MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis

0 15
3
10
4
5
8
9
1
1
x (5)
n
x (4)
n
Tabelle 4.1: Koeffizienten der DORMAND-PRINCE-Methode
1
5
3
40
9
40
44
45 − 56
15
32
9
19372
6561 − 25360
2187
64448
6561
9017
3168 − 355
33
46732
5247
35
384 0 500
1113
35
500
384 0 1113
5179
7571
57600 0 16695
− 212
729
49
176
125
192
125
192
393
640
4.2 Die Integrationsverfahren 153
− 5103
18656
− 2187
6784
− 2187
6784
− 92097
339200
wird – z. B. aufgrund der Abweichung |x (5)
n − x (4)
n | – ein Maß zur Ermittlung der Schrittweite h,
im Zusammenhang mit einem vorgegebenen Fehler ε, bestimmbar. Wir erhalten Methoden mit
variabler Schrittweite. Dabei kann x (4)
n (ode54) oder x (5)
n (ode45) als Ergebnis akzeptiert werden.
In gleicher Weise sind die anderen Einschrittverfahren in Tabelle 4.4, S. 200 zu interpretieren.
Wie die bisher betrachteten expliziten Einschritt- (RUNGE-KUTTA-) Verfahren stellt man
auch die impliziten Verfahren (z. B. das EULER-Rückwärts-Verfahren aus Bild 4.3, S. 151) übersichtlich
in einem Tableau der Struktur
c1 a11 a12 . . . a1,s−1 a1,s
c2 a2,1 a2,2 . . . a2,s−1 a2,s
c3 a3,1 a3,2 . . . a3,s−1 a3,s
.
.
.
.
cs as,1 as,2 . . . as−1,s−1 as,s
b1 b2 . . . bs−1 bs
dar. Beispiel: Die Trapez-Regel
xn+1 = xn + 1
2 h ( f (tn, xn) + f (tn+1, xn+1))
.
.
11
84
11
84
187
2100
kann als zweistufiges implizites RUNGE-KUTTA-Verfahren aufgefasst werden:
k1 = f (tn, xn)
k2 = f (tn + h, xn + h( 1
2 k1 + 1
2 k2))
xn+1 = xn + h
2 (k1 + k2).
0
1
40
zugehörige Tableau
0 1 0
1 1 2
1
2
Nachteil der impliziten RUNGE-KUTTA-Verfahren ist, dass die ki nicht nacheinander berechnet
werden können, sondern dass in jedem Schritt ein i. a. nichtlineares Gleichungssystem von s · N
Gleichungen in den k1, . . . , ks gelöst werden muss, wobei N die Dimension des Differenzialgleichungssystems
bezeichnet.
1
2
1
2