Notizen zur Zahlentheorie

• 1R1×R2 :=
6. DIE MULTIPLIKATIVITÄT DER EULERSCHEN ϕ-FUNKTION 31
� 1R1
1R2
�
.
R1 × R2 mit diesen Operationen erfüllt auch alle Ring mit Eins-Rechengesetze.
Rechnen wir zum Beispiel in Z4 × Z5.
� � � � � �
[3]4 [2]4 [2]4
· =
[4] 5 [3] 5 [2] 5
R1 × R2 heißt das direkte Produkt von R1 und R2.
Definition 1.43. R, S seien Ringe mit Eins. Die Abbildung ϕ : R → S heißt
Ring mit Eins-Homomorphismus: ⇔
∀r1, r2 ∈ R : ϕ (r1 +R r2) = ϕ (r1) +S (r2) ,
ϕ (−R r1) = −S ϕ (r1) ,
ϕ (r1 ·R r2) = ϕ (r1) ·S ϕ (r2) ,
ϕ (0R) = 0S,
ϕ (1R) = 1S.
Definition 1.44. Ein Homomorphismus ϕ heißt:
• Epimorphismus :⇔ ϕ ist surjektiv;
• Monomorphismus :⇔ ϕ ist injektiv;
• Isomorphismus :⇔ ϕ ist bijektiv.
Beispiel: Wollen wir uns dies zunächst an zwei Beispielen veranschaulichen.
• ϕ : Z → Z5, z ↦→ [x] 5 ist surjektiv, aber nicht injektiv. Also ist ϕ ein
Epimorphismus.
• Wir untersuchen α : Z5 → Z, [x] 5 ↦→ x. Hier ergibt sich folgendes Problem:
α ([3] 5 ) = 3, und α ([3] 5 ) = α ([8] 5 ) = 8. — Das Problem ist, dass α
nicht wohldefiniert ist. Man kann das auch so ausdrücken, dass man sagt,
dass die Relation
α = {([x] 5 , x) | x ∈ Z}
nicht funktional (d. h. eine Funktion = Graph einer Funktion) ist. Sie ist
nicht funktional, weil ([2] 5 , 2) ∈ α und ([2] 5 , 7) ∈ α.
Definition 1.45. Sei R ein Ring mit Eins. Dann heißt r ∈ R invertierbar, falls
es ein yr ∈ R gibt, sodass
r · yr = 1R und yr · r = 1R.
Satz 1.46. Seien n, m ∈ N mit ggT (n, m) = 1. Dann ist die Abbildung
ein Ring mit Eins-Isomorphismus.
ϕ : Zm·n −→ Zn × Zm
[x] m·n ↦−→ ([x] n , [x] m )