Notizen zur Zahlentheorie

5. EIN PUBLIC-KEY-ENCRYPTION SYSTEM: DAS RSA-VERFAHREN 27
Korollar 1.37. Sei p eine Primzahl, und sei z ∈ Z. Dann gilt
Falls p kein Teiler von z ist, gilt
z p ≡ z (mod p) .
z p−1 ≡ 1 (mod p) .
Beweis: Wir wählen eine Primzahl p und z ∈ Z beliebig, aber fest, und nehmen
an, dass p die Zahl z nicht teilt. Wir wissen, dass ϕ (p) = p − 1, und daher gilt
nach dem Satz von Euler
z p−1 ≡ 1 (mod p) .
Da p|(z p−1 − 1), gilt auch p|(z p − z), und somit z p ≡ z (mod p).
Wenn p | z, dann teilt p sowohl z als auch z p .
Übungsaufgaben 1.38.
1. ([Remmert and Ullrich, 1987]) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n
die Zahl n 5 − n ein Vielfaches von 30 ist.
2. Zeigen Sie, dass für alle a, b ∈ Zp gilt:
(a + b) p = a p + b p .
3. Seien m, n natürliche Zahlen. Wann ist 2 m − 1 ein Teiler von 2 n − 1?
5. Ein public-key-encryption system: das RSA-Verfahren
Zur Verschlüsselung ist folgendes Verfahren denkbar: um 0/1-Folgen geheim zu
übertragen, einigt man sich zuerst mit dem Empfänger über eine (zufällige) 0/1-
Folge Z, die man z. B. durch Münzwurf oder einen Zufallszahlengenerator bestimmt.
Um eine Nachricht M zu senden, addiert man zu M bitweise Z, und
sendet M + Z. Der Empfänger dekodiert das zu (M + Z) + Z = M. Ein solches
Verfahren hat aber den Nachteil, dass sich Sender und Empfänger über den
Schlüssel Z einigen müssen.
Das folgende RSA−Verschlüsselungsverfahren benötigt den vorherigen, geheimen
Austausch von Schlüsseln nicht. Es wurde von R. Rivest, A. Shamir und L.
Adleman entwickelt (cf. [Rivest et al., 1978]) und funktioniert so:
Jeder, der von anderen verschlüsselte Informationen empfangen will, gibt in einem
veröffentlichten Verzeichnis, also in einer Art Telefonbuch, seinen Chiffrierschlüssel
E (seine Verschlüsselungsfunktion E) bekannt, hält aber seinen Dechiffrierschlüssel
D (seine Entschlüsselungsfunktion D) geheim. Will A an B eine
Nachricht übermitteln, so chiffriert er sie mit dem Chiffrierschlüssel EB von B,
den A dem öffentlich zugänglichen Verzeichnis entnimmt. B dechiffriert anschließend
die erhaltene Nachricht mit seinem Dechiffrierschüssel DB.