Notizen zur Zahlentheorie

4. PERMUTATIONSGRUPPEN UND DER SATZ VON CAYLEY 45
Der Satz von Cayley sagt, dass jede Gruppe in irgendeine Gruppe SX einbettbar
ist; anders gesagt: jede Gruppe ist isomorph zu irgendeiner Untergruppe
irgendeiner SX.
Satz 2.15 (Satz von Cayley). Sei G = (G, ·, −1 , 1) eine Gruppe. Dann gilt: G
ist einbettbar in (SG, ◦, −1 , idG) .
Eine n-elementige Gruppe ist also isomorph zu einer Untergruppe der Sn.
Beweis: Sei
wobei
Φ : G → SG
g ↦→ Φ (g) ,
Φ (g) : G → G
x ↦→ g · x.
Wir zeigen nun einige Eigenschaften von Φ:
(4.1)
1. Für alle g ∈ G ist Φ (g) eine bijektive Abbildung von G nach G. Wir
fixieren g ∈ G, und zeigen als erstes, dass Φ (g) injektiv ist. Dazu fixieren
wir x, y ∈ G so, dass Φ(g)(x) = Φ(g)(y). Es gilt dann g · x = g · y, daher
auch g −1 · (g · x) = g −1 · (g · y), und somit x = y. Um zu zeigen, dass Φ(g)
surjektiv ist, fixieren wir y ∈ G und suchen ein x mit Φ(g)(x) = y. Wir
finden dieses x als x := g −1 · y.
2. Φ ist injektiv. Seien g, h ∈ G. Wir nehmen an, dass Φ (g) = Φ (h) gilt.
Dann gilt auch Φ (g) (1) = Φ (h) (1), also g · 1 = h · 1. Daher gilt g = h.
3. Φ ist Homomorphismus. Dazu ist zu zeigen:
∀g, h ∈ G : Φ (g · h) = Φ (g) ◦ Φ (h)
Wir fixieren g, h ∈ G und zeigen:
∀x ∈ G : Φ (g · h) (x) = (Φ (g) ◦ Φ (h)) (x) .
Wir fixieren x ∈ G und berechnen beide Seiten von (4.1). Die linke Seite
erhalten wir durch
Die rechte Seite:
Daher ist Φ ein Monomorphismus.
Φ (g · h) (x) = (g · h) · x.
(Φ (g) ◦ Φ (h)) (x) = Φ (g) (Φ (h) (x))
= Φ (g) (h · x)
= g · (h · x).
Beispiel: Wir betten (Z3, +) in die Gruppe S{[0]3,[1]3,[2]3} ein.