MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis

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154 4 Simulation unter Simulink � Bei weniger steifen Differenzialgleichungen folgt aus dem Fixpunktsatz für kontrahierende Abbildungen, dass die Fixpunktiteration [76] gegen die Lösung (ki)i=1,...,s konvergiert, wenn die Schrittweite die LIPSCHITZ-Bedingung, vgl. [74], erfüllt; z. B. für k2 aus der obigen impliziten RUNGE-KUTTA-Formel im ℓ-ten Iterationsschritt � � 1 k2 = f tn + h, xn + h ℓ+1 2 k1 + 1 2 k2ℓ �� , ℓ = 1, 2, . . . , k21 Startwert. Bei steifen Systemen muss das nichtlineare Gleichungssystem für die ki immer mit dem NEW- TON-Verfahren oder einer verwandten Methode gelöst werden. Hierfür benötigt man die JACOBI- Matrix. Eine dritte Möglichkeit ist die Kombination eines expliziten (Prädiktorschritt (P)) und eines impliziten (Korrektorschritt (K)) Verfahrens, die so genannte Prädiktor-Korrektor-Methode. Für die EULER-Verfahren nach Bild 4.3, S. 151 bedeutet dies: x P n+1 = xn + h f (tn, xn) Prädiktorschritt P , EULER-Vorwärts-Schritt x K n+1 = xn + h f (tn+1, x P n+1) Korrektorschritt K (+ z. B. Fixpunkt-Iteration) Mehrschrittverfahren In ähnlicher Weise wie die oben angesprochenen Einschrittverfahren sind auch die Mehrschrittverfahren gekennzeichnet, wobei zusätzlich die Ordnung des Verfahrens anpassbar bzw. einstellbar ist, z. B. ode113, ode15s aus Tabelle 4.4, S. 200. Bei den linearen Mehrschrittverfahren benutzt man zur Berechnung der Näherung xn+s die bereits ermittelten – zeitlich zurückliegenden Werte – Näherungen xn+s−1, xn+s−2, . . . , xn. Mehrschrittverfahren sind somit nicht selbststartend und arbeiten deshalb zu Integrationsbeginn u. a. mit Einschrittverfahren zusammen. Es werden explizite und implizite s-Schritt-Verfahren unterschieden, vgl. Bild 4.3, S. 151. Die Mehrschrittverfahren ADAMS-BASHFORTH, ADAMS- MOULTON usw. basieren auf der numerischen Lösung einer Integralgleichung [74], die BDF-Methoden werden dagegen mit Hilfe der numerischen Differenziation konstruiert. Beispiele impliziter Formeln sind u. a. nach [74] s = 1 : xn+1 − xn = h fn+1, fn+1 := f (tn+1, xn+1), EULER-Methode; vgl. Bild 4.3 s = 2 : 3xn+1 − 4xn + xn−1 = 2h fn+1 s = 6 : 147xn+1 − 360xn + 450xn−1 − 400xn−2 + 225xn−3 − 72xn−4 + 10xn−5 = 60h fn+1. Für s ≤ 6 sind die Formeln stabil, für s ≥ 7 instabil. Die Verfahren s ≤ 6 zeichnen sich durch ein verbessertes Stabilitätsverhalten gegenüber expliziten Verfahren, insbesondere steifer Systeme, aus. Bei impliziten Verfahren muss in jedem Schritt wieder ein nichtlineares Gleichungssystem, z. B. für die implizite EULER-Formel F(xn+1) = xn+1 − xn − h f (tn+1, xn+1) gelöst werden. Dies kann z. B. mit dem NEWTON-Verfahren mit dem Startwert xn erfolgen; hierzu muss die JACOBI-Matrix (∂F/∂x|xn+1 ), analytisch oder näherungsweise numerisch, berechnet werden, vgl. Optionen zum Aufruf der Integrationsverfahren unter MATLAB in Kapitel 5.
4.2.2 Steifigkeit der Differenzialgleichung 4.2 Die Integrationsverfahren 155 Wesentlich für die Verfahrensauswahl ist die Kenntnis der Steifigkeit der Differenzialgleichung. Wir geben eine Definition stichwortartig an: Ein Differenzialgleichungssystem heißt steif, wenn die Eigenwerte des Systems sehr unterschiedliche (negative) Realteile aufweisen. Als Maß der Steifigkeit gilt u. a. der Quotient der Beträge der absolut größten und kleinsten (negativen) Realteile der Eigenwerte S := max j |ℜ(λ j)| min j |ℜ(λ j)| . Bei steifen Differenzialgleichungen erreicht S Werte von 10 6 und höher. Das Problem der Steifigkeit existiert ausgeprägt bei nichtlinearen Differenzialgleichungen ˙x(t) = f (t, x(t)) x(t) ∈ R n . (4.3) Die Steifigkeit wird für das linearisierte System definiert, indem das lokale Verhalten der exakten Lösung x(t) in der Umgebung von tn betrachtet wird. Hierbei liegt die Anfangsbedingung x(tn) = xn, wo xn die berechnete Näherungslösung an der Stelle tn bedeutet, zu Grunde. Unter der Voraussetzung der gestörte Lösung x(t) = xn + z(t) für tn ≤ t ≤ tn + h; Norm von z und h klein entwickeln wir (4.3) in eine TAYLOR-Reihe und brechen nach dem ersten Glied ab � ∂ f � ˙xn + ˙z(t) = f (tn, xn) + � z(t) + O(z ∂x 2 ), woraus schließlich mit (4.3) die erste Näherung � ∂ f � ˙z(t) = � z(t) = J(tn, xn) z(t) ∂x � n � n folgt. Dies ist eine lineare Differenzialgleichung mit konstanter Koeffizientenmatrix J(tn, xn), mit deren Eigenwerte sich S ermitteln lässt. Somit wird das qualitative Verhalten von x(t) in der Umgebung von tn durch z(t) beschrieben. Das nichtlineare Differenzialgleichungssystem wird als steif bezeichnet, falls die Eigenwerte der JACOBI-Matrix J(tn, xn) sehr unterschiedliche negative Realteile haben und S groß ist. Das Maß der Steifigkeit von (4.3) ist bei nichtlinearen im Gegensatz zu linearen Systemen abhängig vom Zeitpunkt tn und der momentanen Näherungs- Lösung xn, so dass sich S im Verlauf der Integration sehr stark ändern kann. Moderne Verfahren nutzen dies zur Anpassung an den Integrationsablauf und stellen damit die Schrittweite sowie die Ordnung des Integrationsverfahrens ein. Eine sinnvolle Erweiterung der Definition für steife Systeme ist in [76] angegeben S := max j |λ j| min j |λ j| , Anhaltswert: S > 104 , . . . , 10 6 ,
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