MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis

152 4 Simulation unter Simulink �
angegeben. Damit ist das klassische RUNGE-KUTTA 2 -Verfahren in der Form
0
1
2
1
2
1
2 0 1
2
1 0 0 1
1
6
2
6
2
6
1
6
formulierbar. Es ist ein 4-Schrittverfahren der Ordnung 4 mit dem algorithmischen Aufbau
k1 = f (tn, xn) Steigungswerte ki
k2 = f (tn+ 1 , xn +
2
h
2 k1), zur Schreibweise: tn + h
2 → tn+ 1 k3 = f (tn+ 1 , xn +
2
2
h
2 k2)
k4 = f (tn+1, xn + hk3)
xn+1 = xn + h
6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) Ergebnis, explizite Formel
sowie der geometrischen Interpretation nach Bild 4.4. Man beachte, dass jede Stufe eines RUN-
usw.
Bild 4.4: Geometrische Interpretation zum RUNGE-KUTTA-Verfahren 4. Ordnung
GE-KUTTA-Verfahrens eine Funktionsauswertung f (·) benötigt. Ein Integrationsschritt ist daher
i. a. etwa viermal so teuer wie der entsprechende EULER-Schritt, vgl. Bild 4.3, S. 151. Dennoch
ist aufgrund der hohen Ordnung das Verfahren von RUNGE-KUTTA viel effizienter, da u. a. mit
größerer Schrittweite gearbeitet werden kann. Dies setzt sich fort, denn die DORMAND-PRINCE-
Methode [20] mit den Koeffizienten nach Tabelle 4.1 ist eine der effektivsten expliziten RUNGE-
KUTTA-Formeln, obwohl sich der Rechenaufwand noch einmal erhöht. Tabelle 4.1 enthält auch
die beiden MATLAB-Verfahren ode5 und ode4. Die 7-Schrittmethode (s=7) basiert auf den beiden
Ergebnissen x (5)
n und x (4)
n , die mit den gleichen Steigungswerten ki aber unterschiedlichen Ge-
wichtungen b j ermittelt werden. Greift man auf das Ergebnis x (5)
n zurück, dann handelt es sich
um das des ode5 Verfahrens mit fester Schrittweite h; Verfahren 5. Ordnung. Im anderen Fall ergibt
sich das Ergebnis des Verfahrens ode4 der Ordnung 4. Verwendet man beide Ergebnisse, so
2 genauer: das Verfahren von KUTTA