MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis

154 4 Simulation unter Simulink �
Bei weniger steifen Differenzialgleichungen folgt aus dem Fixpunktsatz für kontrahierende
Abbildungen, dass die Fixpunktiteration [76] gegen die Lösung (ki)i=1,...,s konvergiert, wenn die
Schrittweite die LIPSCHITZ-Bedingung, vgl. [74], erfüllt; z. B. für k2 aus der obigen impliziten
RUNGE-KUTTA-Formel im ℓ-ten Iterationsschritt
�
�
1
k2 = f tn + h, xn + h
ℓ+1 2 k1 + 1
2 k2ℓ ��
, ℓ = 1, 2, . . . , k21 Startwert.
Bei steifen Systemen muss das nichtlineare Gleichungssystem für die ki immer mit dem NEW-
TON-Verfahren oder einer verwandten Methode gelöst werden. Hierfür benötigt man die JACOBI-
Matrix.
Eine dritte Möglichkeit ist die Kombination eines expliziten (Prädiktorschritt (P)) und eines
impliziten (Korrektorschritt (K)) Verfahrens, die so genannte Prädiktor-Korrektor-Methode. Für
die EULER-Verfahren nach Bild 4.3, S. 151 bedeutet dies:
x P n+1 = xn + h f (tn, xn) Prädiktorschritt P , EULER-Vorwärts-Schritt
x K n+1 = xn + h f (tn+1, x P n+1) Korrektorschritt K (+ z. B. Fixpunkt-Iteration)
Mehrschrittverfahren
In ähnlicher Weise wie die oben angesprochenen Einschrittverfahren sind auch die Mehrschrittverfahren
gekennzeichnet, wobei zusätzlich die Ordnung des Verfahrens anpassbar bzw. einstellbar
ist, z. B. ode113, ode15s aus Tabelle 4.4, S. 200.
Bei den linearen Mehrschrittverfahren benutzt man zur Berechnung der Näherung xn+s die bereits
ermittelten – zeitlich zurückliegenden Werte – Näherungen xn+s−1, xn+s−2, . . . , xn. Mehrschrittverfahren
sind somit nicht selbststartend und arbeiten deshalb zu Integrationsbeginn u. a.
mit Einschrittverfahren zusammen. Es werden explizite und implizite s-Schritt-Verfahren unterschieden,
vgl. Bild 4.3, S. 151. Die Mehrschrittverfahren ADAMS-BASHFORTH, ADAMS-
MOULTON usw. basieren auf der numerischen Lösung einer Integralgleichung [74], die BDF-Methoden
werden dagegen mit Hilfe der numerischen Differenziation konstruiert. Beispiele impliziter
Formeln sind u. a. nach [74]
s = 1 : xn+1 − xn = h fn+1, fn+1 := f (tn+1, xn+1), EULER-Methode; vgl. Bild 4.3
s = 2 : 3xn+1 − 4xn + xn−1 = 2h fn+1
s = 6 : 147xn+1 − 360xn + 450xn−1 − 400xn−2 + 225xn−3 − 72xn−4 + 10xn−5 = 60h fn+1.
Für s ≤ 6 sind die Formeln stabil, für s ≥ 7 instabil. Die Verfahren s ≤ 6 zeichnen sich durch ein
verbessertes Stabilitätsverhalten gegenüber expliziten Verfahren, insbesondere steifer Systeme,
aus. Bei impliziten Verfahren muss in jedem Schritt wieder ein nichtlineares Gleichungssystem,
z. B. für die implizite EULER-Formel
F(xn+1) = xn+1 − xn − h f (tn+1, xn+1)
gelöst werden. Dies kann z. B. mit dem NEWTON-Verfahren mit dem Startwert xn erfolgen; hierzu
muss die JACOBI-Matrix (∂F/∂x|xn+1 ), analytisch oder näherungsweise numerisch, berechnet
werden, vgl. Optionen zum Aufruf der Integrationsverfahren unter MATLAB in Kapitel 5.