu benötigte Eingang bekannt ist. D. h. es muss beim Start der Simulation
y

4.2 Die Integrationsverfahren 149
von Blöcken, die einen vorgegebenen Ausgang besitzen, z. B. die Anfangswerte der
Integrierer, ausgegangen werden. Solche Blöcke werden History-Blöcke genannt. Blöcke,
die in Rückführungsschleifen, z. B. ohne zwischengeschaltetem Integrierer oder
Totzeitglied, liegen, bei denen der Ausgang direkt auf den Eingang wirkt, werden
erkannt. Dies sind so genannte algebraische Schleifen, bei denen fo(x) selbst vom
Ausgang abhängt. In Bild 4.2 ist ein derartiges Beispiel angegeben. Innerhalb dieser
Schleifen sind keine seriellen Rechenschritte mehr vorgebbar. Es führt nur eine konvergierende
iterative Berechnung des Ausgangs zum Ziel.
u1
y1 = √ 2 u1 + 4, u1 = 1.2 y2
sqrt(2)*u(1)+4
Fcn
y1=u2
Gain
1.2
sin
Trigonometric
Function
y2 = sin u2 = sin ( √ 2 1.2 y2 + 4), beide Seiten hängen von y2 ab
Bild 4.2: Beispiel für eine algebraische Schleife
Beispiele in [59]: alg_loop1.mdl, alg_loop_2.mdl mit Angaben zum Simulink-Debugger
unter: File/Model Properties/Description.
4. Die Verbindungen zwischen den Blöcken werden auf Verträglichkeit der Vektordimensionen
des treibenden (Ausgang) und getriebenen (Eingang) Blocks überprüft.
• Ausführungsphase:
Danach kann die Ausführung, in der Regel die numerische Integration, mit dem ausgewählten
Löser odexx durchgeführt werden. Hierzu müssen die Ableitungsfunktionen – z. B.
entsprechend ˙xk = fk(tn, x) – gebildet werden, vgl. Kapitel 5. Dies erfolgt in zwei Schritten:
1. In der festgelegten Reihenfolge wird der Ausgabewert jeden Blocks bestimmt.
2. Es können jetzt für jeden Block die Ableitungen (z. B. ˙xk = fk(tn, x)) in Abhängigkeit
von der aktuellen Zeit tn, seiner Eingangswerte und seines Zustandes berechnet
werden. Der so ermittelte Ableitungsvektor wird an den Integrator odexx zurückgegeben.
Dieser ermittelt damit den neuen Zustandsvektor zum Zeitpunkt tn+1, vgl. auch
Bild 5.6. Abschließend werden die Ausgaben, u. a. der Scopes, aktualisiert.
Die Ausführungsreihenfolge der Blöcke lässt sich über den Button Format/Block Displays/
Sorted Order in der Menüleiste des Modell-Fensters zum Simulink-Modell einblenden.
4.2 Die Integrationsverfahren
Für die numerische Bearbeitung der mathematischen Modelle dynamischer Systeme spielen die
Integrationsverfahren (kurz: Integrator, Solver, Löser, Code, . . .) die zentrale Rolle. Sie lösen ein
y2

150 4 Simulation unter Simulink �
Anfangswertproblem u. a. der Art
˙x = f (t, x(t)); x(t0) = x0 . (4.2)
Der Auszug aus dem Simulink-Handbuch [6] in Tabelle 4.4, S. 200 gibt eine Kurzbeschreibung
der verfügbaren Verfahren wieder. Grundlagen der mathematischen Methoden sind [68], [69],
[74], [76] zu entnehmen. Insbesondere in [76] wird sehr anschaulich darauf eingegangen. Hier
geben wir nur einen kurzen Überblick.
Grundsätzlich sind Verfahren mit fester und variabler Schrittweite h zu unterscheiden. Dabei
kann die Integrationsmethode ein Einschritt- oder Mehrschrittverfahren sein, vgl. Bild 4.3,
S. 151. Wie die Namen zum Ausdruck bringen, benutzen diese Verfahren Information aus einem
[tn, tn+1] oder mehreren [tn−k, . . . , tn, tn+1] Integrationsintervallen. Dies kann wiederum auf eine
explizite oder implizite Formulierung der Integrationsmethode, siehe Bild 4.3, S. 151, führen.
Kombinationen beider Typen sind im Einsatz. Dabei werden die Formeln auf bestimmte Eigenschaften,
z. B. hohe Genauigkeit, gute Stabilität, getrimmt. Zu den modernen Verfahren für steife
Differenzialgleichungen zählen die Mehrschrittverfahren nach den BDF-Methoden (Backward
Differentiation Formula); vgl. Bild 4.3, S. 151. Unter MATLAB gibt es eine modifizierte Methode,
das NDF-Verfahren (Numerical Differentiation Formula); das BDF-Verfahren ist optional
aufrufbar.
4.2.1 Methoden und Bezeichnungen
Einschrittverfahren
Um einen kleinen Einblick in die Methoden mit den MATLAB-Bezeichnungen der Integrationsverfahren
zu erhalten, sollen zunächst die ersten Verfahren aus Tabelle 4.4, S. 200 ode4, ode5
und ode45 1 kurz skizziert werden. Sie sind Vertreter der Einschrittverfahren auf der Basis der
RUNGE-KUTTA-Methode. Allgemein lassen sich, ausgehend von der skalaren Differenzialgleichung
˙x = f (t, x), die expliziten RUNGE-KUTTA-Methoden – vgl. Bild 4.4 – wie folgt beschreiben:
Steigungswert in tn k1 = f (tn, xn); xn := x(tn)
Steigungswerte in tn + cih ki = f (tn + cih, xn + h ∑ i−1
j=1 ai, jk j), i = 2, . . . , s
Ergebnis xn+1 = xn + h ∑ s i=1 biki .
Die Koeffizienten ai, j, bi, ci charakterisieren die s-Schrittmethode, sie werden in der so genannten
BUTCHER-Tabelle
c1
c2 a2,1
c3 a3,1 a3,2
. . . . . . . . . .
cs as,1 as,2 . . . as,s−1
b1 b2 . . . bs−1 bs
1 ODE: Ordinaray Differential Equation

Bild 4.3:
Darstellung und Methoden für die skalare Differenzialgleichung: ˙x = f (t, x)
4.2 Die Integrationsverfahren 151
Es sollen die Begriffe explizite und implizite Einschritt- und Mehrschrittverfahren am Beispiel erläutert
werden.
Einschrittverfahren: Information aus [tn, tn+1]
EULER vorwärts xn+1 = xn + h f (tn, xn)
- explizites Verfahren 1. Ordnung (Fehler 1. Ordnung)
EULER rückwärts xn+1 = xn + h f (tn+1, xn+1)
- implizites Verfahren 1. Ordnung (Fehler 2. Ordnung)
Mehrschrittverfahren: Information aus [tn−k, tn+1], k > 1
ADAMS-BASHFORTH-Verfahren
xn+1 = xn + h
24 (55 fn − 59 fn−1 + 37 fn−2 − 9 fn−3) , fn := f (tn, xn)
- explizites 4-Schrittverfahren 4. Ordnung
ADAMS-MOULTON-Verfahren
xn+1 = xn + h
720 (251 fn+1 + 646 fn − 264 fn−1 − 106 fn−2 − 19 fn−3)
- implizites 4-Schrittverfahren 5. Ordnung
Kombination aus explizitem und implizitem Verfahren ist ein Prädiktor-Korrektor-Verfahren.
BDF-Verfahren (Backward Differenziation Formulas)
25xn+1 − 48xn + 36xn−1 − 16xn−2 + 3xn−3 = 12h fn+1
- implizites 4-Schrittverfahren
Bild 4.3: Zur Bezeichnung einiger Integrationsverfahren

152 4 Simulation unter Simulink �
angegeben. Damit ist das klassische RUNGE-KUTTA 2 -Verfahren in der Form
0
1
2
1
2
1
2 0 1
2
1 0 0 1
1
6
2
6
2
6
1
6
formulierbar. Es ist ein 4-Schrittverfahren der Ordnung 4 mit dem algorithmischen Aufbau
k1 = f (tn, xn) Steigungswerte ki
k2 = f (tn+ 1 , xn +
2
h
2 k1), zur Schreibweise: tn + h
2 → tn+ 1 k3 = f (tn+ 1 , xn +
2
2
h
2 k2)
k4 = f (tn+1, xn + hk3)
xn+1 = xn + h
6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) Ergebnis, explizite Formel
sowie der geometrischen Interpretation nach Bild 4.4. Man beachte, dass jede Stufe eines RUN-
usw.
Bild 4.4: Geometrische Interpretation zum RUNGE-KUTTA-Verfahren 4. Ordnung
GE-KUTTA-Verfahrens eine Funktionsauswertung f (·) benötigt. Ein Integrationsschritt ist daher
i. a. etwa viermal so teuer wie der entsprechende EULER-Schritt, vgl. Bild 4.3, S. 151. Dennoch
ist aufgrund der hohen Ordnung das Verfahren von RUNGE-KUTTA viel effizienter, da u. a. mit
größerer Schrittweite gearbeitet werden kann. Dies setzt sich fort, denn die DORMAND-PRINCE-
Methode [20] mit den Koeffizienten nach Tabelle 4.1 ist eine der effektivsten expliziten RUNGE-
KUTTA-Formeln, obwohl sich der Rechenaufwand noch einmal erhöht. Tabelle 4.1 enthält auch
die beiden MATLAB-Verfahren ode5 und ode4. Die 7-Schrittmethode (s=7) basiert auf den beiden
Ergebnissen x (5)
n und x (4)
n , die mit den gleichen Steigungswerten ki aber unterschiedlichen Ge-
wichtungen b j ermittelt werden. Greift man auf das Ergebnis x (5)
n zurück, dann handelt es sich
um das des ode5 Verfahrens mit fester Schrittweite h; Verfahren 5. Ordnung. Im anderen Fall ergibt
sich das Ergebnis des Verfahrens ode4 der Ordnung 4. Verwendet man beide Ergebnisse, so
2 genauer: das Verfahren von KUTTA

0 15
3
10
4
5
8
9
1
1
x (5)
n
x (4)
n
Tabelle 4.1: Koeffizienten der DORMAND-PRINCE-Methode
1
5
3
40
9
40
44
45 − 56
15
32
9
19372
6561 − 25360
2187
64448
6561
9017
3168 − 355
33
46732
5247
35
384 0 500
1113
35
500
384 0 1113
5179
7571
57600 0 16695
− 212
729
49
176
125
192
125
192
393
640
4.2 Die Integrationsverfahren 153
− 5103
18656
− 2187
6784
− 2187
6784
− 92097
339200
wird – z. B. aufgrund der Abweichung |x (5)
n − x (4)
n | – ein Maß zur Ermittlung der Schrittweite h,
im Zusammenhang mit einem vorgegebenen Fehler ε, bestimmbar. Wir erhalten Methoden mit
variabler Schrittweite. Dabei kann x (4)
n (ode54) oder x (5)
n (ode45) als Ergebnis akzeptiert werden.
In gleicher Weise sind die anderen Einschrittverfahren in Tabelle 4.4, S. 200 zu interpretieren.
Wie die bisher betrachteten expliziten Einschritt- (RUNGE-KUTTA-) Verfahren stellt man
auch die impliziten Verfahren (z. B. das EULER-Rückwärts-Verfahren aus Bild 4.3, S. 151) übersichtlich
in einem Tableau der Struktur
c1 a11 a12 . . . a1,s−1 a1,s
c2 a2,1 a2,2 . . . a2,s−1 a2,s
c3 a3,1 a3,2 . . . a3,s−1 a3,s
.
.
.
.
cs as,1 as,2 . . . as−1,s−1 as,s
b1 b2 . . . bs−1 bs
dar. Beispiel: Die Trapez-Regel
xn+1 = xn + 1
2 h ( f (tn, xn) + f (tn+1, xn+1))
.
.
11
84
11
84
187
2100
kann als zweistufiges implizites RUNGE-KUTTA-Verfahren aufgefasst werden:
k1 = f (tn, xn)
k2 = f (tn + h, xn + h( 1
2 k1 + 1
2 k2))
xn+1 = xn + h
2 (k1 + k2).
0
1
40
zugehörige Tableau
0 1 0
1 1 2
1
2
Nachteil der impliziten RUNGE-KUTTA-Verfahren ist, dass die ki nicht nacheinander berechnet
werden können, sondern dass in jedem Schritt ein i. a. nichtlineares Gleichungssystem von s · N
Gleichungen in den k1, . . . , ks gelöst werden muss, wobei N die Dimension des Differenzialgleichungssystems
bezeichnet.
1
2
1
2

154 4 Simulation unter Simulink �
Bei weniger steifen Differenzialgleichungen folgt aus dem Fixpunktsatz für kontrahierende
Abbildungen, dass die Fixpunktiteration [76] gegen die Lösung (ki)i=1,...,s konvergiert, wenn die
Schrittweite die LIPSCHITZ-Bedingung, vgl. [74], erfüllt; z. B. für k2 aus der obigen impliziten
RUNGE-KUTTA-Formel im ℓ-ten Iterationsschritt
�
�
1
k2 = f tn + h, xn + h
ℓ+1 2 k1 + 1
2 k2ℓ ��
, ℓ = 1, 2, . . . , k21 Startwert.
Bei steifen Systemen muss das nichtlineare Gleichungssystem für die ki immer mit dem NEW-
TON-Verfahren oder einer verwandten Methode gelöst werden. Hierfür benötigt man die JACOBI-
Matrix.
Eine dritte Möglichkeit ist die Kombination eines expliziten (Prädiktorschritt (P)) und eines
impliziten (Korrektorschritt (K)) Verfahrens, die so genannte Prädiktor-Korrektor-Methode. Für
die EULER-Verfahren nach Bild 4.3, S. 151 bedeutet dies:
x P n+1 = xn + h f (tn, xn) Prädiktorschritt P , EULER-Vorwärts-Schritt
x K n+1 = xn + h f (tn+1, x P n+1) Korrektorschritt K (+ z. B. Fixpunkt-Iteration)
Mehrschrittverfahren
In ähnlicher Weise wie die oben angesprochenen Einschrittverfahren sind auch die Mehrschrittverfahren
gekennzeichnet, wobei zusätzlich die Ordnung des Verfahrens anpassbar bzw. einstellbar
ist, z. B. ode113, ode15s aus Tabelle 4.4, S. 200.
Bei den linearen Mehrschrittverfahren benutzt man zur Berechnung der Näherung xn+s die bereits
ermittelten – zeitlich zurückliegenden Werte – Näherungen xn+s−1, xn+s−2, . . . , xn. Mehrschrittverfahren
sind somit nicht selbststartend und arbeiten deshalb zu Integrationsbeginn u. a.
mit Einschrittverfahren zusammen. Es werden explizite und implizite s-Schritt-Verfahren unterschieden,
vgl. Bild 4.3, S. 151. Die Mehrschrittverfahren ADAMS-BASHFORTH, ADAMS-
MOULTON usw. basieren auf der numerischen Lösung einer Integralgleichung [74], die BDF-Methoden
werden dagegen mit Hilfe der numerischen Differenziation konstruiert. Beispiele impliziter
Formeln sind u. a. nach [74]
s = 1 : xn+1 − xn = h fn+1, fn+1 := f (tn+1, xn+1), EULER-Methode; vgl. Bild 4.3
s = 2 : 3xn+1 − 4xn + xn−1 = 2h fn+1
s = 6 : 147xn+1 − 360xn + 450xn−1 − 400xn−2 + 225xn−3 − 72xn−4 + 10xn−5 = 60h fn+1.
Für s ≤ 6 sind die Formeln stabil, für s ≥ 7 instabil. Die Verfahren s ≤ 6 zeichnen sich durch ein
verbessertes Stabilitätsverhalten gegenüber expliziten Verfahren, insbesondere steifer Systeme,
aus. Bei impliziten Verfahren muss in jedem Schritt wieder ein nichtlineares Gleichungssystem,
z. B. für die implizite EULER-Formel
F(xn+1) = xn+1 − xn − h f (tn+1, xn+1)
gelöst werden. Dies kann z. B. mit dem NEWTON-Verfahren mit dem Startwert xn erfolgen; hierzu
muss die JACOBI-Matrix (∂F/∂x|xn+1 ), analytisch oder näherungsweise numerisch, berechnet
werden, vgl. Optionen zum Aufruf der Integrationsverfahren unter MATLAB in Kapitel 5.

4.2.2 Steifigkeit der Differenzialgleichung
4.2 Die Integrationsverfahren 155
Wesentlich für die Verfahrensauswahl ist die Kenntnis der Steifigkeit der Differenzialgleichung.
Wir geben eine Definition stichwortartig an: Ein Differenzialgleichungssystem heißt steif, wenn
die Eigenwerte des Systems sehr unterschiedliche (negative) Realteile aufweisen. Als Maß der
Steifigkeit gilt u. a. der Quotient der Beträge der absolut größten und kleinsten (negativen) Realteile
der Eigenwerte
S := max j |ℜ(λ j)|
min j |ℜ(λ j)| .
Bei steifen Differenzialgleichungen erreicht S Werte von 10 6 und höher. Das Problem der Steifigkeit
existiert ausgeprägt bei nichtlinearen Differenzialgleichungen
˙x(t) = f (t, x(t)) x(t) ∈ R n . (4.3)
Die Steifigkeit wird für das linearisierte System definiert, indem das lokale Verhalten der exakten
Lösung x(t) in der Umgebung von tn betrachtet wird. Hierbei liegt die Anfangsbedingung
x(tn) = xn, wo xn die berechnete Näherungslösung an der Stelle tn bedeutet, zu Grunde. Unter
der Voraussetzung der gestörte Lösung
x(t) = xn + z(t) für tn ≤ t ≤ tn + h; Norm von z und h klein
entwickeln wir (4.3) in eine TAYLOR-Reihe und brechen nach dem ersten Glied ab
�
∂ f �
˙xn + ˙z(t) = f (tn, xn) + � z(t) + O(z
∂x
2 ),
woraus schließlich mit (4.3) die erste Näherung
�
∂ f �
˙z(t) = � z(t) = J(tn, xn) z(t)
∂x
� n
� n
folgt. Dies ist eine lineare Differenzialgleichung mit konstanter Koeffizientenmatrix J(tn, xn),
mit deren Eigenwerte sich S ermitteln lässt. Somit wird das qualitative Verhalten von x(t) in
der Umgebung von tn durch z(t) beschrieben. Das nichtlineare Differenzialgleichungssystem
wird als steif bezeichnet, falls die Eigenwerte der JACOBI-Matrix J(tn, xn) sehr unterschiedliche
negative Realteile haben und S groß ist. Das Maß der Steifigkeit von (4.3) ist bei nichtlinearen
im Gegensatz zu linearen Systemen abhängig vom Zeitpunkt tn und der momentanen Näherungs-
Lösung xn, so dass sich S im Verlauf der Integration sehr stark ändern kann. Moderne Verfahren
nutzen dies zur Anpassung an den Integrationsablauf und stellen damit die Schrittweite sowie
die Ordnung des Integrationsverfahrens ein.
Eine sinnvolle Erweiterung der Definition für steife Systeme ist in [76] angegeben
S := max j |λ j|
min j |λ j| , Anhaltswert: S > 104 , . . . , 10 6 ,

156 4 Simulation unter Simulink �
wobei durch die Eigenwerte λ j auch schwach gedämpfte, hochfrequente Lösungsanteile erfasst
werden.
In MATLAB sind, wie schon angedeutet, zwei Methoden zur Lösung steifer Systeme implementiert.
Die Function ode15s verwendet BDF- oder NDF-Formeln der Ordnung k ∈ {1, 2, 3, 4, 5};
vgl. [68], [74]. NDF-Methoden sind Modifikationen der BDF-Methoden, die ebenfalls A-stabil
(absolut stabil) [68], [74] sind. Sie besitzen eine etwas größere Genauigkeit als die BDF-Methoden.
Die Function ode23s verwendet ein ROSENBROCK-Verfahren der Ordnung 3, wobei der
Fehler mit einer Methode der Ordnung 2 geschätzt wird. Es ist geeignet, wenn die Genauigkeitsansprüche
nicht zu hoch sind.
4.2.3 Bemerkungen zur Wahl der Verfahren
Einer Anfangswertaufgabe sieht man nicht unmittelbar an, ob ihre Lösung steif ist. Es gibt einige
Aufgabenklassen, bei denen man weiß, dass steife Lösungen zu erwarten sind, wie z. B. bei der
VAN-DER-POL-Gleichung
¨x − ε ( 1 − x 2 ) ˙x + x = 0
mit sehr großen Parametern ε oder mechanischen Systemen mit sehr unterschiedlichen Steifigkeits-
und Dämpfungskonstanten. In diesen Fällen wird man sofort steife Löser verwenden.
Liegen keine guten Gründe dafür vor, dass eine steife Lösung zu erwarten ist, wird man zuerst
versuchen, das gegebene Problem mit einem nicht-steifen Löser zu behandeln, denn explizite
(eingebettete) RUNGE-KUTTA-Verfahren, z. B. ode45, oder Mehrschrittverfahren vom ADAMS-
Typ sind wesentlich billiger als steife Löser. Bei steifen Lösern hat man in jedem Schritt ein
nichtlineares Gleichungssystem zu lösen und hierzu die JACOBI-Matrix der rechten Seite oder
eine Näherung davon aufzustellen.
Praktisch: Beobachtet man, dass der Lösungsprozess nur sehr langsam voranschreitet, wird
man zu einem steifen Löser wechseln.
RUNGE-KUTTA-Verfahren ermöglichen eine einfache Schrittweitensteuerung (Adaptivität),
haben aber den Nachteil gegenüber dem ADAMS-Verfahren, dass in jedem Schritt die rechte Seite
von (4.2) an mehreren Stellen ausgewertet werden muss (für das Verfahren von DORMAND
und PRINCE der Ordnung 5 an 6 Stellen). Beim Prädiktor-Korrektor-Verfahren kann man hohe
Ordnungen mit 2 oder 3 Auswertungen erreichen. Man wird daher ein Mehrschrittverfahren verwenden,
wenn die Auswertung der rechten Seite der Differenzialgleichung sehr teuer ist. In der
Regel wird man Verfahren hoher Ordnung nur dann verwenden, wenn die rechte Seite der Differenzialgleichung
sehr glatt ist. Man verwendet den TAYLORschen Satz, um Methoden hoher
Konsistenzordnung zu entwickeln.
Eine Regel für die Auswahl steifer Löser ist nicht so einfach zu formulieren. Einen Anhaltspunkt
geben die Stabilitätsgebiete der Verfahren, z. B. nach [68], [74], [76]. Wenn man weiß,
dass die Eigenwerte der Linearisierung der rechten Seite in der Nähe der negativen reellen Achse
liegen, so wird man BDF bzw. NDF Formeln wählen. Weiß man, dass Eigenwerte der JACOBI-
Matrix näher an der imaginären Achse als an der negativen reellen Achse liegen, so wird man
ROSENBROCK-Methoden oder Extrapolationsverfahren verwenden.

4.3 Simulink-Grundlagen
4.3 Simulink-Grundlagen 157
Zunächst gehen wir auf Grundlagen zum Umgang mit Simulink ein, um daran anschließend die
Modellierung mit Simulink an einem kleinen Projekt zu vertiefen. Der Zugang zu Simulink erfolgt
mit dem Button in der Menü-Leiste des MATLAB Desktop nach Bild 1.1. Es öffnet sich
der Library Browser mit der Menüleiste File/Edit/View/Help. Insbesondere wird über
File/New/Model oder Ctrl+N ein neues Modell-Fenster mit der Menü-Leiste File/Edit/View/Simulation/Format/Tools/Help
bereitgestellt. Entsprechend sind gespeicherte
Simulink-Programme mit der Endung mdl zu öffnen. Für die letzten beiden Vorgänge
existieren die Standard-Button . Des Weiteren werden alle Hauptgruppen der Library angezeigt,
auf die wir im Folgenden eingehen werden.
4.3.1 Die Modell-Library
Wesentlich für jedes Simulationsprogramm ist das Modellangebot in der verfügbaren Library. In
Simulink 6 ist die Library in die vierzehn Hauptgruppen mit den eingefärbten Symbolen nach
Bild 4.5 unterteilt. Einhergehend mit der ständigen Erweiterung der Libraries der Vorgängerversionen
kam es zur Ergänzung und teilweise Umstrukturierung der Gruppen. D. h. Blöcke aus
Vorgängerversionen können anderen Gruppen zugeordnet sein. In Bild 4.5 ist eine Auswahl der
verfügbaren Funktionsblöcke abgebildet. Zu jedem Block gehört ein Parameter-Dialog-Fenster,
welches sich mit einem Doppelklick der linken Maustaste öffnen lässt.
Neben diesen aufgeführten Library-Blöcken existieren ergänzende Blocksets, die einerseits
innerhalb der Library unter Additional Math & Discrete und andererseits unter Simulink extra
sowie in anderen Tools zu finden sind.
Beispiel 4.1: Modellerstellung
Für die Differenzialgleichung
˙x = −0.5 x + 5
ist das Simulink-Modell zu erstellen. Die Zeit t und x sind mit dem To Workspace
Block und xp = ˙x mit dem Outport Block, siehe Abschn. 4.3.2, in den Workspace
zu schreiben. Zur Integration von ˙x wird ein Integrator Block, zur Abbildung der
rechten Seite ein Summierer, d. h. ein Sum Block (ohne Abbildung in Bild 4.5) benötigt.
Die Konstante 5 wird mit dem Constant Block und die Verstärkung von 0.5
mit dem Gain Block realisiert. Nach dem Öffnen des Modell-Fensters (Ctrl+N) sind
die ausgewählten Blöcke der Library mit der linken Maustaste anzuklicken und bei gedrückter
Taste ins Modell-Fenster zu ziehen – click-and-drag mouse operation –. Der
Signalpfad zwischen den Blöcken erfolgt, ausgehend vom Ein- oder Ausgang der zu
verbindenden Blöcke, ebenfalls mit gedrückter linker Maustaste. Eine automatische
Signalverbindung wird durch Aktivieren z. B. des Ausgangs-Blocks mit der linken
Maustaste und anschließender Aktivierung des Folgeblocks bei gleichzeitig gedrückter
Strg- bzw. Ctrl- Taste erreicht. Abschließend sind die Parameter 5, 0.5 sowie
der Anfangswert x(0) = 0 des Integrierers in die jeweilige Dialogbox einzutragen. Der

158 4 Simulation unter Simulink �
Bild 4.5: Beispiele für die Zuordnung der Funktionsblöcke der Library unter Simulink 6
Simulationsstart mit der zuvor eingegebenen Integrationsdauer erfolgt über den Button
Simulation/Start oder dem Button. Das komplette Modell ist in Bild 4.6
abgebildet. Zum Experimentieren dient Lib_Beisp.mdl aus [59].
Bild 4.6: Beispiel eines einfachen Block-Modells
4.3.2 Einstellung des Integrators und des Datentransfers
Die Integratorauswahl erfolgt im Modell-Fenster unter dem Menüpunkt Simulation Option
Configuration Parameters; vgl. Bild 4.7. Hier existieren in Abhängigkeit der vorhandenen
Toolboxen mehrere anwählbare Dialogseiten: Solver, Data Import/Export, Di-

4.3 Simulink-Grundlagen 159
Bild 4.7: Configuration Parameters Fenster von Solver und Data Import/Export, Simulink 6.4
agnostic usw.. Auf der Solver-Seite werden Start- und Stopp-Zeit, das Integrationsverfahren
und Daten zur Schrittweite sowie zur Toleranzvorgabe eingestellt. Unter Zeros crossing
control ist die Nullstellen-Detektion spezieller Blöcke übergeordnet ein- oder ausschaltbar.
Auf der Seite Data Import/Export nach Bild 4.7 wird u. a. der Datentransfer zwischen
Simulink und dem Workspace sowie einige Optionen organisiert:
• Load from workspace: Einerseits können unter Input ein Zeit- und Eingangsvektor t, u
und andererseits unter Initial State der Anfangswertvektor xInitial der Zustände an das
Simulink-Modell übergeben werden. Für [t,u] müssen im Modell dafür Inports-Blöcke
aus der Ports & Subsystems-Bibliothek vorhanden sein; siehe FromWorksp.mdl in [59].
• Save to workspace: Datentransfer aus dem Simulink-Modell in den Workspace. Dies bezieht
sich auf den Zeitvektor z. B. tout, auf den Zustandsvektor xout sowie auf die Ausgangsvariablen
yout denen Outports-Blöcke – vgl. Bild 4.6 – aus der Ports & Subsystems-Bibliothek zugeordnet
sein müssen. Die Reihenfolge der gespeicherten Zustände (Integrator-Ausgänge)
wird von dem Sortier-Algorithmus, wie in Abschn. 4.1.2 beschrieben, festgelegt. Sie kann
mit Format/ Block Displays/Sorted Order ins Modell-Fenster eingeblendet wer-

160 4 Simulation unter Simulink �
den. Darüber hinaus können die Zustandswerte (xFinal) zur Stopp-Zeit gespeichert werden;
siehe FromWorksp.mdl in [59].
• Im Feld Save options kann die Anzahl der gespeicherten Daten tout, yout usw. begrenzt werden.
Unter Output options/Refine output ist es möglich, mit dem Refine factor
zusätzliche Ausgabewerte mittels Kurvenglättungs-Methoden im Integrationsintervall
[tn, tn+1] zu erzeugen; d. h. Refine factor = 1 liefert keine, Refine factor = r liefert
r − 1 Zwischenwerte. Der Defaultwert ist 1. Die Zwischenwerte beziehen sich nur auf die
Ausgabe und nicht auf die Darstellungen im Scope oder XY Graph.
Im Diagnostic-Fenster kann u. a. ausgewählt werden, wie bei den aufgelisteten Ereignissen
(z. B. Algebraic loop, Date overflow usw.) während einer Simulation reagiert werden soll; z. B.
mit: Warning, Error (Simulationsabbruch) oder none.
4.3.3 Datentransfer über den Workspace
Die Parameter und/oder Matrixelemente usw. der Funktionsblöcke lassen sich in den zugehörigen
Parameter-Dialog-Boxen als numerische oder symbolische Werte eintragen, z. B. gilt für
eine 2 × 2-Matrix:
[0 1; 1 4] oder A.
Ist der symbolische Wert (A) eingetragen, z. B. im State Space Block von Bild 4.8, dann müssen
die zugehörigen numerischen Werte vor dem Simulationsstart im Workspace liegen. Dieses
kann u. a. über eine Tastatureingabe oder über ein angestartetes M-File erfolgen, wie in Bild 4.8
verdeutlicht. Der Datentransfer aus dem Simulink-Modell in den Workspace erfolgt u. a. über
den TO Workspace Block in Array- oder Structure-Format, z. B. wie in Bild 4.8 für die Matrix
simout oder den Outport Block wie in Bild 4.6 und Abschn. 4.3.2. Damit können die Daten in
MATLAB u. a. zur grafischen Darstellung weiterverarbeitet werden. Eine weitere Möglichkeit zur
Bild 4.8: Datenaustausch am Beispiel des State Space Blocks
Übergabe der Simulationsdaten in den Workspace kann im Scope-Fenster durch aktivieren der
Array- oder Structure-Übergabe, vgl. Abschn. 4.3.5.4, S. 166, erreicht werden.
4.3.4 Simulationsaufruf aus der MATLAB Umgebung
Die Simulation kann einerseits direkt aus dem Menü-Punkt Simulation/Start oder mit
dem Start-Icon der Menüleiste und andererseits aus der MATLAB-Umgebung, mittels Tastatur

4.3 Simulink-Grundlagen 161
oder M-File, erfolgen. Aus der MATLAB-Umgebung wird der Start mit dem Aufruf der Function
sim eingeleitet. Optionen werden mit simset gesetzt und können mit simget aufgelistet werden,
verfolge: help sim usw.. Die einstellbaren Optionen umfassen z. B. die der Solver- und
Data Import/Export-Seite, z. B. RelTol, AbsTol, MaxRows, Refine usw.. Ausgabe-
Daten werden entsprechend dem Function-Aufruf in eckige Klammern gesetzt, sie beinhalten
die Größen der Data Import/Export Seite unter Save to workspace. Daten des Workspace,
die im Feld Load from workspace aufgeführt sind, stehen im Aufruf hinter den Optionen. Die
Syntax eines Aufrufs lautet:
[tout, xout, yout] = sim(’modell’, timespan, options, tu)
mit – siehe auch FromWorksp.mdl in [59] –
tout Zeitvektor
xout Zustände, spaltenweise
yout Daten der Outports, spaltenweise
’modell’ Name der Modelldatei, z. B. ’model’ ohne Endung mdl
timespan Zeitintervall: z. B. te Stoppzeit (bei Startzeit 0) oder
[ta, te] Start und Stoppzeit usw.
option mit simset zu kreierende
optionale Parameter (z. B. Genauigkeit) der Simulation
tu Eingangsvariablen über Inports Blöcke tu = [t, u]
Beispiel: Aufruf für eine Integration im Debugger-Mode nach Abschn. 4.3.5.6, bei der maximal
1000 Zeilenelemente ausgegeben und die Integrationsdaten mit einem zusätzlichen Zwischenwert
geglättet werden sollen. Die Integrationszeit sei 10 s:
meine_opt= simset(’MaxRows’,1000,’Refine’,2,’debug’,’on’);
[t,x]= sim(’Prog_Name’,10,meine_opt);
4.3.5 Hilfsmittel zur Modellerstellung und Datenauswertung
Zur besseren Übersichtlichkeit und Transparenz werden Modellgruppen, meist von Teilstrukturen
wie Filter, Regler, Radaufhängung usw., zu Subsystemen zusammengefasst. Dabei ist es
wesentlich, dass die zugehörigen Blöcke bereits optisch Aussage über ihren Inhalt anzeigen. Zur
diesbezüglichen Block-Maskierung geben wir einige Anregungen. Darüber hinaus bieten die Scope
Blöcke Möglichkeiten zur Grafikdarstellung in der MATLAB-Umgebung, so dass Änderungen
und Ergänzungen leicht durchgeführt werden können.
4.3.5.1 Zur Erstellung eines Subsystems
Bei komplexeren bzw. umfangreichen Modellen gewinnt man an Übersichtlichkeit, wenn Modellgruppen
zu Subsystemen zusammengefasst werden. Darüber hinaus können mehrfach eingesetzte
Baugruppen in einer Modell-Bibliothek in Form von Subsystemen bereitgestellt werden.
Wir unterscheiden in Bild 4.9 zwei Möglichkeiten der einfachen Subsystem-Erstellung für die
zeitdiskrete Folge yk = yk−1 + 1, k = 1,2, . . ., die wir stichwortartig beschreiben.
1. Ausschnitt eines vorhandenen Modells; vgl. Bild 4.9links:
a. Modell kopieren, da Vorgehensweise eingeschränkt umkehrbar ist.