Notizen zur Zahlentheorie

3. LÖSEN VON KONGRUENZEN 19
“⊆”: Wir fixieren x1 ∈ L. Um zu zeigen, dass x1 ∈
{x0 + k · kgV (m1, m2) | k ∈ Z} , zeigen wir, dass x1 − x0 ein Vielfaches
von kgV (m1, m2) ist. Wir wissen ja, dass
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
Daher gilt (x1 − x0) ≡ 0 (mod m1) und somit m1 | (x1 − x0). Ebenso zeigt man,
dass m2 | (x1 − x0) gilt.
Da das kgV jedes gemeinsame Vielfache teilt, gilt kgV (m1, m2) | (x1 − x0).
Übungsaufgaben 1.25.
1. Lösen Sie folgendes System von Kongruenzen!
x ≡ 22 (mod 26)
x ≡ 26 (mod 37)
2. Seien m1, m2 ∈ N. Wieviele Lösungen in {0, 1, . . . , m1 · m2 − 1} hat das System
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)?
Die folgenden Sätze zeigen uns, wie man das Lösen von Systemen aus mehr
als zwei Kongruenzen auf das Lösen von Systemen aus zwei Kongruenzen
zurückführen kann. Der erste Satz zeigt, dass man ein System von Kongruenzen
durch eine einzige Kongruenz ersetzen kann – vorausgesetzt, man kennt
zumindest eine Lösung des Systems.
Satz 1.26. Seien r ∈ N, m1, m2, . . . , mr ∈ N und a1, a2, . . . , ar ∈ Z. Falls das
System
(3.2)
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
.
x ≡ ar (mod mr)
eine Lösung x0 hat, dann ist (3.2) äquivalent zu
x ≡ x0 (mod kgV (m1, m2, . . . , mr)) .
Beweisskizze: Falls x0 eine Lösung ist, dann ist auch jedes
x0 + k · kgV (m1, m2, . . . , mr)
eine Lösung. Andererseits haben zwei verschiedene Lösungen die gleichen Reste
modulo jedem mi, ihre Differenz ist daher ein gemeinsames Vielfaches der mi und
somit ein Vielfaches des kgV .