Notizen zur Zahlentheorie

KAPITEL 1
Rechnen in den ganzen Zahlen
Die Summe, das Produkt und die Differenz zweier ganzer Zahlen sind wieder eine
ganze Zahl. Man kann aber innerhalb von Z nicht uneingeschränkt dividieren; so
ist etwa 5 nicht durch 7 teilbar. In diesem Kapitel untersuchen wir die Teilbarkeit.
Die Disziplin, die sich tiefgehend mit Teilbarkeit und Primzahlen beschäftigt,
heißt Zahlentheorie [Remmert and Ullrich, 1987].
Wir kürzen die Menge der ganzen Zahlen mit Z und die Menge {1, 2, 3, . . . } der
natürlichen Zahlen mit N ab.
1. Primfaktorzerlegung
Definition 1.1 (Primzahl). Eine Zahl p ∈ N ist genau dann eine Primzahl,
wenn folgende beiden Bedingungen gelten:
1. Es gilt p > 1.
2. Für alle a, b ∈ N mit p = a · b gilt a = 1 oder b = 1.
Definition 1.2 (Teilbarkeit). Für x, y ∈ Z gilt
x teilt y
genau dann, wenn es ein z ∈ Z gibt, sodass y = z · x ist.
Wir schreiben dann auch x|y; die Zahl y heißt ein Vielfaches von x;
Definition 1.3 (Ideal). Eine Teilmenge I von Z ist ein Ideal von Z, falls sie alle
folgenden Eigenschaften erfüllt:
1. Für alle i, j ∈ I liegt auch i − j in I.
2. Für alle z ∈ Z und alle i ∈ I liegt auch z · i in I.
3. I ist nicht die leere Menge.
Beispiele:
1. Die Menge {z · 2 | z ∈ Z} ist ein Ideal von Z.
2. Die Menge {z · 5 | z ∈ Z} ist ein Ideal von Z.
3. Die Menge {0} ist ein Ideal von Z.
4. N ist kein Ideal von Z.
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