MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis

150 4 Simulation unter Simulink �
Anfangswertproblem u. a. der Art
˙x = f (t, x(t)); x(t0) = x0 . (4.2)
Der Auszug aus dem Simulink-Handbuch [6] in Tabelle 4.4, S. 200 gibt eine Kurzbeschreibung
der verfügbaren Verfahren wieder. Grundlagen der mathematischen Methoden sind [68], [69],
[74], [76] zu entnehmen. Insbesondere in [76] wird sehr anschaulich darauf eingegangen. Hier
geben wir nur einen kurzen Überblick.
Grundsätzlich sind Verfahren mit fester und variabler Schrittweite h zu unterscheiden. Dabei
kann die Integrationsmethode ein Einschritt- oder Mehrschrittverfahren sein, vgl. Bild 4.3,
S. 151. Wie die Namen zum Ausdruck bringen, benutzen diese Verfahren Information aus einem
[tn, tn+1] oder mehreren [tn−k, . . . , tn, tn+1] Integrationsintervallen. Dies kann wiederum auf eine
explizite oder implizite Formulierung der Integrationsmethode, siehe Bild 4.3, S. 151, führen.
Kombinationen beider Typen sind im Einsatz. Dabei werden die Formeln auf bestimmte Eigenschaften,
z. B. hohe Genauigkeit, gute Stabilität, getrimmt. Zu den modernen Verfahren für steife
Differenzialgleichungen zählen die Mehrschrittverfahren nach den BDF-Methoden (Backward
Differentiation Formula); vgl. Bild 4.3, S. 151. Unter MATLAB gibt es eine modifizierte Methode,
das NDF-Verfahren (Numerical Differentiation Formula); das BDF-Verfahren ist optional
aufrufbar.
4.2.1 Methoden und Bezeichnungen
Einschrittverfahren
Um einen kleinen Einblick in die Methoden mit den MATLAB-Bezeichnungen der Integrationsverfahren
zu erhalten, sollen zunächst die ersten Verfahren aus Tabelle 4.4, S. 200 ode4, ode5
und ode45 1 kurz skizziert werden. Sie sind Vertreter der Einschrittverfahren auf der Basis der
RUNGE-KUTTA-Methode. Allgemein lassen sich, ausgehend von der skalaren Differenzialgleichung
˙x = f (t, x), die expliziten RUNGE-KUTTA-Methoden – vgl. Bild 4.4 – wie folgt beschreiben:
Steigungswert in tn k1 = f (tn, xn); xn := x(tn)
Steigungswerte in tn + cih ki = f (tn + cih, xn + h ∑ i−1
j=1 ai, jk j), i = 2, . . . , s
Ergebnis xn+1 = xn + h ∑ s i=1 biki .
Die Koeffizienten ai, j, bi, ci charakterisieren die s-Schrittmethode, sie werden in der so genannten
BUTCHER-Tabelle
c1
c2 a2,1
c3 a3,1 a3,2
. . . . . . . . . .
cs as,1 as,2 . . . as,s−1
b1 b2 . . . bs−1 bs
1 ODE: Ordinaray Differential Equation